% !TeX spellcheck = pl_PL-Polish
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\linespread{1.3} %odstepy miedzy liniami
\usepackage[a4paper, lmargin=2cm, rmargin=2cm, tmargin=2cm, bmargin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{color}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{float}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifthen}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{ocgx}
\usepackage{polski}
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{most}
\tcbuselibrary{skins}
\tcbuselibrary{raster}
% brak - bez odpowiedzi i bez miejsca, white - bez odpowiedzi z miejscem, red = odpowiedzi ukryte ale dostepne
\newcommand{\kolorodpowiedzi}{blue}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}% linia pozioma na końcu strony - default is 0pt
\DeclareFontShape{OMX}{cmex}{m}{n}
    {<-7.5> cmex7
    <7.5-8.5> cmex8
    <8.5-9.5> cmex9
    <9.5-> cmex10}{}
\DeclareSymbolFont{largesymbols}{OMX}{cmex}{m}{n}


\newcommand{\ukryte}{1}  % domyślnie odpowiedzi są do pokazywania po kliknięciu
\ifthenelse{\equal{\kolorodpowiedzi}{red}}  % ukrywamy od pokazywania gdy kolor jest red
	{\renewcommand{\ukryte}{0}}{}

\newcommand{\zOdpowiedziami}[3]{
	\ifthenelse{\equal{#1}{brak}}{}{
		\ifthenelse{\equal{#1}{white}}{\vphantom{#3}}{
			\switchocg{#2}{\textcolor{\kolorodpowiedzi}{\\Rozwiązanie: }}
				\begin{ocg}{Warstwa odpowiedzi}{#2}{\ukryte}
					\textcolor{\kolorodpowiedzi}{#3}
				\end{ocg}}}}

\begin{document}
    \pagestyle{fancy}
    \setlength{\headheight}{27.29453pt}
    \fancyhead{}
    \fancyhead[L]{\textbf{Teleinformatyka\\Wprowadzenie do analizy - }}
    \fancyhead[R]{\textbf{Zadania powtórzeniowe\\ 15 listopada 2024}}
    \fancyfoot{}
    \fancyfoot[R]{\tiny\textbf{26 listopada 2024, 22:18}}
%    \hspace{1cm}%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 1}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{- 2 n^{5} - 3 n^{2} + 2 n - 3}{2 n^{3} + 2 n^{2} + 4 n + 3} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg0}
				{$-\infty$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln{\left(x \right)}}{x - 1} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg1}
				{$1$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= \frac{- x^{2} - e^{x}}{1 - x}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg2}
				{$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}.$\\Asymptota pionowa dwustronna w $x_0=1.$ \\Asymptota ukośna w minus nieskończoności o równaniu $y=x + 1.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{4 - 2 x^{2}}{4 x + 2}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -1.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg3}
				{Styczna: $y = - 4 x - 5,$ \quad
			Normalna: $y = \frac{x}{4} - \frac{3}{4}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{2 x^{3}}{x - 2} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg4}
				{$f'(x)=\frac{4 x^{2} \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }3 < x \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left(3,\infty\right) $\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }\left(0 < x \wedge x < 2\right) \vee \left(2 < x \wedge x < 3\right) \vee x < 0 \implies f(x) \textnormal{ maleje dla } x \in \left(-\infty,2\right) \textnormal{ oraz } x \in  \left(2,3\right) $\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ 0, \  3\right\} \implies f_{\min}\left(3\right) = 54$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 2}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{3 n + 5}{\sqrt{2 n^{2} + 3 n + 3}} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg5}
				{$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{3 - \sqrt{9 - 2 x}}{3 x} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg6}
				{$\frac{1}{9}$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= x - 2 e^{x}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg7}
				{$D_f\colon \mathbb{R}.$\\Asymptota ukośna w minus nieskończoności o równaniu $y=x.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \sqrt{2 x^{2} - 1}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -1.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg8}
				{Styczna: $y = - 2 x - 1,$ \quad
			Normalna: $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x + 1} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg9}
				{$f'(x)=\frac{2 \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }1 < x \vee x < -2\implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left( -\infty, -2  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(1, \infty  \right)$\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }x > -2 \wedge x < 1 \wedge x \neq - \frac{1}{2} \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left(-2,- \frac{1}{2}  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(- \frac{1}{2},1  \right)$\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ -2, \  1\right\} \implies f_{\max}\left(-2\right) = -1 \textnormal{ oraz } f_{\min}\left(1\right) = 2$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 3}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{2 n + 3}{2 n - 1}\right)^{5 n + 4} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg10}
				{$e^{10}$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2 x} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg11}
				{$\frac{1}{4}$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= - x - 1 + \frac{\ln{\left(x \right)}}{x}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg12}
				{$D_f\colon \left(0, \infty\right).$\\Asymptota pionowa prawostronna w $x_0=0.$ \\Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu $y=- x - 1.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{4 x^{2} + x - 2}{4 x + 2}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -1.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg13}
				{Styczna: $y = \frac{5 x}{2} + 2,$ \quad
			Normalna: $y = - \frac{2 x}{5} - \frac{9}{10}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{x^{2} + 2 x + 2}{3 x + 3} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg14}
				{$f'(x)=\frac{x \left(x + 2\right)}{3 \left(x + 1\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }0 < x \vee x < -2\implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left( -\infty, -2  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(0, \infty  \right)$\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }x > -2 \wedge x < 0 \wedge x \neq -1 \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left(-2,-1  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1,0  \right)$\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ -2, \  0\right\} \implies f_{\max}\left(-2\right) = - \frac{2}{3} \textnormal{ oraz } f_{\min}\left(0\right) = \frac{2}{3}$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 4}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\sqrt{4 n^{2} - 2 n - 3} - \sqrt{4 n^{2} + 5 n + 4} \right) 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg15}
				{$- \frac{7}{4}$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{3 - \sqrt{9 - 3 x}}{2 x} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg16}
				{$\frac{1}{4}$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= \frac{- 2 x^{2} - x + 2}{2 x + 3}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg17}
				{$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{- \frac{3}{2}\right\}.$\\Asymptota pionowa dwustronna w $x_0=- \frac{3}{2}.$ \\Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=1 - x.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{x + 4}
			\]
		 w punkcie $x_0 = 2.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg18}
				{Styczna: $y = \frac{3 x}{2},$ \quad
			Normalna: $y = \frac{13}{3} - \frac{2 x}{3}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{2 x + 3}{x^{2} + 2 x + 1} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg19}
				{$f'(x)=- \frac{2 \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }-2 < x \wedge x < -1 \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left( -2, -1  \right)$\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }-1 < x \vee x < -2 \implies f(x) \textnormal{ maleje dla } x \in \left( -\infty, -2  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1, \infty  \right) $\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ -2\right\} \implies f_{\min}\left(-2\right) = -1$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 5}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} + 3 \cdot 4^{n}}{2 \cdot 3^{n} + 4 \cdot 4^{n}} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg20}
				{$\frac{3}{4}$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{{x \rightarrow 1^{+}}} \frac{\ln{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg21}
				{$0$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg22}
				{$D_f\colon \mathbb{R}.$\\Asymptota ukośna w minus nieskończoności o równaniu $y=- x - \frac{\pi}{2}.$ \\Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu $y=- x + \frac{\pi}{2}.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = e^{- x^{2} + x + 2}
			\]
		 w punkcie $x_0 = 2.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg23}
				{Styczna: $y = 7 - 3 x,$ \quad
			Normalna: $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{4 x + 2}{x^{2} + 2 x + 3} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg24}
				{$f'(x)=- \frac{4 \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 3\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }-2 < x \wedge x < 1 \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left( -2, 1  \right) $\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }1 < x \vee x < -2 \implies f(x) \textnormal{ maleje dla } x \in \left( -\infty, -2  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(1, \infty  \right) $\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ -2, \  1\right\} \implies f_{\min}\left(-2\right) = -2 \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(1\right) = 1$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 6}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{3 n + 4}{\sqrt{4 n^{2} - 3 n - 3}} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg25}
				{$\frac{3}{2}$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg26}
				{$2$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= x - \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg27}
				{$D_f\colon \mathbb{R}.$\\Asymptota ukośna w minus nieskończoności o równaniu $y=x + 1 + \frac{\pi}{2}.$ \\Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu $y=x - \frac{\pi}{2} + 1.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{4 - 2 x}{x^{2} + 3 x + 4}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -1.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg28}
				{Styczna: $y = \frac{1}{2} - \frac{5 x}{2},$ \quad
			Normalna: $y = \frac{2 x}{5} + \frac{17}{5}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{2 x + 4}{- 2 x^{2} + 2 x + 4} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg29}
				{$f'(x)=\frac{x \left(x + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }\left(0 < x \wedge x < 2\right) \vee 2 < x \vee x < -4 \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left( -\infty, -4  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(0, 2  \right) \textnormal{ oraz } x \in \left(2, \infty  \right) $\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }x > -4 \wedge x < 0 \wedge x \neq -1 \implies f(x) \textnormal{ maleje dla } x \in \left(-4,-1  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1,0  \right)  $\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ -4, \  0\right\} \implies f_{\max}\left(-4\right) = \frac{1}{9} \textnormal{ oraz } f_{\min}\left(0\right) = 1$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 7}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{3 n + 2}{3 n + 5}\right)^{5 n - 3} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg30}
				{$e^{-5}$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln{\left(x \right)}}{x - 1} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg31}
				{$1$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= \frac{- 2 x^{2} - 2 x}{2 x + 2}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg32}
				{$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}.$\\Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=- x.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + 3 x + 1}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -2.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg33}
				{Styczna: $y = 9 x + 11,$ \quad
			Normalna: $y = - \frac{x}{9} - \frac{65}{9}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{x^{3}}{3 x - 1} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg34}
				{$f'(x)=\frac{3 x^{2} \left(2 x - 1\right)}{\left(3 x - 1\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }\frac{1}{2} < x \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left(\frac{1}{2},\infty\right) $\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }\left(0 < x \wedge x < \frac{1}{3}\right) \vee \left(\frac{1}{3} < x \wedge x < \frac{1}{2}\right) \vee x < 0 \implies f(x) \textnormal{ maleje dla } x \in \left(-\infty,\frac{1}{3}\right) \textnormal{ oraz } x \in  \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right) $\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ 0, \  \frac{1}{2}\right\} \implies f_{\min}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 8}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 \cdot 4^{n} - 3 \cdot 5^{n}}{2 \cdot 3^{n} + 4 \cdot 4^{n}} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg35}
				{$-\infty$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 0} - \frac{2 - \sqrt{4 - 3 x}}{2 x} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg36}
				{$- \frac{3}{8}$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= \frac{2 x^{2} + 3 x + 2}{2 x^{2} - x}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg37}
				{$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{0, \frac{1}{2}\right\}.$\\Asymptota pionowa dwustronna w $x_1=0.$ \\Asymptota pionowa dwustronna w $x_2=\frac{1}{2}.$ \\Asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=1.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{4 x + 3}{x^{2} + x - 1}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -1.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg38}
				{Styczna: $y = - 5 x - 4,$ \quad
			Normalna: $y = \frac{x}{5} + \frac{6}{5}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{3 x^{3} + x - 1}{2 - 2 x} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg39}
				{$f'(x)=- \frac{3 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }\left(0 < x \wedge x < 1\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \frac{3}{2}\right) \vee x < 0 \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left(-\infty,1\right) \textnormal{ oraz } x \in  \left(1,\frac{3}{2}\right)  $\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }\frac{3}{2} < x \implies f(x) \textnormal{ maleje dla } x \in \left(\frac{3}{2},\infty\right) $\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ 0, \  \frac{3}{2}\right\} \implies f_{\max}\left(\frac{3}{2}\right) = - \frac{85}{8}$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 9}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\sqrt{n^{2} - 3 n + 1} - \sqrt{n^{2} + n - 1} \right) 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg40}
				{$-2$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{- e^{x} + e^{- x}}{x} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg41}
				{$-2$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= \frac{x^{2} + x}{3 x}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg42}
				{$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}.$\\Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=\frac{x}{3} + \frac{1}{3}.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{- x^{2} - x - 2}{x + 2}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -1.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg43}
				{Styczna: $y = 3 x + 1,$ \quad
			Normalna: $y = - \frac{x}{3} - \frac{7}{3}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{- x^{2} - 2 x - 2}{- x - 1} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg44}
				{$f'(x)=\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }0 < x \vee x < -2\implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left( -\infty, -2  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(0, \infty  \right)$\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }x > -2 \wedge x < 0 \wedge x \neq -1 \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left(-2,-1  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1,0  \right)$\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ -2, \  0\right\} \implies f_{\max}\left(-2\right) = -2 \textnormal{ oraz } f_{\min}\left(0\right) = 2$}

    \end{enumerate}
\newpage % \hspace{1cm}
%--------------------------------------------------------------------------------
    \fancyhead[C]{\textbf{Zestaw nr 10}}
    \begin{enumerate}[label= \textbf{Zadanie \arabic*. }, leftmargin=1cm, align=left, itemsep=0pt]
		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(- \sqrt{4 n^{2} - 3} + \sqrt{4 n^{2} - n + 1} \right) 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg45}
				{$- \frac{1}{4}$}

		\item Obliczyć granicę
			\[
				\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{3 x} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg46}
				{$\frac{1}{12}$}

		\item Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
			\[
				f(x)= \frac{x^{2} - 1}{1 - x}.
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg47}
				{$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}.$\\Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=- x - 1.$ }

		\item Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji
			\[
				f(x) = \frac{x + 4}{- x^{2} - x + 3}
			\]
		 w punkcie $x_0 = -2.$
			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg48}
				{Styczna: $y = - 5 x - 8,$ \quad
			Normalna: $y = \frac{x}{5} + \frac{12}{5}$}

		\item Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
			\[
				f(x)=\frac{- x^{2} - x + 1}{2 x + 4} 
			\]

			\zOdpowiedziami{\kolorodpowiedzi}{ocg49}
				{$f'(x)=- \frac{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)}{2 \left(x + 2\right)^{2}}$\newline
			$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }x > -3 \wedge x < -1 \wedge x \neq -2 \implies f(x) \textnormal{ rośnie dla } x \in \left(-3,-2  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-2,-1  \right) $\newline
			$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }-1 < x \vee x < -3 \implies f(x) \textnormal{ maleje dla } x \in \left( -\infty, -3  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1, \infty  \right) $\newline
			$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ -3, \  -1\right\} \implies f_{\min}\left(-3\right) = \frac{5}{2} \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(-1\right) = \frac{1}{2}$}

    \end{enumerate}
\end{document}
