\noindent Los mensajeros de Rappi reciben los encargos asignados en la app móvil para Rappitenderos. Cuando reciben un encargo deciden si lo aceptan y lo realizan inmediatamente, o lo rechazan esperando a que el próximo encargo les traia mejores ganancias. Ellos reciben cuatro tipos de encargo: Premium (P), Bundles (B), Estándar (E), y Rappifavor (F); y obtienen $\$W_{i}$ de ganancia por aceptar un pedido del tipo $i \in \{P,B,E,F\}.$

\begin{enumerate}[label=\alph*.]
    \item Plantee un modelo de decisión en el tiempo con el objetivo de maximizar las ganancias percibidas por \emph{un} Rappitendero. Sea explícito en la definición de los supuestos y los componentes de su modelo.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Solución:}


\noindent \textbf{Épocas}: $E=\{1,2,\dots, \infty\}$ \\
\textbf{Variable de estado:}
    $X_n$: tipo de encargo que recibe el Rappitendero en la $n$-ésima época\\
\textbf{Espacio de estados:}
    $S_X=\{\text{Premium}(P), \text{Bundle} (B), \text{Estándar} (E), \text{Rappifavor} (F) \}$ \\
\textbf{Decisiones:}
$A\{i\}=\{\text{Aceptar} (A) , \text{Rechazar} (R) \} \forall i \in S_X$\\
\textbf{Retornos Inmediatos:}
$R\{i|Aceptar\}= w_{i}, R\{i|Rechazar\} = 0$ \\

\noindent \textbf{Probabilidades de transición:}
\noindent Definimos $\lambda_{T}$ como $\lambda_{T} = \lambda_{P}+\lambda_{B}+\lambda_{E}+\lambda_{F}$
    \begin{equation*}
        \bm{P}_{(i) \to (j)}(\text{Aceptar}) =
        \begin{blockarray}{ccccc}
          & P & B & E & F\\
        \begin{block}{c[cccc]}
        P & \frac{\lambda_{P}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{E}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{F}}{\lambda_{T}}\bigstrut[t] \\
        B & \frac{\lambda_{P}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{E}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{F}}{\lambda_{T}} \bigstrut[t] \\
        E & \frac{\lambda_{P}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{E}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{F}}{\lambda_{T}} \bigstrut[t]\\
        F & \frac{\lambda_{P}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{E}}{\lambda_{T}} & \frac{\lambda_{F}}{\lambda_{T}} \bigstrut[b] \\
        \end{block}
        \end{blockarray}\vspace*{-1.25\baselineskip}
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
        \bm{P}_{(i) \to (j)}(\text{Rechazar}) =
        \begin{blockarray}{ccccc}
          & P & B & E & F\\
        \begin{block}{c[cccc]}
        P & \frac{\lambda_{P}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & 0 & 0 \bigstrut[t] \\
        B & \frac{\lambda_{P}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & 0 & 0 \bigstrut[t] \\
        E & \frac{\lambda_{P}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & 0 & 0 \bigstrut[t]\\
        F &\frac{\lambda_{P}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{P}+\lambda{B}} & 0 & 0 \bigstrut[b] \\
        \end{block}
        \end{blockarray}\vspace*{-1.25\baselineskip}
    \end{equation*}