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<item><hi rendition="#g">Anhang</hi> 5. Substrat zum vorigen Anhang und Material zu dessen Belegen. <ref>633</ref></item><lb/>
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<hi rendition="#et">Es wird der Aufmerksamkeit des geehrten Lesers nicht entgangen<lb/>
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Und rings umher liegt schöne grüne Weide.<lb/>
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<item>„ IX bei Anhang 1 st. (Zu 6) l. (Zu § 6).</item><lb/>
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Höchst interessant ist auch noch der Beweis, welchen Herr <hi rendition="#g">Peirce</hi><hi rendition="#sup">5</hi><lb/>
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</table> und sich nach Def. (3) diese noch ausstehenden Subsumtionen:<lb/>
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Schade nur, dass wir zum Beweis unsres soeben gebrauchten Theo-<lb/>
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Ob aber solch umgekehrter Weg auch durchaus gangbar, ob es<lb/>
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behandelt und gelöst habe. Den Grund, weshalb mir solches entgehen<lb/>
durfte, wird man in meiner Schlussbemerkung zu der Aufgabe (auf<lb/>
S. 554) angedeutet finden.<lb/>
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demnächst auch den Rückblick im § 54).</item><lb/>
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Bd. 36 der Mathematischen Annalen unter Darlegung des Sachverhaltes<lb/>
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irreführenden Nachricht zufolge ist der Autor Dr. <hi rendition="#g">Ludwig Dieffen-<lb/>
bach</hi>, welcher munter im Kreise seiner Familie als Kreisgerichtsrat<lb/>
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konnte Verf. noch nicht entscheiden, da die ihm zugängliche <hi rendition="#g">Kries’</hi>sche<lb/>
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<div n="3"><head>§ 28. <hi rendition="#b">Übergang zum Aussagenkalkul. Taxirung von Aussagen nach<lb/>
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Aufbau unsrer Disziplin gebildet. Wir haben deren Prinzipien einfach<lb/>
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den auf diese Prinzipien gegründeten Schlüssen und Beweisen liess es sich<lb/>
durchweg vermeiden, dass jemals an die Anschauung appellirt werden<lb/>
musste. Ob — wie F. A. <hi rendition="#g">Lange</hi> meint — solche Anschaulichkeit bei den<lb/>
ersten Prinzipien wenigstens erforderlich war, um das Gefühl der Evidenz<lb/>
hervorzurufen, überliessen wir der Psychologie, zu entscheiden.</p><lb/>
<p>Veranschaulichungsmittel wurden von uns nur nebenher, aus didak-<lb/>
tischen Gründen herbeigezogen, und in dieser Weise werden wir auch<lb/>
fortfahren uns zu verhalten.</p><lb/>
<p>Wenn es (demnach) auch nach wie vor theoretisch unwesentlich<lb/>
bleibt, so wird es doch in erzieherischer Hinsicht von Wichtigkeit —<lb/>
um zu einer richtigen Auffassung des Folgenden erleichternd vorzu-<lb/>
bereiten — dass wir die Aufmerksamkeit nunmehr auf eine Mannig-<lb/>
faltigkeit von <hi rendition="#i">einer</hi> Dimension, auf eine „<hi rendition="#i">lineare</hi>“ Mannigfaltigkeit kon-<lb/>
zentriren, die Deutung der Sätze des Gebietekalkuls in einer solchen<lb/>
<hi rendition="#i">einüben</hi>.</p><lb/>
<p>Verstehen wir namentlich unter der identischen 1 die <hi rendition="#i">Mannig-<lb/>
faltigkeit der Punkte einer nach beiden Seiten unbegrenzten geraden Linie</hi>,<lb/>
so gelten wiederum alle bisherigen Sätze.</p><lb/>
<p>Unter <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, ‥ werden wir jetzt irgendwelche Punktgebiete dieser<lb/>
Geraden zu verstehen haben.</p><lb/>
<p>Ein solches Gebiet wird im allgemeinen sein ein System von inner-<lb/>
halb dieser Geraden liegenden von einander getrennten Strecken nebst<lb/>
<fw type="sig" place="bottom"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Logik. II. 1</fw><lb/>
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<fw type="header" place="top">Fünfzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
irgend welchen dazwischen oder ausserhalb dieser Strecken auf der Geraden<lb/>
befindlichen isolirten Punkten. Unter Umständen kann auch ein nach der<lb/>
einen Seite unbegrenzter Strahl, einer der beiden „Endstrahlen“ der Geraden<lb/>
(von beliebigem Punkte an gerechnet) zu dem Gebiete gehören, oder auch<lb/>
zwei solche Endstrahlen (die dann nicht übereinandergreifen sollen) aus<lb/>
zwei verschiedenen Anfangspunkten nach rechts und links in’s Unendliche<lb/>
gehend.</p><lb/>
<p>Auch für jeden einzelnen Anfangs- oder Endpunkt einer zu dem<lb/>
Gebiet gehörigen Strecke resp. eines Endstrahles ist es als ausgemacht<lb/>
vorauszusetzen, ob er zu dem Gebiet gerechnet werden solle oder nicht;<lb/>
man kann z. B. sämtliche begrenzenden Punkte in das Gebiet einschliessen<lb/>
oder aber, sie alle ausschliessen. [In Gestalt der reellen Zahlen verfügt<lb/>
die Mathematik über die Mittel, wenn zwei Punkte der Geraden als bekannt<lb/>
vorausgesetzt werden, die dann etwa mit der arithmetischen 0 und 1<lb/>
benannt werden mögen, jeden dritten Punkt der Geraden vollkommen zu<lb/>
bestimmen, seine Lage so unzweideutig zu beschreiben, dass er auch mit<lb/>
ihm noch so nahe stehenden Punkten unmöglich verwechselt werden kann.]</p><lb/>
<p>Die isolirten Punkte können auch in der Nähe gewisser Stellen, ja<lb/>
sogar längs gewisser Strecken, sich unendlich dicht häufen ohne doch da-<lb/>
selbst ein stetig zusammenhängendes Gebiet auszufüllen; ebenso lassen sich<lb/>
aus einer Strecke vereinzelte Punkte fortlassen, als nicht zu dem Gebiet<lb/>
gehörig hinstellen, das im übrigen die Strecke enthalten soll, u. s. w. Es<lb/>
muss der „Mannigfaltigkeitslehre“ überlassen bleiben, alle hier denkbaren<lb/>
Möglichkeiten vollständig aufzuzählen und sie zu klassifiziren.</p><lb/>
<p>Die identische Eins bedeutet <hi rendition="#i">hier</hi>, wie schon gesagt, die ganze<lb/>
unbegrenzte Gerade als das umfassendste der in ihr enthaltenen Punkt-<lb/>
gebiete. Das Nullgebiet — hier schlechtweg als identische Null mit<lb/>
0 zu bezeichnen — ist nicht etwa ein Punkt, sondern es enthält <hi rendition="#i">keinen</hi><lb/>
Punkt der Geraden, und da es ein Punktgebiet <hi rendition="#i">der Geraden</hi> sein soll,<lb/>
so ist es ein leeres Gebiet, hat zur Bedeutung: „nichts“.</p><lb/>
<p>Es mag uns die Figur:<lb/>
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ein Gebiet der geschilderten Art veranschaulichen in der als Horizontale<lb/>
verlaufenden Geraden. Die Pfeilspitze rechts soll andeuten, dass der letzte<lb/>
Strich als „Endstrahl“ unbegrenzt nach rechts fortzusetzen sei; wo die<lb/>
Striche stumpf endigen, soll der Endpunkt der durch sie markirten Strecke<lb/>
dem Gebiete eingerechnet sein, wo sie spitz auslaufen, ihm abgerechnet<lb/>
werden; das Gebiet enthält vierzehn isolirte Punkte (die Mittelpunkte der<lb/>
sie hier markirenden Tupfen), auch soll in der zweiten Strecke (von links)<lb/>
ein isolirter Punkt (nur die Mitte der Lücke) fehlen.</p><lb/>
<p>Gleichwie früher für die Flächen meistens Kreise genommen wurden,<lb/>
so soll aber jetzt zur Veranschaulichung eines Gebietes der Einfachheit<lb/>
wegen vorzugsweise eine einfach zusammenhängende Strecke gewählt werden<lb/>
(wo nicht anders bemerkt, mit Einschluss von deren Endpunkten).</p><lb/>
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<p>Eine Subsumtion <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> wird dann zu veranschaulichen sein durch<lb/>
die Alternative zwischen den beiden Figuren:<lb/>
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Und wenn zwei Strecken <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> einen Teil gemein haben, wie in Fig. 4,<lb/>
so wird sich deren identisches Produkt <hi rendition="#i">a b</hi> als ebendieser gemeinsame<lb/>
Teil darstellen, und ihre identische Summe <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> als die Strecke zu<lb/>
welcher beide miteinander verwachsen, zusammenfliessen, so wie es<lb/>
die genannte Figur versinnlicht.</p><lb/>
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<p>Haben aber, wie in Fig. 5, die beiden Strecken keinen Teil (auch<lb/>
nicht einen Endpunkt) gemein, so ist ihr Produkt <hi rendition="#i">a b</hi> = 0, mithin<lb/>
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wir dies Produkt auch nicht in die Figur eingetragen haben; ihre<lb/>
identische Summe <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> ist dann ein Gebiet, ausschliesslich bestehend<lb/>
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<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> nur einen Endpunkt gemein, so würde in diesen als einen iso-<lb/>
lirten Punkt, das Gebiet <hi rendition="#i">a b</hi> sich zusammenziehen.)</p><lb/>
<p>Die Negation <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> einer Strecke <hi rendition="#i">a</hi> bedeutet endlich die ganze<lb/>
„Aussenstrecke“, ohne die Endpunkte, von jener — bestehend aus den<lb/>
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Geraden 1, was die Figur veranschaulicht:<lb/>
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Umgekehrt ist die „Innenstrecke“ <hi rendition="#i">a</hi> auch die Negation dieses <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</p><lb/>
<p>Von der Betrachtung unsrer <hi rendition="#i">Geraden</hi>, als einer räumlichen ein-<lb/>
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einer andern — gleich ihr unbegrenzten — Mannigfaltigkeit von<lb/>
<hi rendition="#i">einer</hi> Dimension, welche nicht räumlich ist. Eine solche ist die <hi rendition="#i">Zeit</hi>.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Den Punkten der Geraden lassen sich</hi> geradezu <hi rendition="#i">die Elemente der<lb/>
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stimmtes Zeitelement, ein bestimmter <hi rendition="#i">Moment</hi> oder <hi rendition="#i">Augenblick</hi> aus-<lb/>
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schliesslich entspricht, und umgekehrt auch jedem Zeitmomente je ein<lb/>
bestimmter Punkt der Geraden. Zu dem Ende braucht man sich nur<lb/>
die Gerade etwa von einem sich „gleichförmig“ bewegenden Punkte<lb/>
— z. B. von links nach rechts hin durchlaufen zu denken.</p><lb/>
<p>Den Punkt mit konstanter, mit in der Zeit sich gleich bleibender,<lb/>
unveränderlicher Geschwindigkeit sich bewegen zu lassen, also dass er in<lb/>
gleichen Zeitabschnitten auch immer unter sich gleiche Wegestrecken be-<lb/>
schreibt, ist nicht wesentlich für unsre Betrachtung, es ist dies nur die<lb/>
nächstliegende aber auch die einfachste und bequemste der zur Verfügung<lb/>
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unser Punkt in einer irgendwie bestimmten Weise nur überhaupt die ganze<lb/>
Gerade durchlaufe, ohne aber jemals stille zu stehen oder gar um-<lb/>
zukehren, rückläufig zu werden, also in einem bestimmten Sinne, in der<lb/>
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von der Stelle, wo er sich soeben befindet in endlicher Entfernung liegenden<lb/>
Punkt auch in endlicher Zeit erreichen wird, und ebenso auch jede angeb-<lb/>
bare zur linken von jener befindliche Stelle vor endlicher Zeit passirt<lb/>
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<p>Der Ort auf der Geraden, wo der Punkt sich eben befindet ent-<lb/>
spricht alsdann dem gegenwärtigen Augenblick, jede links davon be-<lb/>
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zur Rechten einem solchen der Zukunft — und umgekehrt. Man kann<lb/>
irgend einen Punkt auf der Geraden betrachten als den Träger, das<lb/>
<hi rendition="#i">Bild</hi> desjenigen Augenblicks, in welchem der sich bewegende Punkt<lb/>
durch ihn hindurchging, -geht oder -gehen wird, und mit irgend<lb/>
einem Zeitmoment in der Vergangenheit, als Gegenwart, oder in der<lb/>
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jenige Ort, an welchem der sich bewegende Punkt sich in ihm befindet.<lb/>
Es ist bezeichnend für die Berechtigung und Landläufigkeit dieser Zu-<lb/>
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<p>Wenn es nicht von vornherein als selbstverständlich erschiene,<lb/>
so müsste es auf diesem Wege einleuchten und wird es obendrein<lb/>
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Gesetzen auch auf <hi rendition="#i">Gebiete von Zeitpunkten</hi> anwendbar ist.</p><lb/>
<p>Zur Versinnlichung etwaiger auf solche bezüglichen Betrachtungen<lb/>
mittelst Figuren werden wir natürlich nur zu dem erwähnten Bilde,<lb/>
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<p>Die Eins bedeutet uns aber jetzt die ganze Mannigfaltigkeit der<lb/>
Zeitpunkte, „<hi rendition="#i">die ganze Zeit</hi>“, welche sich zusammensetzt aus der nach<lb/>
rückwärts unbegrenzten <hi rendition="#i">Vergangenheit</hi>, der <hi rendition="#i">Gegenwart</hi> und der nach<lb/>
vorwärts unbegrenzten <hi rendition="#i">Zukunft</hi>, und mit <hi rendition="#i">einem</hi> Worte auch <hi rendition="#i">Ewigkeit</hi><lb/>
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<p>Zu ihrer bessern Unterscheidung von der bisherigen, eine räum-<lb/>
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1, möge die Eins, als Symbol der Ewigkeit gedeutet, mit einem Tupfen<lb/>
versehen, die Ewigkeit durch das Zeichen i hinfort dargestellt werden.</p><lb/>
<p>Von einer Aussage, welche für diese ganze Zeit wahr zu sein be-<lb/>
ansprucht, wird zu sagen sein, sie gelte „<hi rendition="#i">immer</hi>“, „<hi rendition="#i">stets</hi>“, und kann also<lb/>
die „Gültigkeitsdauer“ einer solchen Aussage durch i ausgedrücktwerden.</p><lb/>
<p>Der identischen Null aber wird jetzt eine Zeitbestimmung ent-<lb/>
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wiedergibt. Zur Unterscheidung von der 0 des Klassenkalkuls oder<lb/>
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der Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte ebenfalls mit einem Tupfen ver-<lb/>
sehen, sie mit 0̇ darstellend; indessen erscheint es mir unbedenklich,<lb/>
dies Unterscheidungsmerkmal wegzulassen: die gedachte Klasse, das<lb/>
Gebiet ist hier wie dort ein leeres.</p><lb/>
<p>Einer Aussage die „Gültigkeitsdauer“ 0 zuschreiben heisst nun<lb/>
also, dieselbe für eine jederzeit ungültige, für eine niemals — auch<lb/>
nicht einen Augenblick — gültige erklären.</p><lb/>
<p>Ein ganz beliebiges Gebiet von Zeitpunkten bestehend vielleicht<lb/>
aus mehreren getrennten Zeiträumen oder auch vereinzelten Augen-<lb/>
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wir jetzt kurz ein „Zeitgebiet“ nennen. Dafür werden wir aber<lb/>
manchmal auch den Namen „(Zeit-)<hi rendition="#i">Dauer</hi>“ oder „Zeitraum“ selbst<lb/>
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isolirten Zeitpunkten zusammengesetzt sein sollte. Namentlich werden<lb/>
wir in diesem weiteren Sinne — da „Gültigkeitszeitgebiet“ unbehülf-<lb/>
lich erscheint — „Gültigkeitsgebiet“ aber noch einen andern Sinn<lb/>
liefert, Nebenbedeutungen hätte, von der „<hi rendition="#i">Gültigkeitsdauer</hi>“ einer Aus-<lb/>
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stellung von einer metrischen Beziehung mit diesem Wort zu verknüpfen].</p><lb/>
<p>Unstreitig haben schon alle bisherigen Betrachtungen ein „<hi rendition="#i">zeit-<lb/>
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<p>So wurden namentlich oft Voraussetzungen als <hi rendition="#i">gleichzeitig</hi> anzu-<lb/>
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Forderung der <hi rendition="#i">gleichzeitigen</hi> Adoptirung der Prämissen. Etc.</p><lb/>
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logische Gehalt der Sätze dabei eine Modifikation erleiden, indem eben<lb/>
dadurch jenes versteckt gewesene zeitliche Moment mehr in den Vorder-<lb/>
grund des Bewusstseins geschoben wird — vielleicht auch auf Kosten<lb/>
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eine Denknotwendigkeit empfunden wurde, wird, falls wir „wann“ statt<lb/>
„wenn“ sagen, nur mehr „assertorisch“ als ein Erlebniss, eine That-<lb/>
sache der Wahrnehmung registrirt (bei II z. B.).</p><lb/>
<p>Endlich beanspruchten ja alle unsre Theoreme, <hi rendition="#i">stets</hi> gültig zu<lb/>
sein. Es ist <hi rendition="#i">immer a b</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> nach Th. 6<hi rendition="#sub">×</hi>). Und so weiter.</p><lb/>
<p>Im übrigen blieb das Bewusstsein ihrer Zeitlichkeit bei den Aus-<lb/>
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sie der Aussagenkalkul darstellen wird) nunmehr erheben, so erscheint<lb/>
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Äquivalentes, für diesen Begriff) zu verknüpfen.</p><lb/>
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rüchtigte Satz: <hi rendition="#i">„Afrika ist, wo es</hi> (für den Europäer) <hi rendition="#i">gesund ist, unfruchtbar,<lb/>
wo es fruchtbar ist, ungesund“</hi> — dessen materielle Wahrheit wir dahin gestellt<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 28. Zum Aussagenkalkul.</fw><lb/>
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Verwechselung beider irgend zu besorgen stünde.</p><lb/>
<p>Eine <hi rendition="#i">dem Sinne nach vollkommen bestimmte</hi> Aussage ist entweder <hi rendition="#i">wahr</hi><lb/>
(richtig, gültig, berechtigt) oder <hi rendition="#i">nicht wahr</hi> (falsch, ungültig, unzulässig).</p><lb/>
<p>Ist die Aussage sinnlos, oder bestehen Zweifel über den Sinn, die<lb/>
Auslegung derselben, so lässt sich dies keineswegs behaupten; im letztern<lb/>
Falle kann sie z. B. wahr sein im einen und falsch in einem andern Sinne.</p><lb/>
<p>Viel Streit entspringt aus mangelhafter Verständigung über den Sinn<lb/>
der strittigen Aussagen, und schon darum ist es wichtig, über die Schwächen<lb/>
unsres Verständigungsmittels, der Wortsprache, zu klarem Bewusstsein zu<lb/>
kommen, indem man an sie anlegt den unveränderlichen Maasstab eines abso-<lb/>
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wir die Formelsprache unsres Kalkuls auszubilden haben. Wer einmal<lb/>
jene Schwächen erkannt hat, wird auch weniger leicht durch die Ungeduld<lb/>
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ständigung anzustreben.</p><lb/>
<p>Eine Aussage kann z. B. wohl Subjekt einer andern sein, oder —<lb/>
noch allgemeiner — überhaupt ein Objekt, auf welches die gedachte zweite<lb/>
Aussage sich irgendwie bezieht; aber sie darf nicht <hi rendition="#i">sich selbst</hi> zum Gegen-<lb/>
stande haben, sie darf insbesondre nicht als ihr eigenes Subjekt auftreten.</p><lb/>
<p>Von dieser Beschaffenheit wäre z. B. der isolirt hingestellte Satz:<lb/>
„Gegenwärtige Aussage ist unrichtig“, die von jemand ohne allen Bezug<lb/>
auf vorangegangene oder nachfolgende Aussagen für sich hingestellte Be-<lb/>
hauptung: „<hi rendition="#i">Ich sage hiermit</hi> eine Unwahrheit“.<note place="foot" n="*)">„Ich lüge jetzt“ — bei Lotze — in Vereinfachung des alten Sophisma’s<lb/>
von dem Kretenser, welcher behauptet haben sollte, dass alle Kretenser beständig<lb/>
lögen — was nur möglich und wahr zugleich sein konnte, wenn er es selbst<lb/>
nicht glaubte.</note> Solche Aussage kann<lb/>
nicht wahr sein, weil es dann eben keine Unwahrheit, sondern eine Wahr-<lb/>
heit wäre, die gesagt worden, und sie kann auch nicht unwahr sein, weil<lb/>
es dann eben zur Wahrheit würde, dass sie unwahr ist.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Diese</hi> Aussage ist also in der That weder wahr noch falsch; dieselbe<lb/>
ist aber <hi rendition="#i">sinnlos,</hi> indem sie sich auf einen Sinn beruft, solchen als bekannt<lb/>
voraussetzt, den sie selbst erst geben, erklären sollte, aber, wie erkannt,<lb/>
unmöglich haben kann. Die Aussage stempelt hier überdies mit Denk-<lb/>
notwendigkeit sich zu einer solchen. — Ebenso sinnlos würde auch die andre<lb/>
Aussage (isolirt hingestellt) sein: „Ich sage hiermit die Wahrheit“. Nur<lb/>
würde die letztere in beregter Hinsicht sich sozusagen indifferent verhalten,<lb/>
den Sinn blos ewig vermissen lassen.</p><lb/>
<p>Im Zusammenhang hiermit steht es, dass wenn etwa jemand wetten<lb/>
wollte, dass er die <hi rendition="#i">eben damit eingegangene</hi> Wette verlieren (desgleichen,<lb/>
falls man es vorzieht, dass er sie gewinnen) würde, solche Wette als eine<lb/>
gegenstandslose niemals zum Austrag gebracht werden könnte.</p><lb/>
<p>Wir streifen hierbei auch den Fall des Sophisten Euathlos, der seinem<lb/>
Rechtslehrer Protagoras das Unterrichtshonorar zu bezahlen versprach, nach-<lb/>
dem er seinen ersten Prozess gewonnen haben würde, dann aber überhaupt<lb/>
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keinen Prozess führte bis ihn sein Lehrer auf Zahlung des Honorars ver-<lb/>
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verschiedener Spruch gefällt werden. Zunächst war die Bedingung des<lb/>
Vertrages noch nicht eingetreten: Euathlus hatte <hi rendition="#i">bis dahin</hi> noch keinen<lb/>
Prozess gewonnen, war also <hi rendition="#i">noch nicht</hi> zur Bezahlung verpflichtet. Er<lb/>
musste also <hi rendition="#i">diesen</hi> Prozess gewinnen. Aber eben hierdurch veränderte sich<lb/>
die Sachlage und es musste dem Protagoras das Recht gewährt werden,<lb/>
auf Grund des <hi rendition="#i">veränderten</hi> Verhältnisses eine <hi rendition="#i">zweite</hi> Klage anhängig zu<lb/>
machen, die nunmehr zu seinem Vorteil entschieden werden musste“. Ueberweg<hi rendition="#sup">1</hi><lb/>
p. 360 sq.). Auf hier nur gestreifte Schwierigkeiten und die traditionellen<lb/>
logischen Paradoxien geht Mr. Peirce in <hi rendition="#sup">10c</hi> mit grossem Scharfsinn ein.</p><lb/>
<p>Um den Sinn einer Aussage zu einem <hi rendition="#i">vollkommen bestimmten</hi> zu<lb/>
machen, ist nicht erforderlich, dass dieselbe über alles Erdenkliche,<lb/>
dass sie vollständige Auskunft gebe. Jede noch so ausführliche oder<lb/>
detaillirte Aussage, mag sie auch von Weisheit strotzen, ist nur ein<lb/>
verschwindend kleines Bruchstück aus der vollen Wahrheit, welche<lb/>
die ganze Wirklichkeit beschreibend umfassen müsste; sie ist und<lb/>
bleibt nur ein kurzer Auszug (an „abstract“), in welchem von einer<lb/>
ungeheuren Mehrheit von Nebenumständen, für die Untersuchung un-<lb/>
wesentlich erscheinenden Ereignissen, Verhältnissen und Beziehungen<lb/>
abgesehen, abstrahirt wird; ja sogar auch wesentliche Beziehungen<lb/>
verschwiegen, eventuell für fernere Aussagen aufgespart, der Fort-<lb/>
setzung der Untersuchung oder Mitteilung vorbehalten werden.</p><lb/>
<p>Ich kann darum nicht umhin, die Formel des deutschen Zeugeneides<lb/>
(wie ich sie wenigstens bei schöffengerichtlichen Verhandlungen kennen<lb/>
gelernt habe) nach welcher Zeuge einfach schwören muss <hi rendition="#i">„nichts zu ver-<lb/>
schweigen“</hi> (statt etwa: „nichts, was nach des Zeugen bestem Ermessen für<lb/>
die Untersuchung von Belang sein könnte“, oder vielleicht: „nichts, wonach<lb/>
er gefragt wird“) schon in logischer Hinsicht zu beanstanden.</p><lb/>
<p>All’ unser Wissen, nicht nur, sondern auch unser Aussagen bleibt<lb/>
Stückwerk. Bei den kategorischen Urteilen wenigstens — auf die<lb/>
andern kommen wir noch eingehend zu sprechen — scheint für die<lb/>
Bestimmtheit der Aussage es auszureichen, wenn Subjekt und Prädi-<lb/>
kat derselben wohldefinirte Klassen sind, deren Determination — mag<lb/>
sie näher auch in der Aussage selbst erst erfolgen — doch mittelst<lb/>
anderweitig schon bekannter Klassen, mittelst <hi rendition="#i">gegebener</hi> Begriffe er-<lb/>
folgt. [Bei dem Subjekt des oben angeführten Beispiels „Diese Aus-<lb/>
sage ist unwahr“, war solches — in der suppositio realis, d. h. wenn<lb/>
„diese Aussage“ nicht blos als grammatikalischer Satz, als Wortgefüge,<lb/>
sondern dem Sinne nach genommen wird — wie erkannt, nicht der Fall.]</p><lb/>
<p>Soll eine verständliche Aussage mit solchem bestimmten Sinne<lb/>
auch noch den Anspruch auf Wahrheit verbinden, so muss — ob zwar<lb/>
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<fw type="header" place="top">§. 28. Zum Aussagenkalkul.</fw><lb/>
sie unvollständig, nur ein Bruckstück der Wahrheit bleibt — doch<lb/>
diejenige Auskunft wenigstens, welche die Aussage gibt, von ihr richtig<lb/>
gegeben sein, d. h. es muss möglich bleiben, mit der Phantasie oder<lb/>
auf Grund weiterer Forschungen, alles das, was die Aussage un-<lb/>
erwähnt und darum offen gelassen, sowie auch, was sie allenfalls aus-<lb/>
drücklich als unbestimmt hinstellte, wahrheitsgemäss noch nachzutragen,<lb/>
und zwar ohne dass ein Widerspruch zu ihr selbst entsteht. Die Praxis<lb/>
des Lebens kehrt sich nicht immer hieran, indem sie aus Rücksicht<lb/>
auf die Schwierigkeiten der Mitteilung, auf die Unmöglichkeit, alles<lb/>
Erforderliche auf einmal zu sagen, zuweilen gestattet, eine gemachte<lb/>
Aussage durch nachträgliche Anführung von Einschränkungen oder<lb/>
Ausnahmen teilweise wieder aufzuheben. In solchen Fällen ist jene<lb/>
erste Aussage, mag sie auch grammatikalisch bereits abgeschlossen<lb/>
sein, doch in logischer Hinsicht als eine unfertige anzusehen, welche<lb/>
erst mit dem Hinzutreten der Einschränkungen ihre Vollendung erhält.</p><lb/>
<p>Ich glaube mich hier mit diesen wenigen Andeutungen begnügen zu<lb/>
dürfen, wenn auch mit dem vollen Bewusstsein ihrer Unzulänglichkeit, indem<lb/>
ich mir nicht verhehle, dass es wol zu den schwierigsten Aufgaben gehören<lb/>
möchte, allgemein zu charakterisiren, wann eine Aussage sinnlos ist, wann da-<lb/>
gegen sie einen vaguen, wann einen ganz bestimmten Sinn besitzt, gleichwie<lb/>
im letzteren Falle, zu sagen, was es eigentlich heisst, dass sie wahr oder falsch sei.</p><lb/>
<p>Sinnlos ist z. B. die in unsrer fränkischen Provinz populäre Wetter-<lb/>
regel: „Sobald ein Stück blauen Himmels zu erblicken ist, <hi rendition="#i">so gross,</hi> dass der<lb/>
Schneider ein Paar Beinkleider daraus fertigen könnte, so gibt es an dem<lb/>
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sagte: „so gross wie eine Ellipse“) versagt die scheinbar gegebene Grössen-<lb/>
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Unsicherheit der Wetterprophezeiung überhaupt persifliren.</p><lb/>
<p>Ist die stets in einerlei Sinne verstandene, die Aussage <hi rendition="#i">konstanten</hi><lb/>
Sinnes einmal wahr, so bleibt sie dies auch in alle Ewigkeit und<lb/>
musste es immer gewesen sein, sie gilt dann <hi rendition="#i">stets</hi>; ist sie falsch, so<lb/>
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<p>Wir werden künftig ganze Aussagen nicht selten mittelst Buch-<lb/>
staben darstellen. Bedeutet <hi rendition="#i">a</hi> die Aussage: „2 × 2 ist 4“, und <hi rendition="#i">b</hi> die<lb/>
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(stets) falsche Aussage.</p><lb/>
<p>So oft wir eine Aussage <hi rendition="#i">in Rechnung setzen</hi>, und zwar einerlei, ob<lb/>
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keitsdauer</hi> verstanden, ausgelegt werden.</p><lb/>
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<p>Für die obigen Beispiele dürfen wir demnach sagen, dass:<lb/>
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ist. Anstatt — wie hienach berechtigt — zu schreiben:<lb/>
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<p>Bedeutet <hi rendition="#i">c</hi> die Aussage: „Die Masse der Welt ist konstant“ und<lb/>
<hi rendition="#i">d</hi> die Aussage: „Die Materie ist vergänglich“, so ist (nach den Grund-<lb/>
lehren der Physik) ebenso <hi rendition="#i">c</hi> = i und <hi rendition="#i">d</hi> = 0, die erstere nämlich wahr,<lb/>
die letztere falsch, und zwar nicht nur soeben, sondern überhaupt.</p><lb/>
<p>Man könnte gegen oben Gesagtes einwenden: der Ausspruch<lb/>
„Caesar wurde ermordet“ sei vor oder während seiner Ermordung noch<lb/>
nicht wahr gewesen, sei erst seitdem wahr. Wird das Tempus des<lb/>
Verbums festgehalten, so ist dieser Einwand auch sicherlich berechtigt.<lb/>
Allein dann haben wir, obzwar eine Aussage von grammatikalisch<lb/>
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<p>Aus diesem Beispiel wird ersichtlich, dass ein <hi rendition="#i">erzählendes</hi> (eventuell<lb/>
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stimmten Zeitpunkt oder Zeitraum verweisen, wofern es solchen nicht<lb/>
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<p>Letzteres wäre für unser Beispiel etwa der Fall, wenn wir sagten:<lb/>
Die Ermordung Caesar’s ist ein Ereigniss in der Wirklichkeit, ist (eine)<lb/>
historische Thatsache. Das andere, falls wir sagten: „Die Ermordung<lb/>
Caesar’s fällt in das Jahr 44 v. Chr.“ In dieser Fassung ist der Satz<lb/>
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1900 findet eine ringförmige Sonnenfinsterniss statt“. Letzteres ist<lb/>
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<fw type="header" place="top">§. 28. Schätzung von Aussagen nach den Zeiten ihrer Gültigkeit.</fw><lb/>
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Sprachgebrauch gestattet in solchen Fällen die Präsensform; doch ist<lb/>
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ein Ereigniss fällt, in dem ein Zustand währt, jede <hi rendition="#i">Temporalflexion</hi> des<lb/>
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<p>Nun kann aber in unsern Kultursprachen eine Aussage überhaupt<lb/>
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Aussage steht, wenn wir sagen: „zwei mal zwei <hi rendition="#i">ist</hi> vier“, als wenn<lb/>
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<p>Es scheinen mir neben den zugehörigen unterscheidenden Formen sogar<lb/>
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schieden werden müssen; ich wüsste wenigstens die zweite Art des Präsens<lb/>
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<p>Im wissenschaftlichen Interesse wäre wol zu wünschen, dass es<lb/>
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<p>Und ferner — als praktisch vielleicht in noch höherem Maasse<lb/>
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gangenheit, vielleicht der Gegenwart und teilweise auch der Zukunft<lb/>
angehören mögen, bei denen es aber unbekannt oder nebensächlich ist,<lb/>
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schaften sich die erwähnte Armut der Wortsprache nicht schlimmer fühlbar<lb/>
gemacht hat, und deshalb fortbestehen konnte, erklärt sich unschwer aus<lb/>
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Wissenschaften, bei deren ersteren es niemals gleichgültig erscheint, ob ein<lb/>
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<p>Von solcher Art ist wol die ungeheure Mehrzahl aller mensch-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Gültigkeitsdauer.</fw><lb/>
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sich reden lassen wird), eine Gültigkeitsdauer, die nur eben ein ge-<lb/>
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<p>Stellen wir uns eine Person, einen „idealen Meteorologen“ (!) vor,<lb/>
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Platze), Es regnet, es regnet. So wird die Aussage wahr sein, so-<lb/>
bald und solange wirklich Regentropfen auf dieses Individuum fallen,<lb/>
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bezogene) Aussage hat daher eine bestimmte Gültigkeitsdauer, welche<lb/>
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ledigen wir vorweg das Allgemeinere, wenn wir die ferneren Betrachtungen<lb/>
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<p>Eine Subsumtion:<lb/>
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zieht es nach sich; „<hi rendition="#i">aus a folgt b</hi>“. Ausdrücklich muss jedoch bemerkt<lb/>
werden, dass der Zusammenhang zwischen den Gültigkeiten von <hi rendition="#i">a</hi> und<lb/>
<hi rendition="#i">b</hi> damit durchaus nicht hingestellt werden soll als ein logischer oder<lb/>
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Subsumtion und die Redensarten, durch welche wir sie wiedergeben,<lb/>
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<p>Jener Umstand ist aber, wie angedeutet, als ein Nebenumstand zu<lb/>
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welch’ letzterem Falle wir von einem <hi rendition="#i">kausalen</hi> Zusammenhange reden.</p><lb/>
<p>Jenes „wann“ kann unter Umständen auch durch „während“ (engl.<lb/>
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<p>Betrachten wir dagegen den Satz: „Dolor, si longus, levis, si gravis,<lb/>
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<p>Das Beispiel ist instruktiv, insofern es im Bedingungssatze des einen<lb/>
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Das „si“, „wenn“, hier etwa durch „solange“ oder „während“ „dum“ zu er-<lb/>
setzen ginge durchaus nicht an, und dennoch wird sich jedes seiner beiden<lb/>
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mag das Beispiel dazu dienen, die Unvollständigkeit der bisherigen Be-<lb/>
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<p>Zwei Aussagen <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> werden nun nach der Def. (1) der Gleich-<lb/>
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Gebietekalkul) <hi rendition="#i">einander äquivalent</hi>, oder <hi rendition="#i">gleich</hi>, zu nennen sein, wenn<lb/>
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<p>Im übrigen mögen unter sich äquivalente Aussagen ihrem Inhalt<lb/>
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<p>Bedeutet z. B. <hi rendition="#i">a</hi> die Aussage: „2 × 2 ist 4“ und <hi rendition="#i">b</hi> die Aussage: „Die<lb/>
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<p>Die Gleichheit <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> würde ebenso bestehen, falls <hi rendition="#i">a</hi> die Aussage be-<lb/>
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<p>Wegen dieser Unabhängigkeit ihres Inhaltes musste für die<lb/>
„<hi rendition="#i">Äquivalenz</hi>“ der Aussagen ein anderer Name gewählt werden als der<lb/>
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<p><hi rendition="#i">Äquipollent</hi> nennt die Logik solche Urteile, die mit Denknotwendig-<lb/>
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<p>Äquipollente Urteile sind auch immer einander äquivalent, oder im<lb/>
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greift diese Begriffsbestimmung dem Umfange nach weit hinaus (während<lb/>
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<fw type="header" place="top">§. 28. Aussagen in Reflexion auf ihre Gültigkeitsdauer.</fw><lb/>
sie hinsichtlich des Inhaltes hinter ihr zurückbleibt). Für die Wahl<lb/>
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statements“) mitbestimmend. Wegen der grösseren Allgemeinheit un-<lb/>
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wir der ersteren Bezeichnung den Vorzug auch in Fällen, wo wir die<lb/>
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<p>Zieht man Aussagen nach ihrer Äquivalenz in Betracht, frägt man<lb/>
darnach, ob solche vorliege, oder nicht, so ist von dem charakteristischen<lb/>
Inhalte jener Aussagen zu abstrahiren und auf ihre Gültigkeitsdauern<lb/>
zu reflektiren.</p><lb/>
<p>Jedenfalls hindert nichts, eine Aussage, abgesehen von ihrem <hi rendition="#i">In-<lb/>
halte A</hi> (d. h. demjenigen, worüber sie uns Auskunft gibt), blos nach<lb/>
ihrer <hi rendition="#i">Gültigkeitsdauer a</hi> in’s Auge zu fassen, und wer die Besorgniss<lb/>
hegt, diese beiden Hinsichten in welchen Aussagen sich betrachten<lb/>
lassen, zu vermengen, kann sie dadurch auseinanderhalten, dass er die<lb/>
entsprechenden Buchstaben zweier verschiedenen Alphabete für die eine<lb/>
und für die andre Deutungsweise verwendet. Der Übergang von der<lb/>
einen zur andern Interpretation ist jedoch ein so leicht zu vollziehender<lb/>
an welchen man sich bald gewöhnt und worin man rasch Übung er-<lb/>
wirbt, dass uns solch’ ängstliches Auseinanderhalten hier unnötig er-<lb/>
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<p>Um nun also vom bisherigen Gebiete- und Klassenkalkul un-<lb/>
mittelbar zum <hi rendition="#i">Aussagenkalkul</hi> fortzuschreiten und letztern auch mit<lb/>
<hi rendition="#i">einem</hi> Schlage errichtet sowie begründet zu haben, braucht man blos<lb/>
<hi rendition="#i">unter den Buchstaben</hi>symbolen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, … <hi rendition="#i">irgendwelche Aussagen</hi> (Be-<lb/>
hauptungen, Urteile) <hi rendition="#i">zu verstehen und auszumachen</hi>, <hi rendition="#i">dass sobald mit diesen<lb/>
Symbolen gerechnet wird</hi> (sobald mittelst Negation, Multiplikation oder<lb/>
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Gleichungen etc. zwischen denselben angesetzt werden), <hi rendition="#i">sie als ihre<lb/>
Gültigkeitsdauern gedeutet werden sollen</hi>, dass also unter irgend einer<lb/>
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<p>Was hiernach eine Subsumtion <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>, und eine Gleichung <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><lb/>
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<p>In Bezug auf erstere ist jedoch noch der „Grenzfälle“ Erwähnung<lb/>
zu thun, wo das Subjekt oder Prädikat der Subsumtion <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> durch<lb/>
die Aussagensymbole 0 oder i vertreten erscheint.</p><lb/>
<p>Die Bedeutung auch dieser beiden Zahlensymbole im Aussagen-<lb/>
<fw type="sig" place="bottom"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Logik. II 2</fw><lb/>
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<fw type="header" place="top">Fünfzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
kalkul wurde bereits angegeben: <hi rendition="#i">Aussage</hi> i ist jede stets wahre Aus-<lb/>
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Wir haben auch:<lb/>
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gebe, oder die Subsumtion 1 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> 0. Desgleichen haben wir:<lb/>
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<p>Gleichwie die identische Null ihrer Definition (2) gemäss Subjekt<lb/>
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satze</hi>, und <hi rendition="#i">eine Aussage</hi> i <hi rendition="#i">zulässiger Folgesatz zu jedem Bedingungssatze</hi>.</p><lb/>
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mata für die Wissenschaft vom höchsten Wert erscheint, die verbale For-<lb/>
mulirung derselben minderwertig ist.</p><lb/>
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<item>„ „ „ so scheint hier die Sonne (vergl. 0 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>).</item><lb/>
<item>„ „ „ so ist 2 × 2 = 4 (vergl. 0 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> i).</item></list><lb/>
<p>Da die im Bedingungssatze ausgesprochene Voraussetzung eben niemals zu-<lb/>
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„nichts“, nämlich auf ein leeres Zeitgebiet. Sie aber als richtige an-<lb/>
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<p>Im zweiten Falle (0 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) darf, obwol die Gültigkeitsdauer des Vorder-<lb/>
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hufs näherer Erläuterung dessen, mutatis mutandis, die Bemerkungen zu<lb/>
wiederholen, die wir in § 9 unter <hi rendition="#i">v</hi>) bezüglich verbaler Wiedergabe einer<lb/>
Subsumtion 0 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> im Klassenkalkul ausgeführt haben [die letztere durfte<lb/>
auch nicht in Gestalt von „Nichts ist <hi rendition="#i">a</hi>“ dort wiedergegeben werden].<lb/>
Wenn <hi rendition="#i">a</hi> die Aussage bedeutet: „Hier scheint die Sonne“, so wäre vielmehr<lb/>
der vorige Satz („Nie scheint etc.“) mit <hi rendition="#i">a</hi> = 0 in der Formelsprache des<lb/>
Aussagenkalkuls darzustellen.</p><lb/>
<p>Legt z. B. <hi rendition="#g">Emanuel Geibel</hi> dem in Sklaverei befindlichen Neger-<lb/>
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an den grossen Geist: wann wird der Jammer deiner schwarzen Kinder enden?<lb/>
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<p>„Ach das mag geschehen, wenn der Mississippi rückwärts fliesset, …<lb/>
Wenn die weissen freien Pflanzer, wenn die Christen <hi rendition="#i">Menschen</hi> werden“,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 28. Aussagen, als Gültigkeitszeiten gedeutet.</fw><lb/>
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<p>Analog sind Urteile hier anzuerkennen, wie diese:</p><lb/>
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<item>Wenn die Sonne scheint, so ist 2 × 2 = 4; (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> i).</item><lb/>
<item>Wenn die Masse der Welt konstant ist, so ist 2 × 2 = 4; (i <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> i).</item></list><lb/>
<p>Der Nachsatz gilt hier nämlich an sich und ganz unabhängig von dem<lb/>
Vorder- oder Bedingungssatze. Psychologisch mag das anders sein, aber<lb/>
logisch sagt das hypothetische Urteil doch für den Fall, wo seine Hypo-<lb/>
these nicht zutrifft, überhaupt nichts aus. Behaupte ich etwas für den<lb/>
Fall (die Zeit), wo die Sonne scheint, so ist damit in keiner Weise präju-<lb/>
dizirt für die Fälle, wo sie nicht scheint; es bleibt, wenn für den ersteren<lb/>
behauptet ist, dass 2 × 2 = 4 sei, unbenommen zu denken, dass es auch<lb/>
für die letzteren sich also verhalte, nur wird dies im Urteile eben frei-<lb/>
gestellt, unentschieden oder offen gelassen.</p><lb/>
<p>Freilich ist, beim zweiten der obigen drei Beispiele (z. B.) zuzugeben,<lb/>
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enthält, weshalb denn auf das für ähnliche Fälle schon in § 1 Gesagte<lb/>
zurückverwiesen sei. Wie dort, so sind auch hier die Urteile dem Vor-<lb/>
wurf ausgesetzt, dass sie mit Umständlichkeit nur einen Teil der Wahrheit<lb/>
ausdrücken, während „die ganze“ sich viel einfacher sagen liesse — in Ge-<lb/>
stalt der Behauptung, dass 2 × 2 = 4. In logischer Hinsicht aber sind<lb/>
solche Urteile nicht zu beanstanden.</p><lb/>
<p>Steht, entgegen den bisherigen Beispielen, die Null als Prädikat<lb/>
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Urteile einen wirklichen Gehalt. Der letztere lässt sich dann aller-<lb/>
dings auch einfacher darstellen, wird jedoch zu rhetorischen Zwecken,<lb/>
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schuldigung zu vermeiden. Z. B. Das hypothetische Urteil: „Wenn das<lb/>
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schreibt blos die Behauptung: „Das ist nicht mit rechten Dingen zu-<lb/>
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<p>Das Urteil: „Wenn 2 × 2 (noch) vier ist, so bin ich unschuldig“<lb/>
(i <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) kommt der Beteuerung gleich: (<hi rendition="#i">a</hi>) „Ich bin unschuldig.“ Psy-<lb/>
chologisch weist es vielleicht darüber hinaus auf eine Notwendigkeit<lb/>
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<p>Tritt beides zugleich ein, steht nämlich die i als Subjekt und die 0<lb/>
als Prädikat einer Aussagensubsumtion, so haben wir in Gestalt derselben:<lb/>
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<fw type="header" place="top">Fünfzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
i <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> 0, eine <hi rendition="#i">absurde</hi> Aussage vor uns, deren Gültigkeitsdauer (wie schon<lb/>
einmal erwähnt) eben selbst 0 ist.</p><lb/>
<p>Das identische <hi rendition="#i">Produkt</hi> und die identische <hi rendition="#i">Summe</hi> zweier <hi rendition="#i">Aussagen<lb/>
a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> können nunmehr selbst wieder als Aussagen gedeutet werden<lb/>
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<p>Es bedeutet <hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">b</hi> oder <hi rendition="#i">a b</hi> das Urteil, welches aussagt, dass die Aus-<lb/>
sagen <hi rendition="#i">a und b</hi> beide (gleichzeitig, zugleich) gelten. Diese Aussage<lb/>
hat in der That das den Gültigkeitsdauern von <hi rendition="#i">a</hi> und von <hi rendition="#i">b gemein-<lb/>
same</hi> Gebiet von Zeitpunkten zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer.</p><lb/>
<p>Ein Produkt von Aussagen stellt demnach das System derselben,<lb/>
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vor; und umgekehrt lässt ein solches System stets als eine einzige<lb/>
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<p>In Worten pflegt man die Faktoraussagen einfach selbständig hin-<lb/>
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„und“, „sowol ‥ als auch“ etc. verbunden. Z. B.: Nicht nur (<hi rendition="#i">a</hi> =) „der<lb/>
Stoff, die Materie ist unvergänglich“, sondern auch (<hi rendition="#i">b</hi> =) „die lebendige<lb/>
Kraft, Energie, lässt sich weder erzeugen, noch vernichten“ — ist solch’<lb/>
ein Aussagenprodukt: <hi rendition="#i">a b</hi>.</p><lb/>
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verstanden als „oder auch“ [vergl. § 8, <hi rendition="#i">ϑ</hi>)] sonach entweder die eine,<lb/>
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gekehrt wird sich jede „<hi rendition="#i">Alternative</hi>“ zwischen Aussagen — sofern sie,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten.</fw><lb/>
<p>Für die eventuelle Zusammenziehung von mehreren Aussagen,<lb/>
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<p>Den Klassenkalkul vermochten wir seinerzeit ein nicht unbeträcht-<lb/>
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<p>Wir könnten hiernach bereits zu Anwendungen des Aussagen-<lb/>
kalkuls schreiten, wenn es nicht für viele, ja für die meisten Aussagen<lb/>
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„Gültigkeitsdauer“ zu gelangen. In den bisherigen Beispielen sind wir<lb/>
solchen Schwierigkeiten noch aus dem Wege gegangen.</p><lb/>
<p>Was aber — fragen wir uns — soll nun etwa verstanden werden<lb/>
unter der „Gültigkeitsdauer“ bei Aussagen wie diese:<lb/>
<list><item>„Es friert“ (<hi rendition="#i">ohne</hi> nähere Angabe eines Ortes, <hi rendition="#i">wo</hi> es frieren sollte);</item><lb/>
<item>„Das Dreieck <hi rendition="#i">A B C</hi> ist rechtwinklig“</item><lb/>
<item>„Die Funktion <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>) ist symmetrisch“</item><lb/>
<item>„Das Salz ist chemisch rein“, etc.</item></list><lb/>
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<p>Man könnte solche Aussagen oder „<hi rendition="#i">unbestimmte singuläre</hi>“ Urteile,<lb/>
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<p>Die Wahrheit oder Falschheit einer solchen Aussage hängt ganz<lb/>
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Dreieck verstehen, wird die zweite Aussage wahr, andernfalles wird sie<lb/>
falsch sein. Die dritte Aussage, auf irgend eine unsymmetrische Funktion<lb/>
<hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>) angewendet, ist falsch, auf eine symmetrische bezogen, richtig, etc.</p><lb/>
<p>Wollte man auch hier zur Vorstellung von einer „Gültigkeitsdauer“<lb/>
gelangen, so müsste man sich die verschiedenen Momente vergegenwärtigen,<lb/>
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in welchen eine bestimmte Person — sagen wir im zweiten Falle etwa ein<lb/>
gewisser Mathematiker, Geometer — sich diese Aussage aneignet; die<lb/>
Gültigkeitsdauer würde dann aus den Zeitmomenten sich zusammensetzen,<lb/>
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irrtümlich, zu Unrecht geschieht, und bezogen auf eine Mannigfaltigkeit,<lb/>
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wir den ganzen Zeitbereich erschöpfen wollten, so müssten wir einen idealen<lb/>
Mathematiker fingiren, welcher alle erdenklichen Dreiecke <hi rendition="#i">A B C</hi> in einer<lb/>
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Munde führt. Unzweifelhaft würde so ein bestimmtes Gebiet von Zeit-<lb/>
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wäre die fragliche Gültigkeitsdauer.</p><lb/>
<p>Wegen der Unbestimmtheit, Willkürlichkeit aber jener Reihenfolge des<lb/>
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hätte, entbehrt der ganze Begriff indess der erforderlichen Bestimmtheit,<lb/>
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gelangen sollte, etwas Gezwungenes an sich hat.</p><lb/>
<p>Bei den fraglichen „Gelegenheitsurteilen“ wird man darum gut<lb/>
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<p>Darnach wird, wenn <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> Gelegenheitsaussagen vorstellen, die<lb/>
Subsumtion <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/>
zum Ausdruck bringen, dass die Klasse der Gelegenheiten, bei welchen<lb/>
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Gelegenheiten, bei welchen die Aussage <hi rendition="#i">b</hi> zutrifft, d. h. wieder: „Wenn<lb/>
<hi rendition="#i">a</hi> gilt, so gilt auch <hi rendition="#i">b</hi>“. Und bei äquivalenten Aussagen fallen beide<lb/>
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<p>Beispielsweise möge <hi rendition="#i">a</hi> die Aussage bedeuten: „Das Viereck <hi rendition="#i">A B C D</hi><lb/>
ist eine Raute“, und <hi rendition="#i">b</hi> die Aussage: „Im Viereck <hi rendition="#i">A B C D</hi> stehen die<lb/>
beiden Diagonalen auf einander senkrecht“, so gilt <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>, d. h. Wenn<lb/>
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<p>Bedeutete ferner <hi rendition="#i">a</hi> die Aussage: „Die Ecken des Vierecks <hi rendition="#i">A B C D</hi><lb/>
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genannt werden, weil sie <hi rendition="#i">erst auf Grund der Axiome</hi> <hi rendition="#g">Euklid’</hi>scher<lb/>
<hi rendition="#i">Geometrie</hi> denknotwendig auseinander folgen — diese Axiome aber an-<lb/>
zunehmen erwiesenermassen keine Denknotwendigkeit gebietet.</p><lb/>
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Kalkuls gewonnen. Es stellt sich der <hi rendition="#i">Aussagenkalkul</hi> dergestalt als<lb/>
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<p>Auch die früher aufgestellte „Gültigkeitsdauer“ bei denjenigen<lb/>
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lässt, kann jetzt ohne weiteres aufgefasst (oder umgedeutet) werden<lb/>
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Aussage z. B. „Es regnet soeben am hiesigen Platze“ im gegen-<lb/>
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<p>Es wird demnach das Gebäude unsres Aussagenkalkuls auf einer<lb/>
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<p>Die Nullaussage entspricht wiederum einer leeren Klasse, die<lb/>
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wollen, mag man auffassen als die Gesamtklasse aller Gelegenheiten,<lb/>
bei welchen überhaupt Aussagen zu machen sind — bei allen diesen<lb/>
wird z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 4, auch berechtigt erscheinen.</p><lb/>
<p>Es versteht sich, dass man die formalen Abmachungen des gegen-<lb/>
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kapitulirend zusammenstellen:</p><lb/>
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<item><hi rendition="#i">a</hi> = 0: sie <hi rendition="#i">gilt nicht; a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>: <hi rendition="#i">wenn a</hi> gilt, <hi rendition="#i">so</hi> gilt <hi rendition="#i">b</hi>; <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>: wenn <hi rendition="#i">a</hi> gilt<lb/>
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<p>Man könnte darnach die ersten Sätze des Aussagenkalkuls in Formeln<lb/>
hinstellen, indem man einfach an den gesunden Verstand, das Gefühl der<lb/>
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Evidenz appellirte, die komplizirteren Sätze hernach aus den einfacheren<lb/>
beweisend. Auf diese Weise verfährt Herr <hi rendition="#g">McColl</hi>; nach ihm im wesent-<lb/>
lichen auch Herr <hi rendition="#g">Peirce</hi> <hi rendition="#sup">5</hi>, jedoch mit bedeutend tiefer eingehender und<lb/>
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auf den Klassenkalkul übertragen und für diesen verwerten liess (um welchen<lb/>
übrigens <hi rendition="#g">Peirce</hi> sich zuvor <hi rendition="#sup">1a</hi> auch schon Verdienste erworben hatte).</p><lb/>
<p>Indem ich vorstehend den <hi rendition="#i">Zusammenhang</hi> zwischen Gebiete- oder<lb/>
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Bd. 1, S. 290 hingewiesen habe und am Schlusse des § 45 noch weiter ein-<lb/>
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<p>Vor einer naheliegenden Verwechselung muss übrigens noch ge-<lb/>
warnt, es muss auf einen Umstand aufmerksam gemacht werden, der<lb/>
sonst leicht eine Quelle der Verwirrung werden könnte:</p><lb/>
<p>Nachdem wir die „<hi rendition="#i">hypothetischen</hi>“ Urteile: „Wenn <hi rendition="#i">a</hi> gilt, so gilt <hi rendition="#i">b</hi>“<lb/>
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thesis) eine Behauptung (Thesis) knüpfen — darstellen gelernt haben<lb/>
durch eine Subsumtion des Aussagenkalkuls:<lb/>
<hi rendition="#c"><formula/>,</hi><lb/>
so ist für letztere neben der nach dem Bisherigen berechtigt erscheinen-<lb/>
den Redensart: „<hi rendition="#i">a</hi> ist in <hi rendition="#i">b</hi> enthalten“ in einem gewissen — allerdings<lb/>
ganz andern — Sinne auch die umgekehrte Redensart anwendbar und<lb/>
sogar vorwiegend üblich: „<hi rendition="#i">a</hi> enthält <hi rendition="#i">b</hi>, oder <hi rendition="#i">begreift es unter sich</hi> (m.<lb/>
a. W.: <hi rendition="#i">b</hi> ist in <hi rendition="#i">a</hi> mitenthalten)“ — vergleiche Bd. 1, S. 623 sq. Be-<lb/>
deuten <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> Aussagen, so sagt der Engländer geradezu: „<hi rendition="#i">a</hi> im-<lb/>
plies <hi rendition="#i">b</hi>“, und würde im Deutschen dem entsprechen: „<hi rendition="#i">a</hi> schliesst <hi rendition="#i">b</hi> in<lb/>
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tensiver</hi>“ Hinsicht, im Hinblick allerdings auf den Inhalt der Aussagen,<lb/>
ist solches auch berechtigt, während in „<hi rendition="#i">intensiver</hi><note place="foot" n="*)">Man könnte sich hier versucht fühlen, auch diese beiden in Anhang 4<lb/>
motivirten Benennungen umzutauschen, die Vorsilben <hi rendition="#i">in-</hi> und <hi rendition="#i">ex-</hi> gerade umge-<lb/>
kehrt zu verwenden.</note> Hinsicht, im Hin-<lb/>
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gekehrte Beziehung stattfindet, wie sie die Fig. 1 (mit 2) des Bd. 1 versinn-<lb/>
lichen würde; da würde denn auch auf Englisch zu sagen sein: „<hi rendition="#i">b</hi> implies<lb/>
<hi rendition="#i">a</hi>“. Dadurch, dass wir uns im Aussagenkalkul des Verbums „Enthalten-<lb/>
sein“ lieber gänzlich enthalten, statt dessen uns einer der unverfäng-<lb/>
licheren synonymen Ausdrucksformen bedienend, werden wir im<lb/>
Deutschen Missverständnissen am besten aus dem Wege gehn.</p></div><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 29. Übersetzung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls.</fw><lb/>
<div n="3"><head>§ 29. <hi rendition="#b">Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze in der Zeichen-<lb/>
sprache des Aussagenkalkuls. Das Summenzeichen <hi rendition="#i">Σ</hi><lb/>
und das Produktzeichen <hi rendition="#i">Π</hi>.</hi></head><lb/>
<p>Wir <hi rendition="#i">wiederholen</hi> nun die Definitionen, Prinzipien und Sätze des<lb/>
<hi rendition="#i">Gebietekalkuls</hi>, indem wir uns der abkürzenden Schreibung des Aussagen-<lb/>
kalkuls bedienen — wie sie im vorigen Paragraphen erläutert worden.</p><lb/>
<p>Die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabets sollen jetzt<lb/>
wieder <hi rendition="#i">Gebiete</hi> unsrer bevorzugten Mannigfaltigkeit (der Fläche 1 der<lb/>
Schultafel) vorstellen, oder auch — wenn man will — <hi rendition="#i">Klassen</hi> von<lb/>
Individuen aus irgend einer „gewöhnlichen“ Mannigfaltigkeit von Ob-<lb/>
jekten des Denkens.</p><lb/>
<p>Die Aussagen, welche ursprünglich in Betracht kommen, werden<lb/>
sich auf eben diese Gebiete oder Klassen beziehen und sollen dann<lb/>
„<hi rendition="#i">primäre</hi>“ genannt werden.</p><lb/>
<p>Wol alle Theoreme des Gebietekalkuls behaupten etwas <hi rendition="#i">von</hi> diesen<lb/>
primären Aussagen: sei es deren unbedingte und allgemeine Gültigkeit,<lb/>
sei es die einseitige Abhängigkeit der einen als Behauptung von den<lb/>
andern als Voraussetzung des Theorems hingestellten, sei es auch die<lb/>
gegenseitige Abhängigkeit oder Äquivalenz gewisser einzelner oder<lb/>
auch Gruppen von solchen primären Aussagen.</p><lb/>
<p>Wir mögen deshalb diese Theoreme oder <hi rendition="#i">Aussagen über</hi> (primäre)<lb/>
<hi rendition="#i">Aussagen</hi> (nun) „<hi rendition="#i">sekundäre</hi>“ Aussagen nennen.</p><lb/>
<p>Anstatt wie früher mittelst verbalen Textes sollen nun diese<lb/>
sekundären Aussagen durch Formeln in der Sprache des Aussagen-<lb/>
kalkuls dargestellt werden, was auf eine blosse <hi rendition="#i">Übersetzung</hi> der Wort-<lb/>
sprache in die Formelsprache hinauslaufen wird. Original und Über-<lb/>
setzung sollen dabei jeweils durch die übereinstimmende Chiffrirung<lb/>
aufeinander bezogen werden.</p><lb/>
<p>Das Übersetzen aber hat für uns einen doppelten Zweck.</p><lb/>
<p>Es mag einerseits des Objektes, Themas, <hi rendition="#i">der Theoreme halber</hi> ge-<lb/>
schehen, für welche es eine Art Repetition bildet, bei der sie aber<lb/>
meist in noch erheblich schärferer Fassung, übersichtlicher und kon-<lb/>
ziser wiederum in Erinnerung gerufen werden; zugleich wird ein Über-<lb/>
blick über die ganze Reihe der (etwa <formula/> Hundert) wichtigeren Sätze<lb/>
geschaffen, der sich zum Nachschlagen bei etwaigen Citaten für Jeden<lb/>
der die Formelsprache zu lesen versteht, sonach auch für die Zukunft,<lb/>
vorzugsweise empfiehlt.</p><lb/>
<p>Andrerseits aber soll jenes Übersetzen auch um seiner selbst<lb/>
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<fw type="header" place="top">Fünfzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
willen geschehen. Es soll in das Verständniss jener Formelsprache,<lb/>
die vor der Wortsprache eben gewisse Vorzüge besitzt, den Studiren-<lb/>
den praktisch einführen, soll eine gewisse Übung und Geläufigkeit im<lb/>
Gebrauche dieser Zeichensprache anbahnen, die für die Formulirung<lb/>
und Bewältigung späterer schwierigerer Probleme wertvoll oder uner-<lb/>
lässlich ist.</p><lb/>
<p>Wir werden uns hiernächst enthalten, Aussagen etwa auch durch<lb/>
Buchstaben darzustellen. Wo immer eine Aussage mit ihrer Gültig-<lb/>
keitsdauer in Rechnung zu setzen ist, soll dieselbe mit Subjekt, Kopula<lb/>
und Prädikat vollinhaltlich angegeben, „<hi rendition="#i">spezifizirt</hi>“ in eine Klammer<lb/>
geschrieben werden. Dergleichen in die sekundären Formeln ein-<lb/>
gehende primäre Aussagen, welche somit als linke oder rechte Seite<lb/>
einer Subsumtion oder Gleichung, oder ebendarin als Faktor, Summand,<lb/>
vielleicht als Negand auch, auftreten, müssen demnach <hi rendition="#i">in</hi> diesen For-<lb/>
meln jeweils ausgelegt, interpretirt werden als ihre „Gültigkeitsdauern“<lb/>
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<p>Die Ewigkeit i, oder Gesamtklasse aller Gelegenheiten zu Aus-<lb/>
sagen, werden wir von der Tafelfläche 1, wie ausgemacht, durch den<lb/>
Tupfen unterscheiden.</p><lb/>
<p>Letztere 1 indess würde auch durch die erstere i sich durchweg er-<lb/>
setzen lassen und durch sie wirklich zu ersetzen sein, falls man etwa die<lb/>
Gebietsymbole <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">x</hi> … ebenfalls als Aussagen deuten, den <hi rendition="#i">reinen<lb/>
Aussagenkalkul</hi> also (als eine spezielle Anwendung des Gebietekalkuls) <hi rendition="#i">in<lb/>
sich selbst</hi> ausdrücken wollte.</p><lb/>
<p>Unsre primären Aussagen würden dann schon als sekundäre, unsre<lb/>
sekundären als tertiäre zu bezeichnen sein.</p><lb/>
<p>Solches zu thun ist jederzeit <hi rendition="#i">erlaubt</hi>. Es hiesse das aber von einer sehr<lb/>
viel allgemeineren Theorie nur einen ganz speziellen Unterfall hervorhebend<lb/>
darstellen — wie wir in den nächsten Paragraphen genauer darlegen werden.</p><lb/>
<p>Zur exakten Wiedergabe einiger Theoreme werden wir noch eines<lb/>
Paares von neuen Zeichen bedürfen, die wir der Mathematik (zum,<lb/>
wie sich im nächsten Paragraphen zeigt, vollkommen analogen Ge-<lb/>
brauche) entlehnen, nämlich des „<hi rendition="#i">Summenzeichens</hi>“ <hi rendition="#i">Σ (Sigma)</hi> und des<lb/>
„<hi rendition="#i">Produktenzeichens</hi>“ <hi rendition="#i">Π (Pi)</hi>.</p><lb/>
<p>Um nämlich auszudrücken, dass eine auf ein Gebiet <hi rendition="#i">x</hi> bezügliche<lb/>
Aussage <hi rendition="#i">für jedes Gebiet x</hi> (aus unsrer Mannigfaltigkeit 1) gelte oder<lb/>
gelten solle, werden wir das Zeichen <formula/> (gesprochen: Pi nach <hi rendition="#i">x</hi> von …)<lb/>
<hi rendition="#i">vor</hi> dieselbe setzen, und den entstehenden Ausdruck auch das <hi rendition="#i">Produkt</hi>,<lb/>
<hi rendition="#i">genommen nach x</hi>, <hi rendition="#i">von</hi> der dahinterstehenden Aussage nennen.</p><lb/>
<p>Wenn mehreres, ein längerer oder komplizirter Ausdruck hinter dem<lb/>
Zeichen steht, so frägt es sich, bis wohin die fragliche Aussage gehe, wo<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 29. Das Summenzeichen <hi rendition="#i">Σ</hi> und das Produktzeichen <hi rendition="#i">Π</hi>.</fw><lb/>
sie aufhört. Laut einer allgemeinen Übereinkunft erstreckt sich dabei die<lb/>
letztere immer bis zu dem nächsten „freien“ Plus- oder Subsumtions- oder<lb/>
Gleichheitszeichen, wenn wir <hi rendition="#i">„frei“</hi> ein solches Zeichen nennen, welches<lb/>
nicht von einer Klammer umschlossen ist, es sei denn von einer solchen,<lb/>
welche auch das <hi rendition="#i">Π</hi> mit umschliesst; folgt aber überhaupt kein solcher<lb/>
Klammerabschluss, kein solches Zeichen nach, so erstreckt sich die Aus-<lb/>
sage natürlich bis an das Ende des Ausdrucks. Steht also insbesondre<lb/>
ein Produkt hinter dem <hi rendition="#i">Π</hi>, so erstreckt sich die Wirkung dieses Zeichens<lb/>
nicht etwa blos auf den ersten, den dem <hi rendition="#i">Π</hi> zunächst stehenden Faktor<lb/>
desselben, sondern auf das ganze Produkt, indem die Malzeichen, selbst<lb/>
wenn sie ausdrücklich (als Punkte) geschrieben sein sollten, der Wirkung<lb/>
keinen Halt gebieten.</p><lb/>
<p>Dagegen das vor eine (ebenso sich begrenzende) Aussage gestellte<lb/>
Zeichen <formula/> (gesprochen: Summe nach <hi rendition="#i">x</hi> von …) soll uns andeuten,<lb/>
dass die Aussage nicht notwendig für jedes, sondern nur <hi rendition="#i">für ein ge-<lb/>
wisses</hi> Gebiet <hi rendition="#i">x</hi>, oder auch für mehrere gewisse Gebiete <hi rendition="#i">x</hi> (unsrer<lb/>
Mannigfaltigkeit 1) — kurz: für <hi rendition="#i">mindestens ein x</hi> — gelte, oder —<lb/>
als Voraussetzung zum Beispiel — zu gelten habe. Der so entstehende<lb/>
Ausdruck heisst dann auch die <hi rendition="#i">Summe</hi>, <hi rendition="#i">genommen nach x</hi>, <hi rendition="#i">von</hi> der da-<lb/>
hinter stehenden (auf <hi rendition="#i">x</hi> bezüglichen) Aussage.</p><lb/>
<p>Ebenso wird das Zeichen <formula/> andeuten, dass die dahinter stehende<lb/>
(nach erwähnter Übereinkunft sich von selbst begrenzende) Aussage<lb/>
für alle erdenklichen Gebietepaare <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, welche aus unsrer Mn. 1 her-<lb/>
vorgehoben werden können, in Anspruch genommen werde, und das<lb/>
Zeichen <formula/>, dass dieses nur für gewisse Wertepaare <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, mindestens<lb/>
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<p>Die Zeichen <hi rendition="#i">Π</hi>, <hi rendition="#i">Σ</hi> sind in solchem Sinne schon von <hi rendition="#g">Peirce</hi> und<lb/>
<hi rendition="#g">Mitchell</hi> gebraucht. —</p><lb/>
<p>Die Motivirung dieser, auch den Mathematiker vielleicht anfangs be-<lb/>
fremdenden Festsetzungen nebst den etwa nötigen ergänzenden Bemer-<lb/>
kungen in Bezug auf die Gesetze und den regelrechten Gebrauch der<lb/>
beiden Zeichen verschieben wir auf den nächsten Paragraphen.</p><lb/>
<p>Der Ausdruck hinter dem Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi>, <hi rendition="#i">Π</hi>, auf den dasselbe sich<lb/>
bezieht, heisst das „<hi rendition="#i">allgemeine Glied</hi>“ der Summe, resp. der „<hi rendition="#i">allgemeine<lb/>
Faktor</hi>“ des Produkts, und das unter dem Zeichen angemerkte Symbol <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
heisst die „<hi rendition="#i">Summationsvariable</hi>“ resp. „<hi rendition="#i">Produktationsvariable</hi>“; auch kommt<lb/>
die gleiche Benennung (im Plural) den sämtlichen darunter angemerkten<lb/>
Symbolen zu, wenn ihrer mehrere, wie <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, ‥, sich angemerkt finden<lb/>
sollten. —</p><lb/>
<p>Auf § 31 sq. verschieben wir thunlichst alle sonst vielleicht noch<lb/>
wünschenswert erscheinenden Erläuterungen und Erörterungen, um<lb/>
den Überblick nicht zu beeinträchtigen.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">Fünfzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p><hi rendition="#g">Prinzip I der Identität</hi> lautet:<lb/>
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Statt zu sagen: der letztere Satz gilt stets, kann man ihn einfach<lb/>
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<p>Wo in dieser Weise das Umschreiben, Transkribiren eines Theo-<lb/>
rems in die Formelsprache des Aussagenkalkuls keine Vereinfachung<lb/>
seines Ausdrucks liefert und deshalb besser unterlassen wird, wollen<lb/>
wir, wie soeben, ein Ringelchen vor die Chiffre des Theorems setzen.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Prinzip</hi> II <hi rendition="#g">des Subsumtionsschlusses</hi> (Barbara):<lb/>
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<p>Diese Formel definirt primäre oder <hi rendition="#i">Gebietegleichheit</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) aus<lb/>
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mären Aussagen, wie sie das „freie“ Gleichheitszeichen andeutet).</p><lb/>
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zeichneten Deutungsweise unsrer Formeln als solcher des „reinen Aussagen-<lb/>
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<p>Dies ist leicht hinzubringen dadurch, dass man die Formel auflöst in<lb/>
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<p>Man bemerkt nämlich, dass ebenso wie die in ihr vorkommende Teil-<lb/>
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Nach der in ihr selbst gegebnen, für <hi rendition="#i">alle</hi> Aussagen — mögen sie <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi><lb/>
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<p>Für die Theoreme 11) muss wegen Raummangels der Mittelstrich<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 29. Ihre Einkleidung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls.</fw><lb/>
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</table> <p>Hier kommt den links eingeklammerten Sätzen keine Wichtigkeit für<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 29. Übersicht der Sätze.</fw><lb/>
<p>°35) <hi rendition="#g">Th. Satz vom Dualismus</hi> (vergl. § 14):<lb/>
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<p>°36) <hi rendition="#g">De Morgan’s Theoreme</hi>:<lb/>
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S. 502):<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 30. Fortsetzung über <hi rendition="#i">Σ</hi>, <hi rendition="#i">Π</hi>.</fw><lb/>
<p>In Anbetracht, dass mit dem Vorstehenden der elementare Teil<lb/>
unsrer Disziplin einen gewissen Abschluss gefunden hat, wollen wir<lb/>
fortan die Nummernfolge überhaupt nicht weiter fortsetzen.</p><lb/>
<p>Dem Mathematiker ist die Mehrzahl der Sätze teils buchstäblich, teils<lb/>
in der dem Subsumtionszeichen <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> analogen Beziehung <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   (gleich oder<lb/>
kleiner) ohnehin geläufig, und wird derselbe eigentlich nur die Theoreme:<lb/>
14), 22<hi rendition="#sub">+</hi>), 23), 24), sodann diejenigen von Th. 30) ab, besonders zu be-<lb/>
achten haben. Für den die in unserm Vorwort erwähnte Tertianerbildung<lb/>
Besitzenden ist demnach, um für die Beherrschung unsrer Disziplin ge-<lb/>
wappnet zu sein, das Gedächtniss nur mit wenig mehr als zwanzig Sätzen<lb/>
zu belasten, die auf ungefähr ebensovielen <hi rendition="#i">Zeilen</hi> darstellbar sind und Der-<lb/>
jenige von selbst behalten wird, der in den Sinn und Geist derselben ein-<lb/>
gedrungen! Es kommt dazu noch, dass einzelne von den Sätzen in spä-<lb/>
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<div n="3"><head>§ 30. <hi rendition="#b">Fortsetzung über <hi rendition="#i">Σ</hi>, <hi rendition="#i">Π</hi>. Aufhören des Dualismus.</hi></head><lb/>
<p>Was die im vorigen Paragraphen eingeführten Summen- und<lb/>
Produktenzeichen betrifft, so kann man im identischen Kalkul diese<lb/>
Zeichen zunächst <hi rendition="#i">genau in derselben</hi> Weise verwenden, wie dies in der<lb/>
Mathematik überhaupt geschieht, um das Anschreiben sehr zahlreicher<lb/>
Summenglieder oder Produktfaktoren zu ersparen und die Arbeit auf<lb/>
das <hi rendition="#i">ein</hi>malige Ansetzen des „allgemeinen Gliedes“, resp. „allgemeinen<lb/>
Faktors“ zu reduziren.</p><lb/>
<p>In der Arithmetik geben die Schemata:<lb/>
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</table> über die Bedeutung der Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi> und <hi rendition="#i">Π</hi> Auskunft und regeln den Ge-<lb/>
brauch derselben. [Man liest: Summe nach <hi rendition="#i">λ</hi>, (genommen) von 1 bis <hi rendition="#i">n</hi>,<lb/>
von <hi rendition="#i">a λ</hi>. Etc.]</p><lb/>
<p>Durch seine Stellung <hi rendition="#i">im</hi> betreffenden Zeichen gibt sich hier der Buch-<lb/>
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<hi rendition="#i">„Produktationsvariable“</hi>) zu erkennen — in andern Fällen, wo die Druckerei<lb/>
solcher typographischen Anforderung nicht gerecht zu werden vermag, er-<lb/>
kennt man die laufende Zahl daran, dass sie als linke Seite einer über<lb/>
und einer unter das Summenzeichen gesetzten Gleichung erscheint, wie bei<lb/>
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<hi rendition="#i">β</hi>) <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/>
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<fw type="header" place="top">Fünfzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p><hi rendition="#i">Um sich die Bedeutung eines mit dem Zeichen Σ oder Π in symbolischer<lb/>
Abkürzung dargestellten Ausdrucks klar zu machen,</hi> den Ausdruck zu inter-<lb/>
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„unteren Grenze“ 1 bis zur „oberen Grenze“ n hin — mit Einschluss eben<lb/>
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<hi rendition="#i">welche bei Σ additiv, bei Π multiplikativ miteinander zu verknüpfen sind.</hi></p><lb/>
<p>Hat man <hi rendition="#i">umgekehrt</hi> eine Summe, ein Produkt von lauter Gliedern<lb/>
resp. Faktoren <hi rendition="#i">gleichen Baues,</hi> d. h. von Termen welche aus <hi rendition="#i">einem</hi> Buch-<lb/>
stabenausdruck <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">λ</hi></hi> dadurch hervorgehen, dass man für einen in ihm vor-<lb/>
kommenden Buchstaben <hi rendition="#i">λ</hi> die Werte einer Sequenz von ganzen Zahlen der<lb/>
Reihe nach einsetzt, so kann man immer die Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi>, <hi rendition="#i">Π</hi> behufs sym-<lb/>
bolisch abgekürzter Darstellung des ganzen Ausdrucks mit Vorteil ver-<lb/>
wenden. Es genügt dazu die Angabe des „allgemeinen“ Terms hinter dem<lb/>
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ersten und der letzten Zahl jener Sequenz (der <hi rendition="#i">„unteren“</hi> nebst der <hi rendition="#i">„oberen“</hi><lb/>
Grenze), durch welche auch die zwischenliegenden Zahlen mitbestimmt er-<lb/>
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desjenigen Buchstabens, für welchen eben die Werte jener Sequenz bei der<lb/>
Interpretation des Ausdrucks eingesetzt werden müssen.</p><lb/>
<p>Man bemerkt, dass in der interpretirten oder <hi rendition="#i">„ausgeführten“</hi> Summe<lb/>
die Summationsvariable selbst gar nicht vorkommt; dieselbe war blos der<lb/>
Stellvertreter für die Werte jener Sequenz, sozusagen der Träger derselben,<lb/>
markirte blos die Stelle, wo letztere hinzuschreiben sind. Daher muss es<lb/>
auch gleichgültig sein, welchen Buchstaben man als Namen für die Summa-<lb/>
tionsvariable wählt, oder: <hi rendition="#i">die Bezeichnung der Summationsvariabeln ist gleich-<lb/>
gültig — nur muss man Sorge tragen, dafür nicht einen schon anderweitig<lb/>
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dem in der ganzen Symbolik geltenden Grundsatze, dem Grundsatze für<lb/>
alle systematische Bezeichnung: der Verwechselung von Verschiedenem<lb/>
durch die Wahl einer unterscheidenden Bezeichnung für dasselbe vorzu-<lb/>
beugen, insoweit selbiges in dem Rahmen <hi rendition="#i">einer</hi> Untersuchung zusammen<lb/>
in Betracht kommt. Und ähnliches gilt beim Produkte. Oder wir haben:<lb/>
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Der strenge Beweis für diese Formeln ergibt sich, indem man die Be-<lb/>
deutung der beiderseitigen Ausdrücke der Definition gemäss ausführlich<lb/>
hinschreibt, wo sie sich dann eben als augenscheinliche Identitäten heraus-<lb/>
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<p>[Zum Überfluss wäre an Beispielen leichtlich darzuthun, dass die<lb/>
Nichtbeachtung der angeführten Rücksicht: für den laufenden Zeiger einen<lb/>
noch unverwendeten, disponibeln Buchstaben zu nehmen, in Fehler führt.<lb/>
Vergleiche hierüber z. B. den Anhang meines „<choice><sic>Lebrbuch</sic><corr>Lehrbuch</corr></choice> etc.“<hi rendition="#sup">1</hi>.]</p><lb/>
<p>Handelt es sich um Untersuchungen über irgendwelche Summen oder<lb/>
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Produkte von irgendwieviel Gliedern, also um <hi rendition="#i">allgemeine</hi> Untersuchungen,<lb/>
so kann man immer die aus dem Gebrauch der Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi>, <hi rendition="#i">Π</hi> resultirenden<lb/>
Vorteile sich dadurch sichern, dass man sich für eine zweckmässige, eine<lb/>
systematische Bezeichnung ihrer Terme von vornherein entscheidet, nämlich<lb/>
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Stellenzeigern, Suffixen oder Indices, wie <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">3</hi>, … <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">n</hi></hi>, dazu verwendet.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Und es steht dem nun nichts im Wege, auch ebendieses im identischen<lb/>
Kalkul zu thun,</hi> wenn also die Summen und Produkte nicht als arith-<lb/>
metische sondern als identische aufgefasst werden. Kommen hier auch<lb/>
Negationen in Betracht, so werden wir nur, um den Platz für den Nega-<lb/>
tionsstrich offen zu halten, am besten <hi rendition="#i">obere</hi> Indices oder Exponenten<lb/>
wählen vergl. Bd. 1, S. 261 sq.</p><lb/>
<p>Damit werden nun allerdings neben den Buchstaben und der 1 (even-<lb/>
tuell auch der 0) als <hi rendition="#i">Gebiet</hi>symbolen auch ebensolche als <hi rendition="#i">Zahl</hi>zeichen ein-<lb/>
geführt, und zwar für laufende Zeiger, Indices und Summengrenzen. Aber<lb/>
eben wegen dieser ihrer Beschränkung auf einen bestimmten Platz im<lb/>
Ausdrucke, steht eine Verwechselung derselben mit jenen nicht zu be-<lb/>
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<p>Und indem wir von einer ganzen Reihe in Betracht kommender Gebiete<lb/>
eines als das „erste“ mit <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, ein anderes als das „zweite“ mit <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, und so<lb/>
weiter der Übersicht wegen benennen, wird man doch nicht sagen können,<lb/>
dass dadurch das der Logik (im <hi rendition="#i">allerengsten</hi> Sinne) von rechtswegen<lb/>
fremde Element der <hi rendition="#i">Zahl</hi> wesentlich in diese Disziplin hereingezogen werde;<lb/>
es bleibt vielmehr die Angelegenheit nur eine untergeordnete Bezeichnungs-<lb/>
oder <hi rendition="#i">Benennungsfrage</hi>.</p><lb/>
<p>Zur Illustration wollen wir einmal die namhaftesten unsrer bisherigen<lb/>
Sätze, die eine Erweiterung auf beliebig viele Operationsglieder zugelassen<lb/>
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<p>Die Formel:<lb/>
II. <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/>
stellt den <hi rendition="#i">n</hi>-gliedrigen Kettenschluss oder Sorites dar. Ausführlich inter-<lb/>
pretirt würde diese Verallgemeinerung des Prinzipes II lauten:<lb/>
II'. <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/>
und können hierin die sämtlichen in Klammer stehenden, d. h. hier nur auf<lb/>
Gebiete (nicht auf Aussagen) bezüglichen Subsumtionszeichen auch durch-<lb/>
weg in Gleichheitszeichen verwandelt werden, wodurch sich eine Erweite-<lb/>
rung von Th. 4) ergäbe:<lb/>
4) <hi rendition="#et"><formula/></hi></p><lb/>
<p>Endlich dürfen von den linkerhand in II' auftretenden Subsumtions-<lb/>
zeichen beliebige Gruppen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden, wofern<lb/>
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daselbst nur wenigstens <hi rendition="#i">ein</hi> Subsumtionszeichen übrig bleibt — in Er-<lb/>
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<p>Die Erweiterungen der Definitionen (3) zu Sätzen:<lb/>
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ziehen sich zusammen zu:<lb/>
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Denn durch Anwendung des einen der beiden vorhergehenden Sätze auf das<lb/>
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Produktes erhält man:<lb/>
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<p>Ebenso ziehen sich die Erweiterungen der Theoreme 17):<lb/>
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zeichen Ähnliches zu bemerken wäre, wie vorhin bei II; — in Erweiterung<lb/>
der Theoreme 18) bis 19). Die Ausdehnung des Th. 19) ergibt sich<lb/>
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<p>Die Ausdehnungen der Theoreme 24):<lb/>
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extenso gegeben haben, und die Formel:<lb/>
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stück aus; es steht hier rechterhand eine sogenannte <hi rendition="#i">„Doppelsumme“,</hi> d. h.<lb/>
eine Summe, deren allgemeines Glied selbst wieder ein Summenausdruck<lb/>
ist, resp. ein „Doppelprodukt“. Und es würden diese Sätze sich fernerhin<lb/>
leicht noch so verallgemeinern lassen, dass eine ganz beliebige Menge von<lb/>
Summenzeichen beiderseits vorkäme rechts also (bei 28<hi rendition="#sub">+</hi>) eine „mehrfache<lb/>
Summe“ — und analog von <hi rendition="#i">Π</hi>-Zeichen bei 28<hi rendition="#sub">×</hi>).</p><lb/>
<p>Endlich gibt die Erweiterung der Theoreme 36):<lb/>
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Mathematiker in die Geheimnisse der Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi> und <hi rendition="#i">Π</hi> einzuweihen.</p><lb/>
<p>Ich lege auf diese Verwendungsweise (der Zeichen) selbst für unsere<lb/>
Disziplin nur ein geringes Gewicht, werde auch kaum so von denselben<lb/>
Gebrauch machen. Jedoch musste dieselbe hier dargelegt werden, um den<lb/>
mathematisch weniger geschulten Leser mit dem Geiste der Zeichen ver-<lb/>
traut zu machen und auf den <hi rendition="#i">für uns wichtigen Gebrauch</hi> derselben vor-<lb/>
zubereiten, zu dessen Darlegung ich jetzt übergehe.</p><lb/>
<p>Bei diesem enthalten wir uns des Gebrauchs von Zahlzeichen (aus-<lb/>
genommen 0 und 1) gänzlich, verwenden solche auch nicht mehr als Stellen-<lb/>
zeiger.</p><lb/>
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<p>Wir fassen nur Formeln des Gebietekalkuls in’s Auge, und lassen<lb/>
die Summations- (resp. Produktations) Variable — sie heisse <hi rendition="#i">x</hi> — so-<lb/>
gleich eine vorgeschriebene Reihe von bestimmten Gebieten:<lb/>
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„durchlaufen“, d. h. successive mit einem jeden von diesen im Geiste<lb/>
identifizirt, äusserlich durch dasselbe ersetzt werden. Wenn <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) irgend<lb/>
eine Funktion des identischen Kalkuls bezeichnet, so haben wir dann:<lb/>
<hi rendition="#et"><formula/></hi> als Erklärung für die Bedeutung der linkerhand stehenden Ausdrücke.<lb/>
Behufs Verringerung der Schwierigkeiten des Druckes kann man hier<lb/>
(wo der früher von den „Summengrenzen“ etc. in Anspruch genom-<lb/>
mene Platz frei geworden ist) die Variable <hi rendition="#i">x</hi> statt im Innern, auch<lb/>
<hi rendition="#i">unterhalb</hi> des Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi> resp. <hi rendition="#i">Π</hi> anmerken, schreiben: <formula/> <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>), <formula/> <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>);<lb/>
auch kann in der Gestalt:<lb/>
<hi rendition="#c"><formula/></hi> die von der Variabeln zu durchlaufende Wertenreihe (Reihe von speziellen<lb/>
Gebieten) gleich unterhalb der Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi>, <hi rendition="#i">Π</hi> angemerkt werden.</p><lb/>
<p>Unterlassen wir auch solche Anmerkung, indem wir z. B. die still-<lb/>
schweigende Unterstellung fordern, dass <hi rendition="#i">a</hi> eine Wertenreihe <hi rendition="#i">a</hi>', <hi rendition="#i">a</hi>'', <hi rendition="#i">a</hi>''', …<lb/>
<hi rendition="#i">b</hi> eine solche <hi rendition="#i">b</hi>', <hi rendition="#i">b</hi>'', <hi rendition="#i">b</hi>''', … zu durchlaufen habe, so gewinnt schon die<lb/>
Mehrzahl unsrer vorigen Sätze ein durchsichtigeres, weniger schwer-<lb/>
fälliges oder überladenes Ansehen, z. B.<lb/>
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werden mögen.</p><lb/>
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</table> <p>wobei es — als naheliegende abermalige Ausdehnung des früheren<lb/>
Theorems 17) nun nicht einmal zu fordern nötig erscheint, dass die<lb/>
Wertreihe der <hi rendition="#i">a</hi> und die der <hi rendition="#i">b</hi> aus gleichviel Werten bestehe [Es<lb/>
durften ja einzelne von diesen Werten auch zusammenfallen, und<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 30. Fortsetzung über <hi rendition="#i">Σ</hi>, <hi rendition="#i">Π</hi>.</fw><lb/>
brauchen sie dann nach dem Tautologiegesetze nicht wiederholt zu<lb/>
werden]. Etc. (den Rest sich noch einfacher zu schreiben überlassen<lb/>
wir dem Leser).</p><lb/>
<p>Jedenfalls tritt durch solches Preisgeben des Beiwerks der Kern<lb/>
der Sätze besser hervor. Da es für die Geltung dieser Sätze gleich-<lb/>
gültig ist, wie viele es der von <hi rendition="#i">a</hi> oder <hi rendition="#i">b</hi> beiderseits zu durchlaufenden<lb/>
Werte sein und wie diese Werte heissen sollen, so braucht letzteres in<lb/>
den Sätzen auch nicht gesagt, nicht zum Ausdruck gebracht zu werden.</p><lb/>
<p>Wird zu einem Zeichen <formula/>, <formula/> keine Wertenreihe als die von dem<lb/>
<hi rendition="#i">x</hi> zu durchlaufende ausdrücklich angeführt, so findet gewöhnlich einer<lb/>
von den folgenden beiden Fällen statt:</p><lb/>
<p>Entweder diese Wertenreihe ist in unser Belieben gestellt; für<lb/>
den ersten, zweiten, dritten, etc. Wert derselben können wir jedesmal<lb/>
ein individuelles Gebiet nach Gutdünken nehmen, auch ist es gleich-<lb/>
gültig ob die Reihe unbegrenzt fortgesetzt oder irgendwo abgebrochen<lb/>
wird; auch die Anzahl der Werte steht dahin. Solches war in der<lb/>
That bei den allgemeinen Sätzen der Fall, welche wir vorhin zu-<lb/>
sammengestellt haben.</p><lb/>
<p>Oder diese Wertenreihe ist eine bestimmte, die Werte sind (wenn<lb/>
auch ihre Reihenfolge als belanglos offen gelassen sein mag) in ihrer<lb/>
Gesamtheit gegeben, durch eine allgemeine Abmachung ein für allemal<lb/>
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<p>Bei den von Anfang als Rekapitulation der Sätze des identischen<lb/>
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<hi rendition="#c"><formula/></hi> wird sogar — gemäss obiger Abmachung — besagen, dass die Aus-<lb/>
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<hi rendition="#i">ein</hi> Term zuzutreffen. Und demgemäss wird das Urteil<lb/>
<hi rendition="#c"><formula/></hi> schlechtweg besagen, dass die Aussage <hi rendition="#i">F<hi rendition="#sub">x</hi></hi> wenigstens gelte <hi rendition="#i">für irgend<lb/>
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<p>Man merke einfach, dass in der Zeichensprache des Kalkuls <hi rendition="#i">Π</hi> das<lb/>
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<p>Jenes fordert gleichzeitiges, <hi rendition="#i">simultanes</hi> Vorstellen des dahinter ge-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 30. Aufhören des Dualismus.</fw><lb/>
<p>Vor alle Formeln des § 29, welche Buchstaben <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">x</hi>, … enthalten,<lb/>
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<p>Die Entwickelung der Mathematik während des letzten Jahr-<lb/>
hunderts hat bekanntlich die Erfahrung gebracht, dass die Über-<lb/>
tragung des Begriffes der Summe oder des Produktes, aus einer <hi rendition="#i">end-<lb/>
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Voraussetzungen als einschränkende Bedingungen geknüpft ist, welche<lb/>
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Produkte, von der Wissenschaft niedergelegt sind. Die Ausserachtlassung<lb/>
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<p>Für die identischen Produkte und Summen aus Gebieten oder<lb/>
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aus unbegrenzten Mengen von Termen ihre „Konvergenzbedingungen“<lb/>
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<p>Dass die Frage denknotwendig scheint verneint werden zu müssen<lb/>
bildet ein interessantes Thema der Erkenntnisslehre, welches wir uns<lb/>
hier begnügen, als solches blos angedeutet zu haben.</p><lb/>
<p>Noch ein andrer Umstand muss beim Überblicken der Formeln<lb/>
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lang jene in § 14 näher erörterte Eigenschaft des „Dualismus“. In<lb/>
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<p>Nachdem wir nämlich alle Sätze aus ihrer früheren verbalen<lb/>
Fassung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls umgeschrieben,<lb/>
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Beziehungs- und Operationszeichen auch vor: dieselben Zeichen als<lb/>
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Formeln auf: die Nullaussage und die <hi rendition="#i">Aussage</hi> i.</p><lb/>
<p>Faktisch ist die Anwendung der 0 als Aussage in der Rekapitulation<lb/>
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gegebene einfachste Fassung der Sätze hält. Leicht könnten jedoch die<lb/>
Sätze auch in solcher Form dargestellt werden (wie es späterhin zum Teil<lb/>
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strich)<note place="foot" n="*)">Auch die Zeichen <hi rendition="#i">Σ</hi> und <hi rendition="#i">Π</hi> wären an dieser Stelle mit aufzuzählen.</note>, dazu endlich auch „<hi rendition="#i">die beiden Zahlzeichen</hi>“: 0 und 1 (resp. i)<lb/>
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fort zu unterscheiden als „<hi rendition="#i">aussagenrechnerisch</hi>“ oder aber „<hi rendition="#i">gebietsrech-<lb/>
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<hi rendition="#i">primäre</hi>.</p><lb/>
<p>Als solche geben sie auf den ersten Blick sich zu erkennen, indem die<lb/>
letztern (oder primären Zeichen) an Buchstaben oder Buchstabenausdrücken<lb/>
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eine Verwechselung von beiderlei Verwendungsweisen nicht zu besorgen steht.</p><lb/>
<p>Nimmt man in den Formeln des § 29 die durch den Satz des<lb/>
Dualismus gestattete Vertauschung der Zeichen 0 mit 1, + mit ·, <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice><lb/>
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39), 41), das Hülfstheorem zu 47), und Th. 49).</p><lb/>
<p>Es genügt schon, bei den Grundlagen des Kalkuls jenes nach-<lb/>
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<p>Schon Prinzip I in der Fassung des Aussagenkalkuls: (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) = i<lb/>
schlechtweg dual umgeschrieben würde lauten:<lb/>
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lich der ursprüngliche Satz sagt, dass die Formel <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a stets</hi> gelte, be-<lb/>
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<p>Und ähnlich verhält es sich bei allen mit Ringelchen chiffrirten Theo-<lb/>
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<p>Prinzip II, einfach dual umgeschrieben gäbe (sofern wir, statt <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> und<lb/>
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<p>Ebenso würden zumeist falsche Sätze sich ergeben, wenn man in<lb/>
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Zeichen unverändert stehen liesse und nur die sekundären aussagen-<lb/>
rechnerisch zu deutenden dem dualistischen Tausch unterwürfe — wie<lb/>
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nachsehen wird.</p><lb/>
<p>Es gelten unsre Definitionen und Prinzipien „<hi rendition="#i">aussagendual</hi>“ <hi rendition="#i">um-<lb/>
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transkribirt werden, oder nicht.</p><lb/>
<p>Diese Thatsache ist auf den ersten Blick <hi rendition="#i">überraschend</hi>. Wie ist<lb/>
dieselbe mit dem Umstand in Einklang zu bringen, dass doch der<lb/>
Aussagenkalkul nur eine besondre Anwendung des Gebietekalkuls ist,<lb/>
in welchem der Dualismus durchweg herrscht?</p><lb/>
<p>Der scheinbare Widerspruch klärt sich in folgender Weise auf.</p><lb/>
<p>Schon die allgemeinste, schon eine Aussage von noch ganz offen<lb/>
gelassenem Inhalte, lässt nicht als ein ganz beliebiges Gebiet sich<lb/>
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stant festgehalten wird, einer der beiden Werte 0 oder i ihr not-<lb/>
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<p>Nicht zu „Relationen“, sondern nur zu <hi rendition="#i">allgemeinen</hi> „<hi rendition="#i">Formeln</hi>“ <hi rendition="#i">des<lb/>
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<p>Von solchem Charakter <hi rendition="#i">scheinen</hi> zwar die in § 29 rekapitulirten<lb/>
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(und letztere auf ihre Bedeutung im Gebietekalkul prüft):</p><lb/>
<p>Sollte man selbst die zugrunde gelegte Mannigfaltigkeit in <hi rendition="#i">ein</hi><lb/>
Individuum zusammenschrumpfen lassen, somit auf die beiden Gebiete<lb/>
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schränken, — wie es hier angezeigt sein wird — so können doch<lb/>
unsre sogenannten Formeln des § 29 im letzterwähnten Sinne in der<lb/>
Regel nicht „Formeln“ sein. Dies wollen wir an einem Beispiel, etwa<lb/>
bei Prinzip II, uns völlig zum Bewusstsein bringen.</p><lb/>
<p>Dasselbe mögen wir schreiben:<lb/>
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<p>Die Voraussetzungen <hi rendition="#i">C</hi> und <hi rendition="#i">A</hi> unsres Satzes mögen hier nach Be-<lb/>
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biete 0 und i umfassenden Mannigfaltigkeit) beliebige oder allgemeine<lb/>
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Satzes. Dasselbe ist, nachdem die Werte von <hi rendition="#i">C</hi> und <hi rendition="#i">A</hi> festgelegt sind,<lb/>
nicht mehr ganz willkürlich; es kann z. B. nicht 0 bedeuten, wenn <hi rendition="#i">C</hi><lb/>
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ist daher die Proposition <hi rendition="#i">C A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> nicht allgemeingültig, keine Formel,<lb/>
weshalb auch die dual entsprechende: <hi rendition="#i">B</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">C</hi> + <hi rendition="#i">A</hi> hier nicht zu gelten<lb/>
braucht. — Und diese Überlegung wird nicht beeinträchtigt durch den<lb/>
Umstand, dass <hi rendition="#i">in</hi> unsern Aussagen <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi> die Symbole <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi> ganz<lb/>
allgemeine oder beliebige Gebiete (der Tafelfläche z. B.) vorstellten. —</p><lb/>
<p>Das Versagen des Dualismus beim aussagendualen Umschreiben<lb/>
der Sätze kann uns hiernach nicht mehr befremden.</p><lb/>
<p>Immer aber gelten unsre Formeln blos „<hi rendition="#i">gebietsdual</hi>“ umgeschrieben<lb/>
ebenfalls wieder, d. h. man erhält aus ihnen immer wieder richtige<lb/>
Formeln, wenn man <hi rendition="#i">nur</hi> die primären oder gebietsrechnerisch ver-<lb/>
wendeten Zeichen 0 und 1, + und ·, <hi rendition="#i">Π</hi> und <hi rendition="#i">Σ</hi>, <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> und <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   umtauscht,<lb/>
dagegen dieselben ungeändert stehen lässt, wo sie als sekundäre (als<lb/>
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liche) auftreten.</p><lb/>
<p>Unsere Theoreme des identischen Kalkuls werden wir hinfort auch<lb/>
in zweierlei Sinne zu citiren haben [so, wie dies mit den Prinzipien<lb/>
wenigstens, auch wiederholt schon früher der Fall gewesen]: als solche<lb/>
nämlich des allgemeineren, des Klassen- oder Gebietekalkuls, und ferner<lb/>
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<fw type="header" place="top">Fünfzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
als solche des spezielleren, des reinen Aussagenkalkuls — wo unter<lb/>
den kleinen Buchstaben, <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">x</hi>, ‥ dann Aussagen zu denken sein<lb/>
werden. Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, ohne dass doch auf die<lb/>
Angabe der beabsichtigten Verwendung jedes Citates verzichtet werden<lb/>
müsste, mag künftig die <hi rendition="#i">letztere</hi> Citationsweise durch einen <hi rendition="#i">über die<lb/>
Chiffre des Theorems gesetzten Horizontalstrich</hi> angedeutet werden.</p><lb/>
<p>„Nach Pr. ĪĪ“ z. B. wird darnach heissen: „weil, wenn <hi rendition="#i">C</hi> aus <hi rendition="#i">B</hi> und<lb/>
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<div n="3"><head>§ 31. <hi rendition="#b">Die Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.<lb/>
Inkonsistenz.</hi></head><lb/>
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Übereinkunft) das <hi rendition="#i">Prinzip</hi> I <hi rendition="#i">der Identität:</hi><lb/>
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im Aussagenkalkul die Bedeutung hat: <hi rendition="#i">Wenn A gilt</hi>, <hi rendition="#i">so gilt A.</hi> Das<lb/>
heisst: <hi rendition="#i">Eine einmal als richtig erkannte Aussage</hi> (von bestimmtem Sinne)<lb/>
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Versprechen, gehalten werden. Ist zugegeben, dass eine Aussage <hi rendition="#i">A</hi><lb/>
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<p>So unbestreitbar das Recht ist, mit welchem wir diesen Satz als einen<lb/>
obersten Grundsatz der Logik in Anspruch nehmen, so erscheint es doch<lb/>
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Anwendungen dieses Grundsatzes gibt, erscheint es daneben angezeigt, auch<lb/>
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<hi rendition="#i">Wahrhaftigkeit,</hi> sich herstellen lässt, mit gesetzlichen Strafen aus gutem<lb/>
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fühle Derjenigen, an die sie gerichtet sind, nicht unnötig verletzen, die<lb/>
Lebensinteressen der Nebenmenschen nicht ohne Not preisgeben oder schä-<lb/>
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Wissen oder „im Vertrauen“ Erfahrenes, ist manche Wahrheit sogar vor der<lb/>
Veröffentlichung oder Preisgebung an Unbefugte sorgfältig zu hüten. Ihre<lb/>
konsequente Verschweigung und sorgfältige Verheimlichung mag erscheinen<lb/>
als Forderung der Freundespflicht, der Ehre und des Diensteides; auf<lb/>
ihrer Preisgebung kann z. B. stehen die höchste Strafe des Vaterlands-<lb/>
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<p>Da wir hier nicht eine Ethik zu schreiben vorhaben, so mag es bei<lb/>
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<p>Mit andern Worten: <hi rendition="#i">Wenn B von A und C von B bedingt wird</hi>,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.</fw><lb/>
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einer Annahme ist auch eine Folgerung aus dieser Annahme.</hi></p><lb/>
<p>Auch auf diesem Anwendungsfelde sind wir berechtigt, das Prinzip<lb/>
als einen „Subsumtionsschluss“ zu bezeichnen. Derselbe erscheint uns<lb/>
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<p>Wir haben begonnen, die „Prinzipien“ des <hi rendition="#i">Klassen</hi>kalkuls im <hi rendition="#i">Aus-<lb/>
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wurde indess, wie ersichtlich, schon Gebrauch gemacht — und zwar<lb/>
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Begriffe der Gleichheit und des Produktes fanden im Klassenkalkul erst<lb/>
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<p>Sofern es möglich ist, sie selber ohne Berufung auf das Pr. II zu<lb/>
begründen, müssten sie demnach im Aussagenkalkul dem Pr. II <hi rendition="#i">voran</hi>-<lb/>
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<p>Hieraus wird offenbar, dass wir uns nicht mehr blos auf die Er-<lb/>
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<p>Wie wir anzunehmen uns berechtigt glauben, war der ganze<lb/>
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<p>Von dem Klassenkalkul erschien aber der Aussagenkalkul uns blos<lb/>
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<p>Ein speziellerer Charakter wird indess dem Aussagenkalkul in der<lb/>
That dadurch aufgeprägt — insoweit er sich wenigstens auf Aussagen<lb/>
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weitere axiomatisch zu stellende Forderung hinzutritt, die zur Folge<lb/>
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Prinzipien und Postulate. Glauben wir auch — aus angeführten Gründen<lb/>
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<p>Die Subsumtion (2̄<hi rendition="#sub">×</hi>) 0 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">A</hi> hingestellt als eine solche, welche<lb/>
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<p>Was die Def. (1̄) der Aussagenäquivalenz betrifft, so wurde in<lb/>
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möchte, lässt sich überhaupt nichts definiren<note place="foot" n="**)">Wenigstens müsste hier die Gleichzeitigkeit <hi rendition="#i">der beiden speziellen</hi> Annahmen<lb/>
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<p>Was wir im Gebietekalkul unter (3<hi rendition="#sub">×</hi>) als eine <hi rendition="#i">Definition</hi> hinstellen<lb/>
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ein Theorem oder aber als ein Prinzip auftreten.</p><lb/>
<p>Ich bin übrigens wirklich im Zweifel, ob sich in solchem Grenzfalle<lb/>
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Prinzip und Theorem) noch strenge würde durchführen lassen. Man ver-<lb/>
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eines solchen soll sich das „Theorem“ vor dem „Axiom“ auszeichnen.</p><lb/>
<p>Verlangt man nun von dem „Beweise“ — denselben wol in dem ge-<lb/>
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unsrer gegenwärtigen Disziplin alles als „bewiesen“ gelten lassen, sobald es<lb/>
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welchem Wege dieses Gefühl der Evidenz zustande kommt — auch dann<lb/>
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<p>Die Wissenschaft fasst den Begriff des „Beweises“ schon enger als das<lb/>
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<p>Hierbei ist es nun aber noch fraglich, ob es möglich sein wird, auch<lb/>
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<fw type="header" place="top">Sechzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
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(von) <hi rendition="#i">B</hi> statuirt, oder ob man umgekehrt diese letztere Deutung von<lb/>
<hi rendition="#i">A</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> hinstellen will als die Begriffserklärung unsrer Aussagensumme<lb/>
und dann die Geltung der Subsumtionen (3̅<hi rendition="#sub">+</hi>) als unmittelbar ein-<lb/>
leuchtende postuliren:</p><lb/>
<p>Wenn <hi rendition="#i">C</hi> gilt wann <hi rendition="#i">A</hi> oder <hi rendition="#i">B</hi> gilt, so muss auch <hi rendition="#i">C</hi> gelten wann<lb/>
<hi rendition="#i">A</hi> gilt, zugleich muss <hi rendition="#i">C</hi> gelten wann <hi rendition="#i">B</hi> gilt, sowie umgekehrt.</p><lb/>
<p>Im letzteren Falle würde die Konzeption einer Alternative (von<lb/>
Annahmen, resp. Behauptungen) zu einem logischen Urbegriffe ge-<lb/>
stempelt. — Von dem auf solche Grundlagen zu stellenden Gebäude<lb/>
von Sätzen will ich nur weniges einzeln hervorheben.</p><lb/>
<p>Durch die Theoreme 1̅2̅) und 1̅3̅) wird dargethan, dass bei simul-<lb/>
tanen sowol als bei alternativen Aussagen die Reihenfolge und Grup-<lb/>
pirung derselben gleichgültig ist (für ihren logischen Gehalt, ihre<lb/>
Tragweite). Insbesondere gilt dies auch für solche Aussagen, welche<lb/>
als Prämissen von Konklusionen zu figuriren haben.</p><lb/>
<p>Praktisch unterliegt freilich die Anwendung dieses Satzes gewissen<lb/>
Einschränkungen, indem gewisse Aussagen, um verständlich zu werden, es<lb/>
erfordern können, dass gewisse andere ihnen vorausgeschickt seien.</p><lb/>
<p>Der Beweis beim Kommutationsgesetze 1̅2̅<hi rendition="#sub">×</hi>) z. B. scheint auf den<lb/>
ersten Blick auf eine „<hi rendition="#i">Petitio principii</hi>“ einen <hi rendition="#i">Zirkelbeweis</hi> hinauszulaufen,<lb/>
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<p>Die Erlaubniss dazu ist in der That aber <hi rendition="#i">durch das Prinzip Ī</hi><lb/>
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auch wieder anerkannt werden muss, wenn man sie — etwa als erste<lb/>
— zu wiederholen beliebt.</p><lb/>
<p>Auf die im § 10 dargelegte Weise erst zu beweisen, dass Reihen-<lb/>
folge und Gruppirung der Prämissen in unser Belieben gestellt ist,<lb/>
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<p>Gilt z. B. <hi rendition="#i">A B C</hi>, so gilt auch <hi rendition="#i">A B</hi> nebst <hi rendition="#i">C</hi>, sowie <hi rendition="#i">A</hi> nebst <hi rendition="#i">B C</hi><lb/>
desgleichen gilt dann <hi rendition="#i">C B A</hi>. Denn muss jede einzelne Prämisse im<lb/>
Falle des Wiederholtwerdens bei jeder Gelegenheit anerkannt werden,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.</fw><lb/>
so auch jede Gruppe von Prämissen, diese in was immer für einer<lb/>
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<p>Von grosser Wichtigkeit und häufigster Anwendung im Aussagen-<lb/>
kalkul ist noch das Th. 2̅1̅<hi rendition="#sub">×</hi>):<lb/>
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darf. Z. B. Wenn <hi rendition="#i">A</hi> gilt, so gilt <hi rendition="#i">A</hi> und ist zugleich 2 × 2 = 4, so-<lb/>
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<p>Das <hi rendition="#g">Prinzip</hi> III<hi rendition="#sub">×</hi> kann im Aussagenkalkul zunächst durch ein ein-<lb/>
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<hi rendition="#g">Prinzip</hi> *ĪĪĪ. (<hi rendition="#i">A</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> = i) = (<hi rendition="#i">A</hi> = i) + (<hi rendition="#i">B</hi> = i),<lb/>
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<p>Auf Grund des letzteren schon wird sich nämlich die zweite Sub-<lb/>
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wählen für den zu beweisenden Satz die Fassung:<lb/>
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<p>Denn nach der Voraussetzung — im Hinblick, wenn man will<lb/>
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nach Pr. ĪĪĪ gesagt werden darf: es gilt <hi rendition="#i">A</hi>, oder es gilt <hi rendition="#i">B</hi>. Da nun<lb/>
nach Pr. I die Voraussetzung <hi rendition="#i">C</hi> bei beliebiger Gelegenheit wiederholt<lb/>
werden darf mit dem Anspruche, alsdann auch anerkannt zu werden,<lb/>
so können wir für letzteres auch sagen: es gilt <hi rendition="#i">A</hi> und zugleich (gilt)<lb/>
<hi rendition="#i">C</hi>, <hi rendition="#i">oder</hi> es gilt <hi rendition="#i">B</hi> und zugleich <hi rendition="#i">C</hi>, d. h. aber: es gilt <hi rendition="#i">A C</hi>, oder es gilt<lb/>
<hi rendition="#i">B C</hi>, was wiederum nach Pr. ĪĪĪ zusammenziehbar ist in: es gilt <hi rendition="#i">A C</hi><lb/>
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<p>Dass der obige Satz ĪĪĪ im Gebietekalkul <hi rendition="#i">nicht</hi> gilt, wurde schon<lb/>
in § 12 hervorgehoben, ist auch zudem leicht durch das nächste beste<lb/>
Beispiel zu belegen (zum Exempel bei beliebigem von 1 verschiedenem<lb/>
<hi rendition="#i">A</hi> durch die Annahme <hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>).</p><lb/>
<p>Da der Satz als ein auf <hi rendition="#i">Gebiete A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> bezüglicher gleichwol<lb/>
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einen Sinn hätte, obzwar er dann ungültig wäre, so ist der Gefahr vor-<lb/>
zubeugen, dass man ihn irrtümlich schon auf Gebiete anwende. Davor<lb/>
zu warnen ist der oben seiner Chiffre vorgesetzte <hi rendition="#i">Stern</hi> * bestimmt.</p><lb/>
<p>Mit einem solchen wollen wir ähnlich alle Formeln auszeichnen,<lb/>
denen nur die „<hi rendition="#i">engere Geltung</hi>“ als solchen des Aussagenkalkuls <hi rendition="#i">nicht</hi><lb/>
aber die „<hi rendition="#i">weitere</hi>“ auch im Gebietekalkul zukommt.</p><lb/>
<p>Nur da, wo letzteres ohnehin aus der Formel ersichtlich ist, mag<lb/>
die Beisetzung des Sterns unterbleiben. Jenes spezifische Prinzip des<lb/>
Aussagenkalkuls: (<hi rendition="#i">A</hi> = i) = <hi rendition="#i">A</hi> zum Beispiel kann unmöglich für eine<lb/>
Formel der Gebieterechnung gehalten werden weil dann rechts in der<lb/>
Gleichung ein Gebiet stehen würde, während links eine Aussage figu-<lb/>
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setzung solcher Aussage mit einer Kreisfläche <hi rendition="#i">A</hi> keinen Sinn oder<lb/>
keine Berechtigung haben könnte. Vgl. hiezu noch § 45.</p><lb/>
<p>Nunmehr bleibt uns noch die <hi rendition="#i">Negation einer Aussage</hi> zu erörtern<lb/>
mitnebst den auf sie bezüglichen Grundsätzen der Logik.</p><lb/>
<p>Betrachten wir die Aussage <hi rendition="#i">A</hi> selbst als ein Objekt des Denkens,<lb/>
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jekten angehört, so müsste unter <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> verstanden werden: Alles (aus der<lb/>
erwähnten Mannigfaltigkeit), was <hi rendition="#i">nicht</hi> eben diese Aussage <hi rendition="#i">A ist</hi> —<lb/>
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griff seiner Negation in § 13 aufgestellt worden ist.</p><lb/>
<p>Hierbei aber hätten wir die Aussage ohne Rücksicht auf ihren<lb/>
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gezogen, wir wären demnach auch nur dahin gelangt, die <hi rendition="#i">Negation der<lb/>
Aussage A in der suppositio nominalis</hi> zu bilden — vgl. Bd. 1, S. 44.</p><lb/>
<p>Analog würde als Negation von „Pferd“ in letzterer Unterstellung zu<lb/>
bezeichnen sein: alles was nicht das Wort „Pferd“ ist, wogegen wir aber<lb/>
als Negation des Pferdes vielmehr in der suppositio realis anzusehen hatten:<lb/>
alles, was nicht ein Pferd ist.</p><lb/>
<p>Gleichwie nun aber die suppositio nominalis bei unsern Operationen<lb/>
mit Klassen und Begriffen auszuschliessen war, so wird sie auch stets<lb/>
<hi rendition="#i">auszuschliessen</hi> sein bei unsern auf Aussagen bezüglichen Konventionen<lb/>
und Betrachtungen. Aussagen ziehen wir nach ihrer <hi rendition="#i">Geltung</hi> in Be-<lb/>
tracht in Hinsicht dessen, was sie besagen. Es kommt uns darauf an,<lb/>
den Begriff der <hi rendition="#i">Negation in der suppositio realis</hi> aufzustellen als einer<lb/>
<hi rendition="#i">Aussagenverneinung</hi> in der üblichen landläufigen Bedeutung, und diese<lb/>
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allein soll hier die Rede sein. Zu dem Ende müssen wir uns die im<lb/>
§ 29 dem Aussagenkalkul gegebene Basis vergegenwärtigen.</p><lb/>
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<p>Im Aussagenkalkul bedeutete uns i die Mannigfaltigkeit aller<lb/>
Gelegenheiten resp. Zeitpunkte, wo eine Aussage gemacht wird oder<lb/>
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nach als eine logisch wohlangebrachte, berechtigte gefällt werden kann.</p><lb/>
<p>Unter der <hi rendition="#i">Negation von A</hi>, in Zeichen: <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, ist demnach zu ver-<lb/>
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sage A behauptet</hi>. Die Behauptung <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, = „<hi rendition="#i">die Aussage A ist falsch</hi>“,<lb/>
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<p>Ist die Aussage <hi rendition="#i">A</hi> als Proposition in unsrer Zeichensprache, als<lb/>
Subsumtion oder Gleichung eine spezifizirte, z. B. ist<lb/>
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des Negationsstrichs an ihren spezifizirten Ausdruck, d. h. es bedeutet:<lb/>
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Formen von Propositionen führen wir aber noch eine kürzere Dar-<lb/>
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ziehungszeichen der zu verneinenden Aussage mit einem Negations-<lb/>
strich vertikal durchsetzen. Wir <hi rendition="#i">definiren</hi> also:<lb/>
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werden, die erstere Proposition selbst eine <hi rendition="#i">negirte Subsumtion</hi>, die<lb/>
letztere eine <hi rendition="#i">Ungleichung</hi>.</p><lb/>
<p>Das erstere von diesen Urteilen ist eine wirkliche <hi rendition="#i">„Urteilsverneinung“</hi><lb/>
und sonach ein „verneinendes Urteil“ im Sinne <hi rendition="#g">Sigwart’</hi>s keineswegs aber<lb/>
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unsere Ausführungen in § 15 sowie am Schlusse des § 35.</p><lb/>
<p>Es besteht vielmehr ein Vorzug unsrer Zeichensprache darin, dass<lb/>
wir die Negation einer Subsumtion durch eine Proposition nun auszudrücken<lb/>
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vermögen, in welcher Subjekt und Prädikat von jener selbst wieder als<lb/>
Beziehungsglieder auftreten — denen man die gleiche Benennung als <hi rendition="#i">„Sub-<lb/>
jekt“</hi> und <hi rendition="#i">„Prädikat“</hi> auch in der Nichteinordnung belassen mag — wo-<lb/>
gegen der <hi rendition="#i">Wortsprache</hi> eine einfache Ausdrucksmöglichkeit von ähnlichem<lb/>
Charakter nicht zur Verfügung steht (§ 15 und § 35 Schluss).</p><lb/>
<p>Von fundamentaler Bedeutung auch für den Aussagenkalkul sind<lb/>
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<p>Der <hi rendition="#g">Satz des Widerspruchs</hi>:<lb/>
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<p>Endlich der <hi rendition="#i">Satz der doppelten Verneinung:</hi><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 31. Inkonsistenz.</fw><lb/>
<p>Es ist darauf aufmerksam zu machen, dass aus allen drei Fassungen<lb/>
eine <hi rendition="#i">paradox klingende</hi> Formulirung hypothetischer Urteile hervorgehen<lb/>
kann, aus der zweiten z. B. dann, wenn es nicht vorkommt, unmöglich<lb/>
oder undenkbar ist, dass <hi rendition="#i">B</hi> nicht gelte.</p><lb/>
<p>Wir haben dann für das Urteil: Wann <hi rendition="#i">A</hi> nicht gilt, so gilt <hi rendition="#i">B</hi><lb/>
(denn es gilt laut Voraussetzung ohnehin, gilt selbstverständlich, in<lb/>
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<p>Zu beachten ist also: dass mit einem Konditionalsatz, der eine<lb/>
nicht realisirbare, eventuell absurde Bedingung zum Vordersatze hat,<lb/>
doch gültige Urteile in unsrer Disziplin abgegeben zu werden ver-<lb/>
mögen, deren wahrer Gehalt bei ihrer Konversion zutage tritt — und<lb/>
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<p>Nach Th. 3̅8̅<hi rendition="#sub">×</hi>) lassen übrigens die einander gleichwertigen Urteile:<lb/>
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Es konstatirt dieses mit jedem der beiden vorigen äquivalente Urteil,<lb/>
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<p>Stellen überhaupt <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi>, … Aussagen vor, so kann man (mit<lb/>
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Ausspruch, dass dasselbe verschwinde.</p><lb/>
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Subsumtion, lässt jederzeit auch das „<hi rendition="#i">disjunktive</hi>“ Urteil sich darstellen.</p><lb/>
<p>Es kann von Urteilen dieser Art als von <hi rendition="#i">zweigliedrigen</hi> oder auch<lb/>
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<p>In § 15 wurde vom disjunktiven Urteil <hi rendition="#i">A</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> vorausgesetzt, dass<lb/>
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<p>Über die Grundlagen des Aussagenkalkuls werden auch die nach-<lb/>
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Übergang von der Behauptung {(<hi rendition="#i">A</hi> = i) = <hi rendition="#i">A</hi>} = i zur Behauptung<lb/>
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<p>Noch andre Zurückführungen der vier Ausdrücke <hi rendition="#i">ϑ</hi>) oder <hi rendition="#i">ι</hi>) auf ein-<lb/>
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<p>Die Äquivalenz der drei letzten Aussagenausdrücke in <hi rendition="#i">ϰ</hi>) lehrt<lb/>
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<p>Nach § 23 hätte in der That auch im identischen Kalkul <hi rendition="#i">B</hi> — <hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi><lb/>
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<p>Folgert man (hier wie dort) aus einer Subsumtion (resp. Un-<lb/>
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übergeordnete als das „grössere“ Gewicht zu bezeichnen sein wird.<lb/>
(Exempel siehe nachstehend bei Pr. II.)</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Ist das Gewicht einer Subsumtion gleich</hi> 0, <hi rendition="#i">so muss dieselbe eine<lb/>
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Ausmultiplizirung von (<hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi>) (<hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi>) als die gesuchte Darstellung:<lb/>
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<p>Nach § 28 durften nun in den Formeln des identischen Kalkuls,<lb/>
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<p>Für jedes richtige Theorem, jede gültige Formel aber muss dann<lb/>
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<p>Indem wir dieses nachsehen, haben wir ein bequemes Mittel, die<lb/>
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<p>Wir schreiten dazu, die Formeln des § 29 nochmals, nämlich jetzt<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.</fw><lb/>
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<p>Ebenso können Subsumtionen <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> nachgerechnet werden, indem<lb/>
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<p>Bei der Ausführung<note place="foot" n="*)">Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei <hi rendition="#g">Peirce</hi><hi rendition="#sup">8</hi><lb/>
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machen sein.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Prinzip</hi> I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss <hi rendition="#i">λ</hi>)):<lb/>
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hier also stimmt die Probe.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Prinzip</hi> II lautete: <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>, wenn für den Augenblick <hi rendition="#i">A</hi> diese<lb/>
Behauptung:<lb/>
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bedeutet. Nach Schema <hi rendition="#i">λ</hi>) wird hier:<lb/>
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<p>Nach § 21, <hi rendition="#i">η</hi>) rechts lässt die Konklusion <hi rendition="#i">B</hi> sich erreichen, indem<lb/>
man in <hi rendition="#i">A</hi> den Eliminanden <hi rendition="#i">b</hi> tilgt.</p><lb/>
<p>Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach-<lb/>
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<p>Oder man mag nachsehen, dass <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 ist:<lb/>
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<p>Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln:<lb/>
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woraus ersichtlich wird, dass in der That <hi rendition="#i">A</hi> von <hi rendition="#i">B</hi> um das „Gewicht“:<lb/>
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übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">c</hi> gelten,<lb/>
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<fw type="header" place="top">Sechzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
jenigen sind, wo die Behauptung <hi rendition="#i">B</hi> des Satzes gilt, aber die Voraus-<lb/>
setzung <hi rendition="#i">A</hi> desselben nicht gilt. Die Behauptung <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi> gilt immer,<lb/>
wann die Voraussetzung (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) zutrifft, aber ausserdem auch<lb/>
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<p>In ähnlicher Weise, wie vorstehend, wollen wir immer die linke Seite<lb/>
einer Subsumtion oder Gleichung mit <hi rendition="#i">A</hi>, ihre rechte mit <hi rendition="#i">B</hi> bezeichnen und<lb/>
zunächst nur diejenigen Formeln des § 29 nachrechnen, bei denen kein<lb/>
Produkten- oder Summenzeichen vorkommt.</p><lb/>
<p>Für die <hi rendition="#g">Def.</hi> (1) der Gleichheit haben wir dann:<lb/>
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was übereinstimmt.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Bei</hi> Th. °1) würden wir als Gültigkeitsklasse nach Schema <hi rendition="#i">μ</hi>) erhalten:<lb/>
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Gewicht.</p><lb/>
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</table> was übereinstimmt. Man kann aber auch rein mechanisch sogleich die<lb/>
Gültigkeitsklasse des ganzen Theorems ansetzen:<lb/>
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<p>Zu Def. (3) haben wir bei<lb/>
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<p>Gleicherweise wie vorhin bei Th. °1), Def. °(2) und Th. °6) ist bei<lb/>
allen Sätzen des § 29, die eine mit Ringelchen versehene Chiffre haben,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.</fw><lb/>
direkt leicht nachzurechnen, dass sie die Gültigkeitsdauer resp. -klasse 1 be-<lb/>
sitzen; nur bietet dies weiter kein Interesse: Beim Distributionsgesetz 27<hi rendition="#sub">×</hi>)<lb/>
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weil der eine Faktor in jedem Gliede links identisch ist mit dem andern,<lb/>
das eine Glied daselbst aber die Negation ist des andern. So auch bei<lb/>
Th. °21<hi rendition="#sub">×</hi>) wäre: (<hi rendition="#i">a</hi> · 1 = <hi rendition="#i">a</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi> · 1 · <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + 0) <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1. Etc.</p><lb/>
<p>Anders bei den übrigen Sätzen. Bei diesen verlohnt es, die Rechnung<lb/>
jeweils, wie nachstehend durchzuführen, indem sich eine wirkliche Kontrole<lb/>
ergibt und auch Aufschluss über das Gewicht des Satzes gewonnen wird<lb/>
(sofern dasselbe nicht schon von vornherein als verschwindend, gleich 0, er-<lb/>
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<p>In den Theoremen 17) bis 19) wird man für die vorliegenden Rech-<lb/>
nungszwecke bequemer <hi rendition="#i">α</hi>, <hi rendition="#i">β</hi> statt <hi rendition="#i">a</hi>', <hi rendition="#i">b</hi>' schreiben. Dann ist</p><lb/>
<p>Zu Th. 17) <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">α</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">β</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">β</hi>), und<lb/>
bei 17<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a α</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b β</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b β</hi> = <hi rendition="#i">A</hi> + (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">α β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),<lb/>
„ 17<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">α</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">β</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">β</hi> = <hi rendition="#i">A</hi> + (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi> + <hi rendition="#i">b α β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>).</p><lb/>
<p>Zu Th. 18) ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">α</hi> = <hi rendition="#i">β</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">α β</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),<lb/>
bei 18<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a α</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b β</hi>) = <hi rendition="#i">A</hi> + (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">α β</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi>),<lb/>
„ 18<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">α</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">β</hi>) = <hi rendition="#i">A</hi> + (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi> + <hi rendition="#i">b α β</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi>).</p><lb/>
<p>Zu Th. 19) ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">α</hi> = <hi rendition="#i">β</hi>) = (<hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">α β</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),<lb/>
bei 19<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a α</hi> = <hi rendition="#i">b β</hi>) = <hi rendition="#i">a b α β</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">A</hi> + {<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">β</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">α</hi>)},<lb/>
„ 19<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">α</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">β</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">α</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">β</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">A</hi> + {<hi rendition="#i">a β</hi> (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">b α</hi> (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)}.</p><lb/>
<p>Zu Th. 20) ist (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> und ebenso<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">a b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi> · <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>,<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>.</p><lb/>
<pb n="76" facs="#f0100"/>
<fw type="header" place="top">Sechzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Zu Th. 24) ist<lb/>
<table> <row><cell>(<hi rendition="#i">a b</hi> = 1) = <hi rendition="#i">a b</hi> und</cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und</cell></row><lb/>
<row><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> = 1) (<hi rendition="#i">b</hi> = 1) = <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> = 0) (<hi rendition="#i">b</hi> = 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</cell></row><lb/>
</table></p> <p>Zu Prinzip III<hi rendition="#sub">×</hi> haben wir als Minor:<lb/>
<hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">b c</hi> = 0) = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, und als Major <hi rendition="#i">B</hi> = 1, nämlich<lb/>
<hi rendition="#i">B</hi> = {<hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a c</hi>} = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a c</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + 1,<lb/>
sonach läuft dasselbe auf: <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> 1 hinaus und erweist sich als richtig.</p><lb/>
<p>Zum Hülfstheorem 29) haben wir:<lb/>
<hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a b</hi> = 0) (<hi rendition="#i">a c</hi> = 0) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = 1) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = 1) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) =<lb/>
= (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">a c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi>) oder (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi>,</hi><lb/>
und <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">A</hi> + (<hi rendition="#i">a b c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),</hi><lb/>
wie durch Entwickelung des <hi rendition="#i">B</hi> auch nach <hi rendition="#i">a</hi> zu erkennen ist. Zudem ist<lb/>
die Unterordnung von <hi rendition="#i">A</hi> unter B aus <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b c</hi> und <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> nach<lb/>
Th. 6<hi rendition="#sub">×</hi>) und 17<hi rendition="#sub">+</hi>) ersichtlich.</p><lb/>
<p>Zu Def. (6) ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> 0) (1 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/>
desgleichen <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">x a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">a</hi>. Denselben Wert ergäbe:<lb/>
<hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a x</hi> = 0) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">x</hi> = 1).</hi><lb/>
<hi rendition="#et">Zu Th. 32) ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi>.<lb/>
Zu Th. 37) <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.<lb/>
Zu Th. 38) ist: (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = 1) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>.<lb/>
Zu Th. 39) (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> = 0) = (<hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1) = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, und<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.<lb/>
Zu Th. 40) ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a c</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b c</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) =<lb/>
= <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · 1 + <hi rendition="#i">b</hi> · 1 = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>.<lb/>
Ebenso bei Zus. 2 ist <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a c</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>.<lb/>
Ferner bei Zus. 1 ist: <hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a c</hi> = <hi rendition="#i">b c</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) =</hi><lb/>
= {<hi rendition="#i">a c</hi> · <hi rendition="#i">b c</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)} {(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> · <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>} = (<hi rendition="#i">a b c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) =<lb/>
= <hi rendition="#i">a b c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, desgl. <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</p><lb/>
<p>Zu Th. 41) haben wir:<lb/>
(<hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>), etc., (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> = (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) etc.</p><lb/>
<p>Beim Hülfstheorem zu Th. 47<hi rendition="#sub">+</hi>) ist<lb/>
<hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi></hi><lb/>
und <hi rendition="#i">B</hi> = (<hi rendition="#i">a x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">a x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi>) <hi rendition="#i">x</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</p><lb/>
<p>Beim Th. 49<hi rendition="#sub">×</hi>): (<hi rendition="#i">a x</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/>
und (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi>;<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.</fw><lb/>
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<p>Man fasse unter den Chiffren die wir citiren, jeweils die Formeln des<lb/>
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<p>Umgekehrt dagegen ist es <hi rendition="#i">keine</hi> leichte Anforderung an das mentale<lb/>
Abstraktionsvermögen des Lesers, falls nun <hi rendition="#i">ϱ</hi>), <hi rendition="#i">σ</hi>) als Definitionen zugrunde<lb/>
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zurückzugelangen — so, wie wir in der That in § 6 die Zurückführung<lb/>
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Theoremen 7) bis 11) der allgemeine Faktor unter dem Produktenzeichen<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 32. Gewicht von Aussagen.</fw><lb/>
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Subsumtion rechts: (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">für jedes x</hi> gilt, so folgt auch die<lb/>
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<hi rendition="#c">Minor + Gewicht = Major</hi><lb/>
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rechnerischen Gültigkeitsnachweis von Formeln des Klassenkalkuls, die zu<lb/>
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<div n="3"><head>§ 33. <hi rendition="#b">Herkömmliche Einteilung der kategorischen Urteile nach<lb/>
Qualität und Quantität. Modifizirte Deutung der universalen in der<lb/>
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<p>Die an die Formen der Wortsprache sich innigst anschmiegende<lb/>
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„<hi rendition="#i">Quantität</hi>“ in <hi rendition="#i">universale</hi> und <hi rendition="#i">partikulare</hi>.</p><lb/>
<p>Es entstehen durch die Kombination der beiden Einteilungsgründe<lb/>
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<p>Die vier Buchstaben <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">e</hi>, <hi rendition="#i">i</hi>, <hi rendition="#i">o</hi>, als die hervorgehobenen Vokale der<lb/>
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<p>Die Bedeutung der vier Buchstaben im Gedächtniss fest zu halten,<lb/>
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<hi rendition="#et">„Asserit a, negat e, sed universaliter ambo,<lb/>
Asserit i, negat o, sed particulariter ambo“.</hi></p><lb/>
<p>Diese vier Buchstaben selbst etwa als Beziehungszeichen hier zu ver-<lb/>
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auszudrücken, würde nicht ratsam erscheinen, in Anbetracht, dass wir schon<lb/>
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Beziehungen stattfinden können, nämlich der Subjekt- und der Prädikat-<lb/>
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<p>Ausserdem erscheinen — vom Standpunkte der Mathematik nament-<lb/>
lich — die vier Buchstaben gewissermassen so unglücklich gewählt, wie<lb/>
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<p>Eine derartige Verfügung über den Sinn des <hi rendition="#i">a</hi> würde jede ander-<lb/>
weitige Verwendung des ersten Buchstabens des Alphabets präkludiren, vor-<lb/>
weg ausschliessen. Dass <hi rendition="#i">e</hi> die Basis des natürlichen Logarithmensystems<lb/>
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Und der Buchstabe <hi rendition="#i">o</hi> ist, wenigstens <hi rendition="#i">geschrieben,</hi> allzuleicht mit der 0 zu<lb/>
verwechseln, sodass man ihm in der Wissenschaft überhaupt fast gänzlich<lb/>
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<p>Um zunächst das Herkömmliche vorweg zu erledigen, so sei noch<lb/>
angeführt, dass wenn das Subjekt <hi rendition="#i">A</hi> in den vier Urteilsformen als das<lb/>
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nisse in welchen je eines der vier Urteile zu einem andern von ihnen<lb/>
steht, als „Gegensätze“ bezeichnet und mit verschiedenen Namen be-<lb/>
legt worden sind. Über diese Benennungen gewährt rasche Übersicht<lb/>
das folgende die Figur eines vollständigen Vierecks bildende Schema.</p><lb/>
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<p>Dass wir in der That die Urteile <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">o</hi>, desgleichen die <hi rendition="#i">e</hi> und <hi rendition="#i">i</hi><lb/>
— auch nach der für unsre Theorie maassgebenden Auffassung dieser<lb/>
Urteile, ja gerade erst kraft des hier denselben beizulegenden Sinnes —<lb/>
als <hi rendition="#i">einander kontradiktorisch entgegengesetzte</hi>, als <hi rendition="#i">Verneinungen von einander</hi><lb/>
zu bezeichnen haben auf Grund des Begriffs der Negation bei Aus-<lb/>
sagen, dies wird sich, sofern es nicht ohnehin einleuchtet, noch syste-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 33. Die herkömmliche Einteilung der kategorischen Urteile.</fw><lb/>
matisch durch den Aussagenkalkul rechtfertigen. Auch mag es angehen<lb/>
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<p>Die Urteile <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">i</hi> oder <hi rendition="#i">e</hi>, <hi rendition="#i">o</hi> subalterne, und gar die <hi rendition="#i">i</hi>, <hi rendition="#i">o</hi> subkonträre<lb/>
zu nennen, erscheint als ziemlich sinnlos und gänzlich belanglos. —</p><lb/>
<p>Über den mit unsern vier Urteilen zu verknüpfenden <hi rendition="#i">Sinn</hi> sind<lb/>
immerhin einige Auseinandersetzungen nötig, resp. in Erinnerung zu<lb/>
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<p>Im gemeinen Leben, wenn gesagt wird: Alle <hi rendition="#i">A</hi> sind <hi rendition="#i">B</hi>, wird die<lb/>
Unterstellung gemacht, es wird als selbstverständlich vorausgesetzt,<lb/>
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wirklich gebe. Dies ist begreiflich, da ohne weiteres keine Veran-<lb/>
lassung ersichtlich ist, die jemand bestimmen könnte, über nichts und<lb/>
wieder nichts Aussagen zu machen. Hier bleibt also in der Regel<lb/>
ganz der Fall ausser Betracht, wo die Klasse <hi rendition="#i">A</hi>, das Subjekt der Aus-<lb/>
sage eine leere ist, gar keine Individuen umfasst, die Bedeutung 0 hat,<lb/>
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<p>Anders in der Wissenschaft, die einerseits auf die Allgemeinheit<lb/>
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gesagt wird, alle <hi rendition="#i">A</hi> seien <hi rendition="#i">B</hi>, oder sollten <hi rendition="#i">B</hi> sein, in der Regel auch<lb/>
die Fälle mitumfassen muss, wo die Anzahl dieser <hi rendition="#i">A</hi> gleich eins oder<lb/>
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suchungen, bei welchen <hi rendition="#i">A</hi> in Betracht kommen, gleichzeitig zu er-<lb/>
ledigen mit solchen Untersuchungen, bei welchen solche <hi rendition="#i">A</hi> überhaupt<lb/>
nicht in Betracht kommen können, weil es eben keine gibt, ist das<lb/>
Bestreben und liegt im Vorteil der Wissenschaft, die wo irgend mög-<lb/>
lich den beiden Klassen von Untersuchungen eine gemeinschaftliche,<lb/>
eine allgemeine Behandlung angedeihen lassen wird. Dazu kommt<lb/>
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mittelung, Erkenntniss von noch Unbekanntem handelt. Da ist es<lb/>
denn oft fraglich, ob eine begrifflich bestimmte Klasse <hi rendition="#i">A</hi> überhaupt<lb/>
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muss. Die Untersuchung dreht sich alsdann gerade darum, ob diese<lb/>
Klasse <hi rendition="#i">A</hi> (identisch) null ist, oder nicht, und müssen die an bestimmte<lb/>
Voraussetzungen über das fragliche oder „problematische“ <hi rendition="#i">A</hi> an-<lb/>
zuknüpfenden Schlüsse eben die beiden Möglichkeiten in Sicht behalten.</p><lb/>
<p>Aus diesem Grunde liessen wir in unsrer Theorie das Urteil <hi rendition="#i">a</hi>,<lb/>
nämlich auch den in Worte gekleideten Satz: „Alle <hi rendition="#i">A</hi> sind <hi rendition="#i">B</hi>“ für<lb/>
gleichbedeutend gelten mit dem Satze: „Alle <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">sofern es welche gibt</hi>,<lb/>
sind <hi rendition="#i">B</hi>“ <hi rendition="#i">und erkennen denselben auch unbedingt für richtig an für den</hi><lb/>
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<hi rendition="#i">Fall</hi>, <hi rendition="#i">wo es gar keine A geben sollte</hi> (sei es in der Mannigfaltigkeit des<lb/>
zu denken Möglichen überhaupt — immerhin jedoch mit der Beschränkung,<lb/>
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vergl. § 7, 9 und 16 — sei es in der des realen, faktischen, thatsäch-<lb/>
lich Wirklichen — je nach dem Felde auf dem wir uns eben mit den<lb/>
Untersuchungen bewegen).</p><lb/>
<p>Die Subsumtion: <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>, oder die nach Th. 38<hi rendition="#sub">×</hi>) mit ihr äqui-<lb/>
valente Gleichung: <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 ist alsdann die exakte Wiedergabe des<lb/>
Urteils <hi rendition="#i">a</hi> in der Zeichensprache unsres Kalkuls. Dass wir diese Sub-<lb/>
sumtion für den Fall <hi rendition="#i">A</hi> = 0 anzuerkennen auch durch die Konsequenz<lb/>
genötigt sind, wurde schon wiederholt betont. Vergl. § 9, <hi rendition="#i">ρ</hi>, <hi rendition="#i">σ</hi>).</p><lb/>
<p>Auch wenn die Klasse <hi rendition="#i">A</hi> nur <hi rendition="#i">ein</hi> Individuum enthält, das Urteil<lb/>
<hi rendition="#i">a</hi> also ein „<hi rendition="#i">singuläres</hi>“ ist, bleibt das Gesagte in Kraft, und schliessen<lb/>
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Logik an, die singulären Urteile mit zu den universalen zu rechnen,<lb/>
sie unter diese zu subsumiren. Auch hier in der That gibt das Urteil<lb/>
eine Aussage ab über die <hi rendition="#i">ganze</hi> Subjektklasse, was als das Wesen der<lb/>
Universalität des Urteils angesehen wird.</p><lb/>
<p>Dasselbe, was bei den universal bejahenden Urteilen soeben aus-<lb/>
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müssen wir hier für richtig anerkennen, wenn es keine <hi rendition="#i">A</hi> gibt, wenn<lb/>
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<p>Das Urteil <hi rendition="#i">e</hi> wird hienach in unserm Kalkul mit <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> oder<lb/>
<hi rendition="#i">A B</hi> = 0 angemessen dargestellt. —</p><lb/>
<p>Über den Sinn des unbestimmten Zahlworts „<hi rendition="#i">einige</hi>“ (auch: „etliche,<lb/>
gewisse, manche“ und mit einer noch ausserdem hinzutretenden Zahl-<lb/>
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<p>Dasselbe kann gebraucht werden <hi rendition="#i">im Gegensatz zu</hi> „<hi rendition="#i">alle</hi>“, im Sinne<lb/>
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Verwendungsweise <hi rendition="#i">schliessen wir hier aus</hi>. Sollten wir das im Sinne<lb/>
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unerlässlich, wenn von „einige“ gesprochen wird, damit allemal <hi rendition="#i">den-<lb/>
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Der Sinn kann Manches unbestimmt oder offen lassen, doch muss dies<lb/>
immer auf die gleiche Weise geschehen, und nicht bald so bald anders;<lb/>
das Unbestimmte muss in ein bestimmt abgegrenztes Gebiet ein-<lb/>
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<p><hi rendition="#i">Immer</hi> wird das Wort „einige“ gebraucht <hi rendition="#i">im Gegensatz zu</hi> „<hi rendition="#i">keine</hi>“,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 33. Fortsetzung. Modifizirte Deutung universaler Urteile.</fw><lb/>
für nicht-keine oder <hi rendition="#i">mindestens eines</hi>, wie dies auch das lateinische<lb/>
non-nulli durch seine Zusammensetzung zu erkennen gibt. Und dies<lb/>
ist der Sinn, den wir hier unentwegt festhalten werden.</p><lb/>
<p>Damit ist gesagt, dass wenn von „einigen“ Individuen die Rede<lb/>
sein wird, diese sich insbesondere auch in der Einzahl befinden können.</p><lb/>
<p>Im gewöhnlichen Leben kann auch dieses anstössig erscheinen. Es<lb/>
könnte Jemand, der vor Gericht eidkräftig erklärt hat, er sei am hellen<lb/>
Tage von „einigen“ Individuen überfallen und durchgeprügelt worden, ris-<lb/>
kiren, wegen falschen Zeugnisses zur Verantwortung gezogen zu werden,<lb/>
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<hi rendition="#i">einem</hi> Individuum verübt worden. Dies rührt daher,<lb/>
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Fragestellung an den Zeugen versäumt zu haben.</p><lb/>
<p>In ingeniöser Weise veranschaulicht Mr. <hi rendition="#g">Peirce</hi><lb/>
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<p>Ich will die vier Quadrate in welche das ganze Quadrat vor-<lb/>
stehend zerlegt erscheint, kurz als „Quadranten“ bezeichnen. Dann<lb/>
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<p>gelten für die beiden oberen Quadranten, und zwar ausdrücklich auch<lb/>
für den ganz leeren rechts oben, in welchem sich gar keine Striche<lb/>
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<p>gilt für die beiden Quadranten rechterhand, und insbesondere auch<lb/>
wieder für den leeren. Der Satz:</p><lb/>
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Striche scheitelrecht stehen. Endlich der Satz:</p><lb/>
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<p>gilt für die beiden untersten Quadranten und zwar ausdrücklich auch<lb/>
für den rechts unten, in welchem nicht blos einige sondern sogar alle<lb/>
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<fw type="header" place="top">Siebzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Die vorstehenden Konventionen, zu welchen wir, wie auseinander-<lb/>
gesetzt, durch die Konsequenz genötigt sind, haben aber in der That<lb/>
einen Misstand im Gefolge. Es ist der Umstand, dass nun mitunter<lb/>
das Wort „einige“ <hi rendition="#i">mehr</hi> besagen wird als „alle“, denn dieser letztern<lb/>
können es auch „keine“ sein, während jener erstern „mindestens eines“<lb/>
sein muss. Nach unsern Festsetzungen fiel „alle <hi rendition="#i">A</hi>“ mit „kein <hi rendition="#i">A</hi>“ zu<lb/>
dem Begriffe des „Nichts“ zusammen, wenn es die <hi rendition="#i">A</hi> überhaupt nicht<lb/>
gibt; es schliessen hier „alle“ und „keine“ einander nicht unbedingt<lb/>
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oder gesetzt werden sollen, als mit „alle <hi rendition="#i">A</hi>“, insofern zu bezeichnen,<lb/>
als er höchlich dem Sprachgefühl zuwiderläuft.</p><lb/>
<p>In der gewöhnlichen Umgangssprache nun macht sich dieser Miss-<lb/>
stand allerdings nicht fühlbar — weil hier der Fall, dass ein Ding,<lb/>
worüber man spricht, nicht existirt oder gar, nicht denkbar wäre,<lb/>
nicht vorzukommen pflegt — so wenigstens in der Meinung Derer, die<lb/>
davon sprechen — sonach der anstössige Fall hier ohnehin sich still-<lb/>
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<p>In der Wissenschaft jedoch muss man an dergleichen Degenerations-<lb/>
fällen — den Fällen, wo einzelne Begriffswörter von dem ursprünglich<lb/>
für sie <hi rendition="#i">beabsichtigten</hi> Sinne anscheinend oder wirklich „ausarten“ (näm-<lb/>
lich ganz andern Zwecken als den bei ihrer Bildung vorschwebenden<lb/>
konsequenterweise dienstbar werden, indem man jene dabei gar nicht<lb/>
mit vor Augen hatte) — sich nicht weiter stossen. Hier ist äusserste<lb/>
Strenge im konsequenten Festhalten an den allgemeinen und als solche<lb/>
wohlmotivirten Festsetzungen in erster Linie maassgebend; sich die Vor-<lb/>
teile solcher Konsequenz zu sichern bleibt hier oberster Gesichtspunkt.</p><lb/>
<p>Es mag in dieser Beziehung erinnert werden an die „Segmente“ bei<lb/>
subtraktiver Teilung einer Strecke, wo doch auch der eine „Abschnitt“<lb/>
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der Geometrie, wie <hi rendition="#i">die</hi> unendlich entfernte Gerade resp. Ebene, der ima-<lb/>
ginäre Kugelkreis etc., gewiss in noch viel höherem Grade den Anfänger<lb/>
paradox anmuten — von derartigen Gebilden der Algebra ganz zu geschweigen.</p><lb/>
<p>Die universalen Urteilsformen <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">e</hi> haben wir oben mit dem<lb/>
Zeichensystem, über das wir bislang verfügten, zur Darstellung ge-<lb/>
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<p>Es zeigt sich, dass <hi rendition="#i">ohne weiteres</hi> in der That <hi rendition="#i">nur</hi> bei diesen solches<lb/>
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<hi rendition="#i">vor dem Aussagenkalkul</hi> mit § 28 angelangt waren — und wollen wir<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 33. <hi rendition="#g">Boole’</hi>s Kalkul unfähig, partikulare Urteile darzustellen.</fw><lb/>
jetzt an die Frage herantreten, wie denn hier auch die partikularen<lb/>
Urteilsformen <hi rendition="#i">i</hi> und <hi rendition="#i">o</hi> wiederzugeben sein würden?</p><lb/>
<p>Für den Bedarf unsres bisherigen Klassenkalkuls haben vollkommen<lb/>
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heit und die</hi> Operationen der <hi rendition="#i">drei Spezies</hi> (Multiplikation, Addition und<lb/>
Negation) <hi rendition="#i">als ausgeführt an Klassen</hi>.</p><lb/>
<p>Hier ist nun zunächst die Thatsache zu konstatiren: <hi rendition="#i">dass mit diesen<lb/>
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beisteuernden beiden Klassen <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> und irgend welchen andern Klassen<lb/>
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<p><hi rendition="#g">Boole</hi> und nach ihm <hi rendition="#g">Jevons</hi> haben allerdings geglaubt, dies zu ver-<lb/>
mögen — ein Irrtum, welchen ebenfalls geteilt zu haben Miss <hi rendition="#g">Ladd</hi> <hi rendition="#sup">1</hi><lb/>
pag. 24 implicite mir fälschlich zuschreibt.</p><lb/>
<p>Die erstgenannten wähnten durch eine Gleichung:<lb/>
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<p><hi rendition="#i">Dass aber solches nicht angängig ist, erkennt man augenblicklich, sofern<lb/>
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<p>Es kann daher, solange man die Bedeutung von <hi rendition="#i">w</hi> offen lässt, durch<lb/>
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<p>Wollte man aber vielleicht fordern, dass mit <hi rendition="#i">w</hi> die Vorstellung einer<lb/>
Klasse verknüpft werde, welche eben diejenigen unter den <hi rendition="#i">A</hi> enthält, die<lb/>
<hi rendition="#i">B</hi> sind, somit auch diejenigen unter den <hi rendition="#i">B</hi>, die <hi rendition="#i">A</hi> sind, eine Klasse, die<lb/>
wir kürzer <hi rendition="#i">A B</hi> nennen mögen und bei welcher nur zu unterstellen bleibt,<lb/>
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entbehrlich, eine überflüssige Weitläufigkeit wird. Gerade das Wichtigste<lb/>
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übergangenen Vorbehalte von einer nichtssagenden Formalie zu machen, kann<lb/>
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<p>Der allgemeinste Ausdruck für diejenige Klasse <hi rendition="#i">w</hi>, welche bei ganz<lb/>
beliebig gegebenem Wertepaare <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> die Gleichung <hi rendition="#i">w A</hi> = <hi rendition="#i">w B</hi> schon ohnehin<lb/>
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<p><hi rendition="#g">Boole</hi> hat zuerst sogar <hi rendition="#i">verschiedene</hi> unbestimmte Faktoren links und<lb/>
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<p>Es bedarf kaum noch des Hinweises, dass auch hierdurch nichts ge-<lb/>
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<p>Die erwähnten Versuche zur Darstellung der partikularen Urteile im<lb/>
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<p>Die Unmöglichkeit lässt allgemein sich leicht darthun durch die<lb/>
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<p>Diese Relation müsste, was auch <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi> und <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> für Werte haben<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 33. Partikulare Urteile dem <hi rendition="#g">Boole’</hi>schen Kalkul unzugänglich.</fw><lb/>
sein sollte. Durch diese Forderung treten wir aber in Widerspruch zu<lb/>
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behauptete Unmöglichkeit erwiesen.</p><lb/>
<p>Im Grunde könnten wir schon dieses Beweises uns überhoben erachten,<lb/>
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<p>Nach dem Vorangehenden wird nun ein Zeichen für <hi rendition="#i">nicht-gleich</hi>,<lb/>
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Mangel abzuhelfen. In der That wird<lb/>
<hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A B</hi> ≠ 0</hi><lb/>
das Urteil <hi rendition="#i">i</hi> ausdrücken: „<hi rendition="#i">Einige A sind B</hi>“ — also auch: „Einige <hi rendition="#i">B</hi><lb/>
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Vorzug der Kürze auch denjenigen besitzt, eine <hi rendition="#i">symmetrische</hi> Beziehung<lb/>
<hi rendition="#i">auch symmetrisch wiederzugeben</hi> (insofern nach dem Kommutationsgesetze<lb/>
<hi rendition="#i">B A</hi> und <hi rendition="#i">A B</hi> ohnehin für einerlei gilt).</p><lb/>
<p>Desgleichen wird der Ansatz:<lb/>
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<p>Wesentlich erscheinen diese partikularen Urteile — die „bejahenden“<lb/>
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<hi rendition="#i">B</hi> (resp. nicht <hi rendition="#i">B</hi>) sind — wird ein den vorstehend kursiv gedruckten<lb/>
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<p>Z. B. für <hi rendition="#i">A</hi> = Säugetier, <hi rendition="#i">B</hi> = eierlegend, ist der Satz: Einige Säuge-<lb/>
tiere legen Eier, logisch gleichbedeutend mit dem Satze: Es gibt eierlegende<lb/>
Säugetiere (bekanntlich die Schnabeltiere, Ornithorhynchen, und noch ge-<lb/>
wisse andre Edentaten Australiens und Neuguineas).</p><lb/>
<p>Einige Metalle schwimmen auf dem Wasser, =: Es gibt Metalle, die<lb/>
auf dem Wasser schwimmen (resp., wenn man will, die im Wasser nicht<lb/>
untergehen) — wie bekanntlich Kalium, Natrium und andre „Leichtmetalle“.</p><lb/>
<p>Auf der ersten Etappe in der Entwickelung unsrer Disziplin, wie<lb/>
sie mit Bd. 1 zu einem Abschlusse gekommen, nämlich erst über die<lb/>
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Existenzialurteile in Rechnung zu setzen. Fortan sind auch die be-<lb/>
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sitz einer solchen haben wir in § 15 mit guten Gründen der Wort-<lb/>
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dass er über sie verfüge.</p><lb/>
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<p>Wie in der That es schon im identischen Kalkul ein Postulat<lb/>
gewesen ist, dass man jedes Gebiet negiren, seine Ergänzung, Nega-<lb/>
tion bilden könne, so muss es fortan auch im Aussagenkalkul als ein<lb/>
Postulat anerkannt werden, dass man zu jeder Aussage auch deren<lb/>
Verneinung, Negation bilden könne.</p><lb/>
<p>Und als Verneinung der Gleichung <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>, sonach als (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>)<hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
wurde schon in § 31 die Ungleichung <hi rendition="#i">a</hi> ≠ <hi rendition="#i">b</hi> definirt.</p><lb/>
<p>Dass aber diese Operation des Negirens, von welcher wir <hi rendition="#i">in Be-<lb/>
zug auf Aussagen</hi> „<hi rendition="#i">systematisch</hi>“ im Klassenkalkul noch nicht Gebrauch<lb/>
gemacht haben, weil eben hiezu in diesem noch keine Nötigung vor-<lb/>
lag (allerdings aber aus <hi rendition="#i">didaktischen</hi> Gründen bereits häufig im er-<lb/>
läuternden Worttexte) — dass diese Operation fortan eine unentbehr-<lb/>
liche ist, wofern wir die letzten Ziele unsrer Theorie erreichen wollen,<lb/>
dies dürfte schon aus den bisherigen Betrachtungen erhellen.</p><lb/>
<p>Selbst für den Aussagenkalkul, für den wir als Kalkul mit Aussagen<lb/>
konstanten Sinnes in § 32 die Entbehrlichkeit des Ungleichheitszeichens<lb/>
erkannt haben, dürfte aus der Einführung des letztern ein Gewinn zu er-<lb/>
hoffen sein, indem es vielleicht auf Grund derselben möglich werden wird,<lb/>
auch für die Aussagen von mit der Zeit fliessendem, fluktuirendem oder<lb/>
variirendem Sinne bei konstantem Wortlaut (vgl. § 28) bestimmte Rech-<lb/>
nungsregeln aufzustellen. Jedenfalls vermögen wir auch solche Aussagen<lb/>
noch vermittelst dieses Zeichens wenigstens auszudrücken. Konnten wir<lb/>
vermittelst des Ansatzes<lb/>
<hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = i oder <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0, resp. <hi rendition="#i">A</hi> = 0 oder <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = i</hi><lb/>
schon vordem statuiren, dass eine Aussage <hi rendition="#i">A stets</hi> resp. <hi rendition="#i">nie</hi> gelte, dass sie<lb/>
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<div n="3"><head>§ 34. <hi rendition="#b">Die 5 möglichen Elementarbeziehungen <hi rendition="#g">Gergonne’</hi>s und die<lb/>
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<p>Im letztern Falle ist der gemeinsame Teil entweder <hi rendition="#i">A</hi> selbst<lb/>
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gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres,<lb/>
wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen<lb/>
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<hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> bestehende Beziehung in sich <hi rendition="#i">abbildet, den wesentlichen Teil der<lb/>
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beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt<lb/>
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Unschwer könnten unsre Bezeichnungs<hi rendition="#i">prinzipien</hi> auch als solche formulirt<lb/>
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mein jede missverständliche Deutung der Zeichen ausgeschlossen wäre. Doch<lb/>
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<p>Eine Proposition der vierten Art <hi rendition="#i">g</hi>, = <hi rendition="#i">α</hi>, das ist eine Aussage<lb/>
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verwendbar erscheinendes Fremdwort, indem „Sektion“ anderweitig ver-<lb/>
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begegnet man zuweilen für die in jene Beziehung eingehenden (eventuell<lb/>
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Beziehung als von einer „Kreuzung“ reden.</p><lb/>
<p>Es erschiene dies nicht ganz unpassend, wenn dabei nur etwa an die<lb/>
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gedacht wird. Dagegen verstiesse es höchlich gegen den mathematischen<lb/>
Sprachgebrauch, welchen wir für unsre Disziplin einer Berücksichtigung in<lb/>
erster Linie würdig erachten.</p><lb/>
<p>In Geometrie etc. wird der Fall, wo zwei Gebilde z. B. Körper,<lb/>
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<p>Uber den Sinn dieser Aussagen in den auch hier bei <hi rendition="#i">d</hi>, <hi rendition="#i">f</hi>, <hi rendition="#i">e</hi> zu-<lb/>
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<p>Bei <hi rendition="#i">d</hi> hat dies keine Schwierigkeit im Gefolge. Dagegen bei <hi rendition="#i">f</hi><lb/>
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Bedeutung von „einige“ stipulirenden Festsetzungen — oder man muss<lb/>
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<p>Am ungezwungensten würde man sagen:</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 34. Die fünf Elementarbeziehungen.</fw><lb/>
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<p>und analog <hi rendition="#i">e</hi>, nur mit vertauschtem <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>; indessen hätten wir dann<lb/>
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<p>Am besten wird man auf das ganze Kunststück verzichten, indem<lb/>
dasselbe augenscheinlich zuwiderläuft dem Grundsatze des „Quidquid<lb/>
de omnibus valet, valet etiam de nonnullis ac de singulis“.</p><lb/>
<p>Gilt nämlich z. B. „Alle <hi rendition="#i">A</hi> sind <hi rendition="#i">alle B</hi>“, so wird doch (die An-<lb/>
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<p>Jener Grundsatz aber beherrscht doch nun einmal notorisch unser<lb/>
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„Quantifikation des Prädikates“ durchbrechen zu wollen. Der Versuch<lb/>
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<p>Für die „Elementarbeziehungen“ <hi rendition="#i">δ</hi>, <hi rendition="#i">γ</hi>, <hi rendition="#i">β</hi> hätten wir noch, analog,<lb/>
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<p>Auch diese letztern drei Beziehungen vermittelst eigener Be-<lb/>
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<figure/> worin uns die drei ersten an die früheren Beziehungen erinnern mit<lb/>
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<p>Wir erinnern zunächst, dass <hi rendition="#i">behufs Anlehnung an die Wortsprache</hi><lb/>
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beziehungen“ aufgenommen zu werden. Und dies nicht nur wegen<lb/>
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<p>Der aus zwei Elementarfällen zusammengesetzte Kollektivfall<lb/>
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<p>Nun werden wir ohnehin das Zeichen für die Negation einer<lb/>
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<p>Darnach steht es zunächst in unserm Belieben, für die Beziehung<lb/>
<hi rendition="#i">a</hi> oder für die <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ein ursprüngliches Zeichen auszudenken, und ziehen<lb/>
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(gelesen: <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">gebietgemein</hi><note place="foot" n="*)">Stellen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> vieldeutige Zahlenausdrücke vor, so ist <hi rendition="#i">„wertgemein“</hi><lb/>
(resp. „Wertgemeinschaft“) der passendste Ausdruck. In diesem Sinne habe ich<lb/>
das Zeichen schon vielfach auf seine Brauchbarkeit erprobt und als ein in der<lb/>
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wogegen schriftlich der bequemer zu schreibende Ansatz:<lb/>
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Gebrauch gemacht ist, und dessen Zeichen durch hinreichende Ver-<lb/>
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<p>Im obigen Zeichen der Gebietgemeinschaft erblickt man in der<lb/>
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der Uberordnung und der Schnittigkeit, Sekanz. Allerdings sind aber<lb/>
die drei erstern von diesen vier Zeichen hier nur in ihrer „<hi rendition="#i">elementaren</hi>“<lb/>
Bedeutung zu nehmen, bei welcher das Nullsein von <hi rendition="#i">A</hi> sowol als <hi rendition="#i">B</hi><lb/>
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<p>Strenge genommen müsste also auch hier noch eine solche <hi rendition="#sup">0</hi> über<lb/>
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hier aber kein Anlass erfindlich sein wird, dem mit der ° versehenen<lb/>
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<p>Von „Gebietgemeinschaft“ als von einer besonderen Relation kann<lb/>
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Nullgebietes gesprochen werden, welches letztere ja nur ein uneigentliches,<lb/>
fiktives Gebiet vorstellt, das man einführte um von solch gemeinsamem<lb/>
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<p>Der Vorgang hat ein Analogon in der Zahlentheorie, wo man auch<lb/>
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teilerfremd, relativ prim), wenn sie <hi rendition="#i">nur</hi> den Teiler 1 gemein haben, der<lb/>
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<p>Wir sagen: zwei Gebiete seien <hi rendition="#i">nicht</hi> gebietgemein, gebietefremd (dis-<lb/>
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<p>Darnach wird nun der Fall der Elementarbeziehung <hi rendition="#i">a</hi> im Drucke<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 34. Die vierzehn Grundbeziehungen.</fw><lb/>
<p>Zwei von diesen Grundbeziehungen: <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">g</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#sup">11</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> sind zu-<lb/>
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<p>Das Bisherige sollte nun eigentlich blos zur <hi rendition="#i">Motivirung</hi> der Ein-<lb/>
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ziehungszeichen dienen, und ist es unsre nächste Aufgabe, den<lb/>
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<p>Zu dem Ende werden wir zunächst nach einer „<hi rendition="#i">analytischen</hi>“ Defi-<lb/>
nition der sämtlichen Beziehungen uns umzusehen haben, worunter<lb/>
zu verstehen ist: ihre Erklärung vermittelst der uns nach wie vor als<lb/>
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Verneinung <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>  ; demnach werden alle Beziehungsurteile durch solche<lb/>
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<p>Zum Begriff dieser Subsumtionsbeziehung sind wir bei unserm<lb/>
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mittelst der (salva venia) Kopula „ist“ oder „ist nicht“ von einem<lb/>
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langt die Sprache zu den bekannten vier Hauptformen von Urteilen,<lb/>
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müssiges Beginnen. Will man ergänzend eingreifen, so sehe man von<lb/>
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<p>Zu denken gibt es, dass jene vier urteilsformen sich mit den fünf<lb/>
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Urteile in die bekannten vier Klassen haben aber die fünf Elementar-<lb/>
beziehungen, in welchen, wie gezeigt, hinsichtlich ihres Umfangs Be-<lb/>
griffe überhaupt zu einander stehen können, lange nicht die gebührende<lb/>
Beachtung gefunden, und finden dieselbe in Logikbüchern der ältern<lb/>
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<p>Die Wahrnehmung dieser 5 Beziehungen ist vielmehr von des<lb/>
<hi rendition="#g">Aristoteles</hi> Zeiten (anno minus 384 ‥—322 unsrer Zeitrechnung) bis<lb/>
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<p>Dass eine Sprache, welche nur diese letztern Beziehungen wieder-<lb/>
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<p>Auf dieselben 5 Beziehungen kommt 1877, wie es scheint unabhängig<lb/>
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<p>Inwiefern diese Idee zutreffend ist, werden wir in § 48 sehen.</p><lb/>
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<div n="3"><head>§ 35. <hi rendition="#b">Analytische Definition der Grund- und Elementarbeziehungen<lb/>
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<p>Mit diesen Mitteln ist auch bereits die Gleichheit, und ins-<lb/>
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sonstigen aufgezählten „Beziehungen“ als solche zwischen Gebieten<lb/>
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<p>Am einfachsten definirt sich:<lb/>
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Schluss des § 3, Bd. 1, S. 167, angeführte (dort unnumerirt gelassene)<lb/>
Definition der eventuellen Überordnung hier im System nun ihre Stelle.</p><lb/>
<p>Weiter ist zu definiren:<lb/>
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<p>Hiernach erscheint der Gebrauch der Symbole <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi> fortan<lb/>
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<fw type="header" place="top">Siebzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Wir müssen uns demnächst auch auf die Aussagen <hi rendition="#i">A</hi> = 0 sowie<lb/>
<hi rendition="#i">B</hi> = 0 berufen, weshalb wir auch diese mit Symbolen zu bezeichnen<lb/>
haben, und zwar bedeute:<lb/>
[3<hi rendition="#sup">0</hi>] <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">h</hi> = {<hi rendition="#i">A</hi> = 0}, <hi rendition="#i">h</hi>' = {<hi rendition="#i">B</hi> = 0} = <hi rendition="#i">k</hi>.</hi></p><lb/>
<p>Alsdann gelten folgende Hülfssätze, deren wir gelegentlich bedürfen.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Erstens</hi>. Ist <hi rendition="#i">A</hi> = 0, so gilt nach Def. (2<hi rendition="#sub">×</hi>) auch <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>, d. h.<lb/>
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von dieser Subsumtion aber sind nach Th. 43), Anm. 2 (Bd. 1, S. 400)<lb/>
folgende Umschreibungen zulässig:<lb/>
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Um darauf Bezug zu nehmen wollen wir von diesen allen nur die-<lb/>
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<p><hi rendition="#g">Drittens</hi>. Ist <hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi> und <hi rendition="#i">A</hi> = 0, so folgt nach Th. 4) auch<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 35. Umfangsbeziehungen analytisch definirt u. aufeinander zurückgeführt.</fw><lb/>
<p>Demnächst soll <hi rendition="#i">f</hi> definirt werden durch:<lb/>
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<p>Ausführlich angeschrieben lautet die zweite <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">f</hi> + <hi rendition="#i">d</hi> dieser Glei-<lb/>
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<hi rendition="#i">womit es gerechtfertigt erscheint</hi>, <hi rendition="#i">das Subsumtionszeichen</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">als</hi> „<hi rendition="#i">unter-<lb/>
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<fw type="header" place="top">Siebzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
auch im systematischen Aufbau der Theorie jetzt ihre rechtmässige<lb/>
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<p><hi rendition="#g">Siebentens</hi> mögen wir als Hülfssatz notiren:<lb/>
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indem nach 2<hi rendition="#sup">0</hi>)' direkt <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">h k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">h k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ist. Analog haben wir auch:<lb/>
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zur Rechtfertigung der zweiten Formel unsres Hülfssatzes.</p><lb/>
<p>Man kann auch etwas kürzer auf 7<hi rendition="#sup">0</hi>) schliessen, indem man die letzte<lb/>
Subsumtion von 4<hi rendition="#sup">0</hi>) beiderseits mit <hi rendition="#i">h</hi> multiplizirt, wodurch sich zunächst<lb/>
<hi rendition="#i">f h</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">h k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ergibt.</p><lb/>
<p>Dass aber auch umgekehrt <hi rendition="#i">h k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">f h</hi> sein muss, und darum Gleichheit<lb/>
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sein muss; wenn also, während <hi rendition="#i">A</hi> = 0 kraft <hi rendition="#i">h</hi>, und sonach <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> ist,<lb/>
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mit Rücksicht auf 6<hi rendition="#sup">0</hi>) oder <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">d</hi> + <hi rendition="#i">f</hi> nur mehr die Alternative <hi rendition="#i">A</hi> ⊂ <hi rendition="#i">B</hi><lb/>
oder <hi rendition="#i">f</hi> übrig.</p><lb/>
<p>Nach Th. 6<hi rendition="#sub">×</hi>) ist <hi rendition="#i">f h</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">f</hi>, <hi rendition="#i">e k</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">e</hi>, sonach folgt gemäss Th. 3) auch<lb/>
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<p>Ersteres, oder (<hi rendition="#i">A</hi> = 0) (<hi rendition="#i">B</hi> ≠ 0) <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">A</hi> ⊂ <hi rendition="#i">B</hi>) lässt auch in:<lb/>
<hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">B</hi> ≠ 0) <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> (0 ⊂ <hi rendition="#i">B</hi>)</hi><lb/>
sich zusammenziehen, indem man für <hi rendition="#i">A</hi> den vorausgesetzten Nullwert<lb/>
beiderseits einsetzt, wodurch links der erste Faktor in (0 = 0) = i<lb/>
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Th. 2̅1̅<hi rendition="#sub">×</hi>) unterdrückt werden darf. Dies Ergebniss lehrt, dass <hi rendition="#i">das Null-<lb/>
gebiet wirklich untergeordnet</hi> ist <hi rendition="#i">jedem von</hi> 0 <hi rendition="#i">verschiedenen</hi> Gebiete, und<lb/>
bildet es sonach eine Umkehrung und Ergänzung zu 4<hi rendition="#sup">0</hi>).</p><lb/>
<p>Es bleiben jetzt noch die Grundbeziehungen <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">g</hi> zu definiren<lb/>
— die ersten und die letzten von allen.</p><lb/>
<p>Wir definiren:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.</fw><lb/>
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welche letzten beiden Propositionen nach Th. 5<hi rendition="#sub">×</hi>) ja äquivalent sind.</p><lb/>
<p>Durch Negiren jeder Seite dieser Aussagenäquivalenz gemäss Th. 32)<lb/>
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gesetzt]:<lb/>
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Gleichungen 5<hi rendition="#sup">0</hi>) kraft der Definitionen [7<hi rendition="#sup">0</hi>] in Verbindung mit [2<hi rendition="#sup">0</hi>]<lb/>
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<p>Um nun die Summe vollends in eine reduzirte zu verwandeln,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.</fw><lb/>
letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten<lb/>
Term in jeden folgenden verschwinden.</p><lb/>
<p>Hiemit ist die ganze Möglichkeit i der Beziehungen in 5 einander<lb/>
gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die „<hi rendition="#i">Elementar-<lb/>
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die Zerfällung in die fünf Klassen sein. Für letztere führen wir zum<lb/>
Teil noch kürzere Namen ein, indem wir <hi rendition="#i">definiren:</hi><lb/>
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bleiben wird.</p><lb/>
<p>Es ist dies eine <hi rendition="#i">Hauptgleichung</hi>, die man vorerst nicht aus den<lb/>
Augen verlieren darf. Die fünf Terme rechterhand müssen nach Bis-<lb/>
herigem, wie gesagt, disjunkt sein, ihre zehn Produkte zu irgend zweien<lb/>
sind gleich 0. Es tritt hier also der Fall des Zusatz 2 zu Th. 28),<lb/>
Bd. 1, S. 314 sq. auf: die Negation irgend eines Terms oder eines<lb/>
Aggregates von Termen rechterhand ist jeweils das Aggregat der<lb/>
übrigen Terme, z. B. <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> + <hi rendition="#i">β</hi> + <hi rendition="#i">γ</hi> + <hi rendition="#i">δ</hi>, etc.</p><lb/>
<p>Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be-<lb/>
stimmte Beziehung zwischen den Gebieten <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> statuirt. Die fünf<lb/>
Beziehungen nennen wir eben die „<hi rendition="#i">Elementarbeziehungen</hi>“, und haben<lb/>
dieselben nunmehr auch analytisch definirt.</p><lb/>
<p>Wie immer die Gebiete <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> auch gegeben werden mögen,<lb/>
so gilt notwendig immer eine von diesen Elementarbeziehungen und<lb/>
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<p><hi rendition="#g">Anmerkung</hi>. Anstatt <hi rendition="#i">d h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> hätten wir nach 10<hi rendition="#sup">0</hi>)'' auch einfacher,<lb/>
jedoch auf Kosten der Symmetrie, blos <hi rendition="#i">d h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> oder <hi rendition="#i">d k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> in 15<hi rendition="#sup">0</hi>) und [8<hi rendition="#sup">0</hi>]<lb/>
schreiben können. Umgekehrt dürfen wir nach 4<hi rendition="#sup">0</hi>)' und 4<hi rendition="#sup">0</hi>) für <hi rendition="#i">e</hi> auch <hi rendition="#i">e h</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
und für <hi rendition="#i">f</hi> auch <hi rendition="#i">f k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> schreiben, also <hi rendition="#i">e k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> durch <hi rendition="#i">e h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">f h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> durch <hi rendition="#i">f h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> er-<lb/>
setzen. Endlich war unter 8<hi rendition="#sup">0</hi>)'' <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> erwiesen, wonach Def. [7<hi rendition="#sup">0</hi>] auch<lb/>
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<p>Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch<lb/>
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[9<hi rendition="#sup">0</hi>] <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">α</hi> = <hi rendition="#i">g h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">β</hi> = <hi rendition="#i">e h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">γ</hi> = <hi rendition="#i">f h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">δ</hi> = <hi rendition="#i">d h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
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<p>Nach [8<hi rendition="#sup">0</hi>] verglichen mit 9<hi rendition="#sup">0</hi>)'' resp. 9<hi rendition="#sup">0</hi>)''' und 10<hi rendition="#sup">0</hi>)'' gelten übrigens<lb/>
auch die Gleichungen:<lb/>
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<p>Wir haben oben die Elementarbeziehungen zurückgeführt auf die<lb/>
Grundbeziehungen — vergl. [8<hi rendition="#sup">0</hi>] — zu denen die Aussagen <hi rendition="#i">h</hi> (oder <hi rendition="#i">A</hi> = 0)<lb/>
und <hi rendition="#i">k</hi> (oder <hi rendition="#i">B</hi> = 0) nebst deren Negationen noch herangezogen wurden,<lb/>
und welche sämtlich mittelst der Subsumtion ihre analytische Definition<lb/>
gefunden hatten.</p><lb/>
<p>Man kann nun auch das Umgekehrte verlangen, fordern dass die<lb/>
14 Grundbeziehungen nebst den vier Relationen <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">k</hi>, <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> gewisser-<lb/>
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5 Elementarbeziehungen ausgedrückt werden.</p><lb/>
<p>Übersichtlich wird dies durch das Tableau geleistet:<lb/>
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„Alle <hi rendition="#i">A</hi> sind nicht <hi rendition="#i">B</hi>“ oder „Kein <hi rendition="#i">A</hi> ist <hi rendition="#i">B</hi>“ <hi rendition="#i">ganz allgemein und von<lb/>
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<p>Von diesen Formeln kommen diejenigen rechterhand für die Negationen<lb/>
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ist auch nur weniges zu sagen.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.</fw><lb/>
<p>Nämlich bei <hi rendition="#i">a</hi> ist allein auf die Def. [6<hi rendition="#sup">0</hi>] hinzuweisen, bei <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">c</hi> auf<lb/>
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<p><hi rendition="#g">Anmerkung</hi>. Wo in IV<hi rendition="#sup">0</hi> die Gleichung <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi> = 0 auftritt,<lb/>
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<p>Hieraus folgt aber die wichtige Erkenntniss, <hi rendition="#i">dass wir jede über<lb/>
Beziehungen zwischen Klassen (oder Umfangsverhältnisse von Begriffen)<lb/>
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<p>Diesem letztern Ziele werden wir demnach in Bälde zusteuern (§ 41<lb/>
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neinung mitgegeben erscheint, können wir auch sagen:</p><lb/>
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<p>Auf Grund der Darstellungen IV<hi rendition="#sup">0</hi> bewahrheiten sich unmittelbar<lb/>
die folgenden Beziehungsäquivalenzen:</p><lb/>
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Theoremen bekannt, insbesondere aus Th. 32) und 37).</p><lb/>
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artigen Relation vertauschen, die Beziehung ohne weiteres auch rückwärts<lb/>
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Formeln aus, <hi rendition="#i">dass man dieselben auch rückwärts lesen kann</hi>, <hi rendition="#i">indem man<lb/>
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springen aus ihnen wieder richtige Beziehungen</hi>, <hi rendition="#i">wofern man ebenfalls das<lb/>
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negirte beibehalten will, dafür Major und Minor vertauscht</hi>, und zwar gilt<lb/>
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<p>Die Negation einer Elementarbeziehung ist allerdings keine Ele-<lb/>
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mentarbeziehung, bietet nicht mehr das Interesse einer solchen. Die<lb/>
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<p>[Die meisten, alle nicht symmetrischen, von den Sätzen V<hi rendition="#sup">0</hi> sind<lb/>
in doppelter Ausfertigung angeschrieben, nämlich für das Gebietepaar<lb/>
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<p>Um das Theorem {<hi rendition="#i">A</hi> ⊂ <hi rendition="#i">B</hi>} = {<hi rendition="#i">B</hi> ⊃ <hi rendition="#i">A</hi>}<lb/>
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beiderseitiges Negiren nach Th. 3̅2̅), ergibt. Man hätte dabei blos zu be-<lb/>
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wie sich dies auch aus dem Tableau III<hi rendition="#sup">0</hi> bewahrheitet.</p><lb/>
<p>Ebenso lässt sich das Theorem:<lb/>
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beweisen, indem man die nach Th. 37) bekannte Äquivalenz:<lb/>
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überschiebend multiplizirt mit der Gleichung:<lb/>
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welche sich aus dem Th. 32) durch Anwendung auf sich selbst ergab.</p><lb/>
<p>Die Formeln der ersten beiden Zeilen in V<hi rendition="#sup">0</hi> zeigen, dass das <hi rendition="#i">Zeichen</hi><lb/>
<choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   „<hi rendition="#i">der Disjunktion</hi>“, welches die Gebietgemeinschaft verneint und zu-<lb/>
gleich dem Elementarfall <hi rendition="#i">a</hi> entspricht, sich vertreten lässt durch das<lb/>
Subsumtionszeichen <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>, somit auch die Verneinung des erstern durch<lb/>
die des letztern, d. h. dass ebenso das Zeichen <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   der Gebietgemein-<lb/>
schaft <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> entbehrlich gemacht werden kann durch dasjenige <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   der Sub-<lb/>
sumtionenverneinung oder Nicht-Einordnung. Gegenüber dem letzteren<lb/>
hat aber das erstere Zeichen den Vorzug der <hi rendition="#i">Symmetrie</hi>.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Es ist demnach auch</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   <hi rendition="#i">und</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   <hi rendition="#i">ein Paar von Beziehungszeichen</hi>,<lb/>
<hi rendition="#i">welches für die Logik des Umfanges ausreichen würde</hi>, während mit einem<lb/>
derselben allein (im frühern Sinne) nicht auszukommen wäre. Ebendieser,<lb/>
die sie nur äusserlich anders gestaltet, bedient sich Miss <hi rendition="#g">Ladd</hi> in <hi rendition="#sup">1</hi>.</p></div><lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<div n="3"><head>§ 37. <hi rendition="#b">Entwickelung der Produkte und Summen von Grundbeziehungen.</hi></head><lb/>
<p><hi rendition="#c">(Überschlagbar.)</hi></p><lb/>
<p>Wir wollen nun an unsre Umfangsbeziehungen noch einige Studien an-<lb/>
knüpfen, welche derjenige Leser überschlagen mag, der etwa rasch dem<lb/>
Hauptprobleme und den Syllogismen zueilen möchte. Ein solcher wird auch<lb/>
die übrigen Paragraphen gegenwärtiger Vorlesung vorerst überspringen<lb/>
können, deren Thema wir jedoch für ein an sich kaum minder interessautes<lb/>
und wichtiges erklären müssen. Wir reden demnächst nur von Beziehungen<lb/>
zwischen durchweg denselben zwei Gebieten <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>.</p><lb/>
<p>Das Produkt von irgend zwei verschiedenen <hi rendition="#i">Elementar</hi>beziehungen<lb/>
ist 0, weil diese disjunkt sind, einander gegenseitig ausschliessen. Eine<lb/>
Summe von solchen ist einfach hinzuschreiben und lässt sich nicht ver-<lb/>
einfachen.</p><lb/>
<p>Dagegen kann man für die Produkte und Summen von <hi rendition="#i">Grund</hi>-<lb/>
beziehungen verlangen, dass dieselben entwickelt werden, so, dass klar<lb/>
zu sehen ist, wie viel jeweils davon unter eine jede der fünf Elementar-<lb/>
abteilungen fällt.</p><lb/>
<p>Auf Grund der Tafel III<hi rendition="#sup">0</hi> des § 35 ist die Ermittelung dieser Ver-<lb/>
knüpfungsergebnisse eine blosse Rechenübung. Wir bringen die Resul-<lb/>
tate in übersichtliche Tabellen, die auch für rasches Nachschlagen<lb/>
erwünscht sein können.</p><lb/>
<p>Bei der Bildung der Produkte von nach den fünf Fächern <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">α</hi>, <hi rendition="#i">β</hi>,<lb/>
<hi rendition="#i">γ</hi>, <hi rendition="#i">δ</hi> geordneten Summen ist der Vorteil zu beachten, dass das Aus-<lb/>
multipliziren zu bewerkstelligen ist durch einfaches Übereinanderschieben,<lb/>
Superponiren derselben, nämlich durch multiplikative Verknüpfung von<lb/>
immer nur den <hi rendition="#i">gleichstelligen</hi> Termen — geradeso, wie bei nach den-<lb/>
selben Argumenten entwickelten Funktionen in Th. 45<hi rendition="#sub">+</hi>) geschildert —<lb/>
weil die ungleichstelligen Terme hier ebenfalls disjunkt sein müssen —<lb/>
vergl. den Zusatz Bd. 1, S. 422.</p><lb/>
<p>In sämtlichen Tafeln sind die <hi rendition="#i">lateinischen</hi> Symbole <hi rendition="#i">rechterhand</hi> durch<lb/>
ihre Werte aus dem Tableau III<hi rendition="#sup">0</hi> ersetzt zu denken; insbesondere ist<lb/>
also <hi rendition="#i">a</hi> unverändert zu lassen, <hi rendition="#i">h k</hi>, <hi rendition="#i">h k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">k</hi> gemäss der ersten Zeile<lb/>
von VI<hi rendition="#sup">0</hi> mit dem Faktor <hi rendition="#i">a</hi> versehen zu denken, während <hi rendition="#i">g</hi> rechts immer<lb/>
den Elementarfall <hi rendition="#i">α</hi> vertritt.</p><lb/>
<p>Es sind die Tafeln dazu bestimmt, <hi rendition="#i">wenn über zwei Gebiete oder<lb/>
Klassen A und B eine ganze Reihe von Aussagen gegeben sein sollte</hi>, <hi rendition="#i">die<lb/>
irgendwelche Elementar- oder Grundbeziehungen zwischen denselben als<lb/>
simultan oder alternativ geltende oder nichtgeltende hinstellen</hi>, <hi rendition="#i">den logischen<lb/>
Gehalt der</hi> aus all’ diesen Aussagen sich zusammensetzenden <hi rendition="#i">Kollektiv</hi>-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 37. Produkte und Summen der Grundbeziehungen.</fw><lb/>
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<p>In dieser Weise können die hier gegebenen Tafeln auch dazu bei-<lb/>
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der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36, Tafel IV<hi rendition="#sup">0</hi> und später<lb/>
noch § 39, Tafel XVII<hi rendition="#sup">0</hi> vorbereitend zu erleichtern.</p><lb/>
<p>Für manch’ ein Untersuchungsfeld ist ständig <hi rendition="#i">h</hi> = 0 und <hi rendition="#i">k</hi> = 0,<lb/>
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„sinnlos“ oder „<hi rendition="#i">undeutig</hi>“ werde. Dies wäre z. B. der Fall bei den<lb/>
Anwendungen auf eine Mannigfaltigkeit, welcher die identische Null<lb/>
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Rechnung mit vieldeutigen Zahlen-Ausdrücken, mehrdeutigen Funktionen,<lb/>
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entbehren oder undeutig ausfallen, wie ich sie in meinem Lehrbuch<lb/>
der Arithmetik und Algebra <hi rendition="#sup">1</hi> in Untersuchung gezogen habe. Da hier<lb/>
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<p>Wir können dann sagen, <hi rendition="#i">dass von den vier Zeichen der</hi> „<hi rendition="#i">Wert-<lb/>
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<hi rendition="#i">das erste in die drei letzten und die drei ersten in das letzte übergehen</hi><lb/>
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<p>Die Tafeln VI<hi rendition="#sup">0</hi> und VII<hi rendition="#sup">0</hi> kommen dann von selbst in Wegfall,<lb/>
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IX<hi rendition="#sup">0</hi> alsdann vereinfachen:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 37. Produkte und Summen von Grundbeziehungen.</fw><lb/>
<hi rendition="#c">XI<hi rendition="#sup">0</hi>. <hi rendition="#g">Multiplikationstabelle bei Ausschluss undeutiger Symbole</hi>.</hi><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 38. Zuzug der negirten Gebiete.</fw><lb/>
<div n="3"><head>§ 38. <hi rendition="#b">Erweiterung des Beziehungskreises durch Zuzug auch der<lb/>
negirten Gebiete.</hi></head><lb/>
<p>Es wurde schon unter Theorem 37) erwähnt, dass die Anwendung<lb/>
desselben, oder der Schluss von einer Subsumtion <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> auf die <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
(oder umgekehrt) genannt wird die <hi rendition="#i">Konversion</hi> — <hi rendition="#i">durch Kontraposition</hi> —<lb/>
des die betreffende Prämisse bildenden Subsumtionsurteils. Ebenso leistete<lb/>
das Theorem 32) in Gestalt des Schlusses von einer Gleichung <hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi><lb/>
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für die umkehrbaren oder reziprokabelen Urteile.<note place="foot" n="*)">Die man auch <hi rendition="#i">konvertible</hi> nennen könnte — „konvertibel“ jedoch in<lb/>
andrem Sinne, nämlich mittelst einfacher Umkehrung der „conversio <hi rendition="#i">simplex</hi>“.<lb/>
In Bezug auf die Umkehrung mittelst „Kontraposition“ würden <hi rendition="#i">alle</hi> Urteile als<lb/>
konvertible zu bezeichnen sein.</note></p><lb/>
<p>Dies verallgemeinernd wollen wir nunmehr aus einer Beziehung irgend<lb/>
welcher Art zwischen irgend zweien der vier Gebiete <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> auf<lb/>
jede damit äquivalente Beziehung zwischen wiederum zweien von diesen<lb/>
Gebieten schliessen lernen.</p><lb/>
<p>Zu dem Ende ziehen wir ausser den sämtlichen in § 34 einge-<lb/>
führten Beziehungen zwischen den Gebieten <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> selber auch<lb/>
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<hi rendition="#i">B</hi> oder <hi rendition="#i">A</hi>, oder beide Gebiete durch ihre Negationen <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> resp. <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
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<p>Um zunächst diese zahlreichen Beziehungen als Aussagen syste-<lb/>
matisch, übersichtlich und mnemonisch zu bezeichnen, lassen wir die<lb/>
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11 in einem neuen (bei <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> hiervon abweichenden) Sinne; wir machen<lb/>
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zu einem Teil aber inzwischen schon überflüssig gewordenen, ohnehin<lb/>
antiquirten Bezeichnungen.</p><lb/>
<p>Es werde fortan unter <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#sup">01</hi> verstanden die Aussage <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, wenn<lb/>
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<p>unter <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#sup">10</hi> die Aussage <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, wenn umgekehrt darin <hi rendition="#i">A</hi> durch <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> er-<lb/>
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<p>mit <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#sup">11</hi> werde die Aussage <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> bezeichnet, wenn darin <hi rendition="#i">A</hi> durch <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
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<p>Analog werde jetzt <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sup">01</hi>, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sup">10</hi> und <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sup">11</hi> erklärt als die Aussage <hi rendition="#i">b</hi>,<lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Nach II<hi rendition="#sup">0</hi> haben wir also die Bedeutungen:<lb/>
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<lb/>
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Diese Aussagen werden zum Teil auf frühere zurückkommen und<lb/>
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<p>Zunächst sollen diese sämtlichen Aussagen nach den 5 Elementar-<lb/>
fällen entwickelt, über die 5 Fächer verteilt werden.</p><lb/>
<p>Dazu bedürfen wir ausser den beiden <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">k</hi> noch dreier weitern<lb/>
Hülfsaussagen mit ihren Negationen, nämlich der folgenden:<lb/>
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<p>Für die Aussage <hi rendition="#i">m</hi> brauchte man freilich kein neues Zeichen; man<lb/>
könnte sie wegen <hi rendition="#i">m</hi> = <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sup">10</hi> = <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sup">11</hi> (sintemal für eine <hi rendition="#i">B</hi> nicht enthaltende<lb/>
Aussage es einerlei, ob man <hi rendition="#i">B</hi> durch <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ersetzt, oder nicht) konsequenter-<lb/>
weise durch eines dieser beiden letzteren Symbole darstellen, während<lb/>
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eingeführten einfacheren Namen dafür zu gebrauchen.</p><lb/>
<p>Nach Th. 34<hi rendition="#sub">+</hi>) ist: 1 = <hi rendition="#i">A B</hi> + <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi>. Bezüglich der<lb/>
drei ersten von den vier rechts zusammengefassten Termen kommt das<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 38. Erweiterung des Beziehungskreises.</fw><lb/>
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zudrücken, dass auch der vierte und letzte Term verschwinde, oder<lb/>
verschwinden solle.</p><lb/>
<p>Diesen Fall, der in der That Interesse beansprucht, versinnlicht<lb/>
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<p>In unserm früheren engeren Sinne des Wortes „Beziehung“ stellt<lb/>
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<p>Für die <hi rendition="#i">Grund-</hi> und obigen Hülfsbeziehungen gibt die Lösung der<lb/>
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Formel vorstellt — indem man eine Reihe von Hülfssätzen dazu auf-<lb/>
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<p>Als solche seien namhaft gemacht:<lb/>
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Von diesen werden wir einige (der das Symbol <hi rendition="#i">l</hi> enthaltenden) auch<lb/>
später noch gebrauchen, und reichen dieselben jedenfalls zum Beweise<lb/>
des ersten Teils der Tafel XIII<hi rendition="#sup">0</hi> aus. Im übrigen möge die Formeln<lb/>
in dieser Weise zu begründen als eine Fundgrube von Übungsaufgaben<lb/>
dem Studirenden empfohlen sein.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Zweitens</hi> kann man aber auch sich begnügen, die Formeln<lb/>
unsrer Tafeln blos durch Rechnung zu verifiziren auf eine Weise, die<lb/>
wir im nächsten Paragraphen auseinandersetzen und die als das <hi rendition="#i">aller-<lb/>
bequemste</hi> Mittel erscheint, sich der Berechtigung zu ihrem Gebrauche<lb/>
zu versichern. Das Verfahren erscheint zwar auf den ersten Blick als<lb/>
weniger heuristisch, doch würden im Anschluss an dasselbe sich auch<lb/>
Wege zeigen lassen, die Formeln systematisch durch Rechnung zu<lb/>
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<p>Sieht man bei Tafel XIII<hi rendition="#sup">0</hi> von den Zerfällungen in die 5 Fächer ab,<lb/>
so bleiben doch noch gewisse Aussagenäquivalenzen daselbst stehen, und<lb/>
diese lösen das eingangs statuirte Problem, die „Konversion mittelst Kontra-<lb/>
position“ der bisherigen Beziehungen zu leisten, soweit eine solche zulässig<lb/>
erscheint. Das Wesentlichste von diesen Sätzen haben wir bereits im § 36<lb/>
unter Tafel V<hi rendition="#sup">0</hi> zusammengestellt. Sie geben zugleich im Kreise der bis-<lb/>
herigen Beziehungen die aus einer gegebenen Relation ziehbaren <hi rendition="#i">„unmittel-<lb/>
baren Folgerungen“</hi> an, soweit diese Folgerungen sich auch umkehren lassen.</p><lb/>
<p>Zufolge der Berücksichtigung auch von <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> neben <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> sind<lb/>
zu den alten Grund-, Hülfs- und Elementarbeziehungen im gegen-<lb/>
wärtigen Paragraphen noch fernere Beziehungen hinzugekommen. Alle<lb/>
zusammen wollen wir „<hi rendition="#i">urwüchsige Umfangsbeziehungen</hi>“ schlechtweg<lb/>
nennen (im Hinblick auf ihre Interpretirbarkeit für die Logik der<lb/>
Begriffsumfänge), und zwar „urwüchsige“ im Gegensatz zu den später<lb/>
noch in’s Auge zu fassenden „abgeleiteten“ Umfangsbeziehungen.<lb/>
Jene werden also entweder Grund- oder Elementarbeziehungen sein,<lb/>
sei es zwischen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>, sei es zwischen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, oder zwischen<lb/>
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<hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>, oder zwischen <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> — oder aber sie werden als die<lb/>
„Hülfsbeziehungen“ das Verschwinden resp. Nichtverschwinden von<lb/>
nur einem der Gebiete <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> selbst oder von seiner Negation aus-<lb/>
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<div n="3"><head>§ 39. <hi rendition="#b">Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt und ihre<lb/>
Darstellung durch vier primitive (De <hi rendition="#g">Morgan’</hi>s). Die möglichen<lb/>
Aussagen. über n Klassen und <hi rendition="#g">Peano’</hi>s Anzahl derselben.</hi></head><lb/>
<p><hi rendition="#i">Am bequemsten</hi> wird man sämtliche Umfangsbeziehungen aus-<lb/>
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XVI<hi rendition="#sup">0</hi>. <hi rendition="#i">a</hi> = {<hi rendition="#i">A B</hi> = 0}, <hi rendition="#i">c</hi> = {<hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0}, <hi rendition="#i">b</hi> = {<hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi> = 0}, <hi rendition="#i">l</hi> = {<hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0},<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die Umfangsbeziehungen durch die 4 <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>s ausgedrückt.</fw><lb/>
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</table> Zwischen den vier primitiven Aussagen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">l</hi> selbst besteht übrigens<lb/>
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<p>In der letzteren Fassung unsrer Relation als einer „Inkonsistenz“<lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
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beweisen:</p><lb/>
<p>Gälte nämlich zugleich:<lb/>
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<p>Mit Hülfe der Ausdrücke in den Tafeln XVII<hi rendition="#sup">0</hi>, die an Einfachheit<lb/>
nichts zu wünschen übrig lassen, können nun sämtliche Formeln der<lb/>
gegenwärtigen und der vorigen Vorlesung auf das leichteste verifizirt<lb/>
werden und laufen sie durchweg auf analytische Identitäten, wo nicht<lb/>
auf die Relation <hi rendition="#i">a c b l</hi> = 0, hinaus. Auch stehen mancherlei Kontrolen<lb/>
zur Verfügung, indem man z. B. die angegebene Negation einer Rela-<lb/>
tion aus dieser selbst ableiten oder auch direkt verifiziren kann. Etc.</p><lb/>
<p>Erinnert man sich der <hi rendition="#i">vier</hi> Urteilsformen der Wortsprache, so<lb/>
fällt der Umstand auf, dass es wieder <hi rendition="#i">vier</hi> Urteilsformen waren —<lb/>
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Diese aber sind mit jenen nur zur Hälfte identisch.</p><lb/>
<p>Von den Buchstaben <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">e</hi>, <hi rendition="#i">i</hi>, <hi rendition="#i">o</hi> haben wir von § 33 ab die beiden<lb/>
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<p>Jene acht Urteilsformen decken sich nicht ganz mit den sogenannten<lb/>
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<hi rendition="#g">De Morgan</hi>, wenn er von „alle <hi rendition="#i">A</hi>“ spricht, das Verschwinden dieser Sub-<lb/>
jektklasse auszuschliessen pflegt, sich also auf eine Mannigfaltigkeit bezieht,<lb/>
welche das Nichts nicht adjungirt hat, und indem er ferner „einige <hi rendition="#i">A</hi>“<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
als im Gegensatz zu „alle <hi rendition="#i">A</hi>“ stehend aufgefasst wissen will. Diese Unter-<lb/>
schiede sind keineswegs belanglos, vielmehr von tiefeinschneidender Wirkung.<lb/>
Formell aber fallen die einen und die andern Urteilsformen zusammen.<lb/>
Auch konnte <hi rendition="#g">De Morgan</hi> selbst nicht umhin, sie in unserm Sinne zu<lb/>
nehmen, da wo er von denselben unter dem von ihm so genannten „ony-<lb/>
matischen“ Gesichtspunkt spricht, unter welchem das Urteil sein soll die<lb/>
Behauptung oder Verneinung der Verbundenheit (Concomitanz) zweier<lb/>
Namen, sonach <hi rendition="#i">A B</hi> ≠ 0 bedeutete: die Namen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> haben eine (und<lb/>
<hi rendition="#i">A B</hi> = 0: sie haben keine) gemeinsame Anwendung. Vergl. Syllabus<hi rendition="#sup">3</hi>,<lb/>
p. 112 und <hi rendition="#sup">8</hi>.</p><lb/>
<p>Ich will die vier primitiven Aussagen XVI<hi rendition="#sup">0</hi> samt ihren Negationen<lb/>
kurz „die acht <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>schen Propositionen“ nennen. Aus ihnen<lb/>
müssen alle denkbaren Urteile über die Klassen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> sich zu-<lb/>
sammensetzen lassen.</p><lb/>
<p>Der Frage, <hi rendition="#i">wie vielerlei und welche von einander verschiedenen Aus-<lb/>
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<p>Zunächst ist es leicht sich über die möglichen Kombinationen zu<lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Zu dreien könnte man die 8 Propositionen auf <formula/> = 56<lb/>
Arten ohne Wiederholungen kombiniren. Davon fallen aber als in-<lb/>
kompatibel, unzulässig fort die 4 × 6 = 24, in welchen ein Faktor<lb/>
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<p>Von den 32 hienach noch zugelassenen Ternionen oder „Ternen“<lb/>
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gerade die Hälfte, nämlich die 16 folgenden:<lb/>
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</table> Nicht aufgenommen erscheinen die andern 16:<lb/>
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</table></p> <p>Von den <formula/> = 70 möglichen Quaternen könnte man<lb/>
wieder diejenigen in Abrechnung zu bringen suchen, welche (weil sie<lb/>
ein- oder zweimal ein Symbol samt seiner Negation zum Faktor haben)<lb/>
als inkonsistente verschwinden. Bequemer lässt sich aber die Zahl<lb/>
und Beschaffenheit der zulässigen Quaternen direkt ermitteln.</p><lb/>
<p>Man sieht, dass in einer solchen die vier Faktoren verschiedene<lb/>
Buchstaben sein müssen. Denn käme in einer Quaterne ein Buchstabe<lb/>
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holung ausgeschlossen ist, nur einmal mit und einmal ohne Negations-<lb/>
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<p>Von diesen war aber die eine: <hi rendition="#i">a c b l</hi>, welche = 0, als Inkonsistenz<lb/>
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übrigen Quaternen noch die folgenden viere auf (schon angeführte)<lb/>
Ternen zurück:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
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</table></p> <p><hi rendition="#i">Mehr</hi> wie vier Faktoren, entnommen aus der Gruppe der acht<lb/>
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wie vorhin ausgeführt, das Produkt dann verschwinden müsste.</p><lb/>
<p>Wir haben also die möglichen <hi rendition="#i">Produkte</hi> von <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>schen<lb/>
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werden. Sind diese nun aber auch wirklich zulässig, und sind sie<lb/>
sämtlich unter sich und von den früheren verschieden?</p><lb/>
<p>Auf diese Fragen erlangen wir Antwort, indem wir zuvörderst<lb/>
die hinzugekommenen Produkte sämtlich in die 5 Elementarfächer<lb/>
zerfällen. Zu dem Ende braucht man nur die Tafel zu benutzen,<lb/>
welche gewisse Teile aus den Tafeln III<hi rendition="#sup">0</hi> und XIII<hi rendition="#sup">0</hi> hervorhebend<lb/>
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<p>Mit der sich hiernach ergebenden Zerfällung der neu hinzuge-<lb/>
kommenen oder „zusammengesetzten“ Aussagen wollen wir aber so-<lb/>
gleich auch diejenige der bisherigen „ursprünglichen“ Aussagen (soweit<lb/>
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<p>Wir haben dann die Tafeln:<lb/>
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<p>Bei der Aufstellung haben wir auch gelegentlich Gebrauch gemacht<lb/>
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<p>zusammen 75 Urteile, welche lediglich <hi rendition="#i">gleichzeitige</hi> (koexistirende, simul-<lb/>
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ein Elementarfall behaftet erscheint, zum Bewusstsein bringen und<lb/>
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<p>Mit Hülfe dieser Tafeln XVIII<hi rendition="#sup">0</hi> bis XXI<hi rendition="#sup">0</hi> wird nun jede noch so<lb/>
komplizirte Aussage sich auf’s leichteste nach den 5 Elementarfällen<lb/>
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<p>Jeder Komplex von auf dieselben Gebiete <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> bezüglichen Aus-<lb/>
sagen muss auf eine Alternative zwischen diesen 75 hinauslaufen,<lb/>
rechnerisch gesprochen durch eine <hi rendition="#i">Summe</hi> von solchen darstellbar sein.</p><lb/>
<p>Da in Bezug auf jede einzelne dieser 75 Aussagen die zwei Möglich-<lb/>
keiten vorliegen, dass sie (als Summand) zugelassen oder ausgeschlossen<lb/>
wird, so ergibt dies <hi rendition="#i">anscheinend</hi> die ungeheure Zahl von 2<hi rendition="#sup">75</hi> — 1 über <hi rendition="#i">A</hi><lb/>
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jede Aussage ausgeschlossen wird, unzulässig ist, indem die Summe aller<lb/>
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<p>Bei genauerem Zusehen jedoch stellt sich diese Zahl, wenn auch als<lb/>
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<p>Indem wir hiemit dem Problem näher treten: <hi rendition="#i">die Anzahl der Ur-<lb/>
teile zu ermitteln, welche die Logik abzugeben vermag über zwei</hi> oder auch<lb/>
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gesagt werden, als ganz nebensächlich gelten.</p><lb/>
<p>Die Formel, welche für <hi rendition="#i">n</hi> Begriffe obiges Problem löst, ist von<lb/>
Herrn <hi rendition="#g">Peano</hi> in dem Vorwort zu seiner Schrift <hi rendition="#sup">1</hi> ohne eine Andeutung<lb/>
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Ergebnisse — vergl. Bd. 1, S. 713) auf zwei Wegen gelöst die hier<lb/>
ebenfalls dargelegt werden sollen, und war ich zu einem mit dem<lb/>
Herrn <hi rendition="#g">Peano’</hi>s sich übereinstimmend erweisenden Ergebniss gelangt.</p><lb/>
<p>Der <hi rendition="#i">erste</hi> Weg ist zwar länger und etwas mühsamer; er studirt<lb/>
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<p>Der erste Weg hat aber den Vorzug, die — soweit sich zur Zeit<lb/>
übersehen lässt — <hi rendition="#i">beste</hi> Übersicht über die fraglichen Aussagen selbst<lb/>
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<p>Schon darum möchte ich zuerst gedachten längeren Weg zu Ende<lb/>
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noch einmal ganz selbständig gegen Ende des Paragraphen aufnehmen,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
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<p>Die Methode des Fortschreitens wird auf beiden Wegen wesent-<lb/>
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<p>Zudem sind wir aber auch mit Begehung des längeren Weges<lb/>
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Strich (wegen XIII<hi rendition="#sup">0</hi>) angeführten beiden Beziehungen:<lb/>
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<p>Zu jeder der drei über <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> angeführten Möglich-<lb/>
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Adjunktion der 0, Nullaussage vervollständigten<lb/>
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Operation der Multiplikation bilden die Aussagen einer jeden von den<lb/>
gedachten 5 Kolonnen mathematisch gesprochen eine „Gruppe“.<note place="foot" n="*)">Man überzeugt sich davon unschwer, auch bei der (nur bis zum Strich<lb/>
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<p>Bei einer jeden von den vier letzten Kolonnen thun sie dies auch<lb/>
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4 Aussagen einer jeden der vier Kolonnen von <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> nicht weiter zu<lb/>
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<hi rendition="#c">4 × 4 × 4 × 4 = 4<hi rendition="#sup">4</hi> = 2<hi rendition="#sup">8</hi> = 256</hi><lb/>
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<p>Nennen wir <hi rendition="#fr">x</hi> die (noch unbekannte) Anzahl der Arten, auf<lb/>
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eigentümlich kombinirt werden können, so wird<lb/>
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die gesuchte <hi rendition="#i">Anzahl der Urteile</hi> sein, welche die Logik des Umfanges<lb/>
über zwei bestimmte Begriffe <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> abzugeben vermag.</p><lb/>
<p>[Um 1 ist wieder das arithmetische Produkt <hi rendition="#fr">x</hi> × 256 zu ver-<lb/>
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<p>Es würde <hi rendition="#fr">x</hi> = 2<hi rendition="#sup">26</hi> sein müssen, wären die additiven Kombinationen<lb/>
der 26 unter <hi rendition="#i">a</hi> registrirten Fälle alle unter sich verschieden. Das sind<lb/>
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auf ihre Verschiedenheit von den ihr vorhergegangenen zu untersuchen —<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
wären nach jenen vier in ihrer Gesamtheit vorkommenden Symbolen. Wegen<lb/>
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aber eine übergrosse Geduldsprobe werden.</p><lb/>
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verwirklichend, auf welchen bei einem analogen Problem schon <hi rendition="#g">Jevons</hi><hi rendition="#sup">9</hi><lb/>
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Bei diesen Summen sind wir nun sicher, dass sie „reduzirte“, dass<lb/>
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<p>Die <hi rendition="#i">sieben</hi> Glieder sind auch die Konstituenten der Entwickelung<lb/>
jedes erdenklichen Unterfalles von <hi rendition="#i">a</hi> nach ebendiesen Symbolen <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">k</hi>, <hi rendition="#i">l</hi>.</p><lb/>
<p>Die Logik des Umfanges mit ihren mannigfachen Beziehungs-<lb/>
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eine blos fakultative.) Also: <hi rendition="#i">jeder angebbare Unterfall von a ist eine<lb/>
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vier Buchstaben — die drei letztern negirt oder unnegirt genommen<lb/>
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<p>Entwickelt nach allen vier Argumenten wird er <hi rendition="#i">a</hi> in jedem Gliede<lb/>
zum ausdrücklichen oder stillschweigenden Faktor haben — letzteres inso-<lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p><hi rendition="#i">Denken wir uns solchen Unterfall entwickelt, so kann mit irgend<lb/>
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eben noch andrer Buchstaben) <hi rendition="#i">nur entweder</hi> 0 <hi rendition="#i">oder</hi> 1 <hi rendition="#i">verknüpft sein</hi>,<lb/>
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<p>Hieraus erhellt, dass <hi rendition="#i">jeder</hi> Unterfall von <hi rendition="#i">a</hi> auf eine Alternative<lb/>
zwischen jenen 7 Konstituenten hinauslaufen, als Summe irgend einer<lb/>
Gruppe von aus den sieben herausgegriffenen Gliedern darstellbar<lb/>
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<p>Die Anzahl <hi rendition="#fr">x</hi> der erdenklichen Unterfälle von <hi rendition="#i">a</hi> fällt darum zu-<lb/>
sammen mit der Anzahl der möglichen additiven Kombinationen unsrer<lb/>
sieben Konstituenten.</p><lb/>
<p>Diese Kombinationen lassen sich aber leicht vollständig auf-<lb/>
stellen und noch leichter lässt ihre Anzahl sich a priori ermitteln.</p><lb/>
<p>Da in Bezug auf jeden einzelnen der 7 Konstituenten (ganz un-<lb/>
abhängig von den übrigen) die zwei Möglichkeiten vorliegen, dass er<lb/>
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<p>Von dieser Anzahl der möglichen Unterfälle von <hi rendition="#i">a</hi> ist keine Einheit<lb/>
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Elementarfall <hi rendition="#i">a</hi> überhaupt nicht vorzuliegen braucht, sofern nämlich nur<lb/>
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<p>Hiermit ist nun auch endlich<lb/>
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<hi rendition="#c">2<hi rendition="#sup">15</hi> — 1 = 32767</hi><lb/>
sage: <hi rendition="#i">dreissigzweitausend siebenhundert sechzigsieben</hi> gefunden als <hi rendition="#i">die<lb/>
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<p>Es versteht sich übrigens, dass die hier eingeflochtenen auf <hi rendition="#i">Zahlen</hi><lb/>
bezüglichen Betrachtungen (zu denen immer schon die Kenntniss des Ein-<lb/>
maleinses ausreicht) lediglich als ein <hi rendition="#i">Beiwerk</hi> unsrer Theorie anzusehen<lb/>
sind, welche grundsätzlich die Zahlen ganz der Arithmetik überlässt und<lb/>
wesentliche Schlüsse wol nirgends auf numerische Betrachtungen gründet.</p><lb/>
<p>Es verlohnt wol, die 128 sub <hi rendition="#i">a</hi> unterscheidbaren Fälle einmal<lb/>
wirklich zusammenzustellen, zugleich damit für einen jeden derselben<lb/>
auch die Angabe seines einfachsten Formelausdrucks zu verbinden.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
<p>Für erstern Zweck empfiehlt es sich, die sieben Terme der obigen<lb/>
Entwickelung von <hi rendition="#i">a</hi> der Reihe nach mit den Ziffern 2 bis 8 kürze-<lb/>
halber zu benennen und die additiven Kombinationen dieser sieben<lb/>
Ziffern sodann streng systematisch (nach den Regeln der Kombina-<lb/>
torik) aufzustellen, wodurch einer jeden als Unterfall von <hi rendition="#i">a</hi> möglichen<lb/>
Alternative eine bestimmte Ordnungszahl (von 1 bis 128) zugeteilt wird.</p><lb/>
<p>Von diesen Unterfällen stellen wir aber jeweils diejenigen neben-<lb/>
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nach oben gelesen sich an diejenigen der ersten Kolonne anschliessen.</p><lb/>
<p>Als einfachsten Ausdruck eines Unterfalles geben wir erstens den-<lb/>
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<hi rendition="#i">mit minimalem Buchstabenaufwande</hi> in Aggregatform sich für ihn her-<lb/>
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<p>Die zweite Form des Ausdrucks soll diejenige sein, welche für<lb/>
<hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B am einfachsten zu deuten</hi> wäre. In dieser Hinsicht fällt in Be-<lb/>
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Information z. B. dass (<hi rendition="#i">A</hi> ≠ 0) (<hi rendition="#i">A</hi> ≠ 1) (<hi rendition="#i">B</hi> = 1) sei, erscheint <hi rendition="#i">fass-<lb/>
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vermögen. Der Interpretation zuliebe werden daher die <hi rendition="#g">Symbole</hi> <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">l</hi><lb/>
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Tafel XVII<hi rendition="#sup">0</hi> für sämtliche Symbole, stets leicht als Identitäten in <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">l</hi><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Verbindet man auf jegliche Weise irgend eine von diesen 128 An-<lb/>
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<hi rendition="#c">XXIII<hi rendition="#sup">0</hi>. <hi rendition="#g">Tafel der</hi> 256 <hi rendition="#g">Unterfälle von</hi> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>:</hi><lb/>
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</table> so erhält man die sämtlichen 32 768 Aussagen, welche die Logik<lb/>
über <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> abzugeben vermag, von welchen aber eine (die erste)<lb/>
als absurde oder Nullaussage in Abzug zu bringen sein wird.</p><lb/>
<p>Hienach ist eine übersichtliche Klassifikation, nebst Chiffrirung, ge-<lb/>
wissermassen Etikettirung der 32 768 Aussagen in folgender Weise mög-<lb/>
lich. Man wird eine jede derselben vermittelst einer „fünfziffrigen“ Zahl<lb/>
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welchen nämlich die erste „Ziffer“ <hi rendition="#i">t</hi> nur eine Quasi-Ziffer, nämlich irgend<lb/>
eine von den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, … 127, 128 ist und auf die Tafel XXII<hi rendition="#sup">0</hi><lb/>
verweist, wogegen die folgenden <hi rendition="#i">p</hi>, <hi rendition="#i">q</hi>, <hi rendition="#i">r</hi>, <hi rendition="#i">s</hi> wirkliche Ziffern sind, denen<lb/>
aber immer nur einer der Werte 1, 2, 3, 4 zukommen kann, indem sie<lb/>
auf die entsprechende Rubrik der Tafel XXIII<hi rendition="#sup">0</hi> hinweisen. Die sämtlichen<lb/>
Aussagen erhalten hierdurch auch eine streng bestimmte Rangordnung oder<lb/>
Reihenfolge, und ist insbesondre:<lb/>
<hi rendition="#c">1, 1, 1, 1, 1</hi><lb/>
die Chiffre der ersten von ihnen, das ist der absurden oder Nullaussage, und<lb/>
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die Chiffre der letzten, nämlich der identischen oder nichtssagenden Aussage.</p><lb/>
<p>Man bemerkt, dass unter den Fällen der Tafel XXII<hi rendition="#sup">0</hi> sich<lb/>
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und <hi rendition="#i">n</hi>) <hi rendition="#i">symmetrisch</hi> sind, und zwar die folgenden:<lb/>
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<p>Die übrigen sind, für sich betrachtet, unsymmetrisch, gruppiren<lb/>
sich jedoch zu 2 × 24 = 48 symmetrischen Paaren von Aussagen.<lb/>
Diese Paare sind folgende:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
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<p>Für irgend eine in <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>schen Urteilen gegebene Aussage<lb/>
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<hi rendition="#g">Gergonne’</hi>schen 5 Elementarfällen allemal erhalten können, indem<lb/>
man sie bezüglich multiplizirt mit:<lb/>
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— ev. unter Benutzung eines <hi rendition="#g">McColl’</hi>schen Satzes Bd. 1, S. 589, wo-<lb/>
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<p>Um nun mit Hülfe der Tafel XXII<hi rendition="#sup">0</hi> für irgend eine unter <hi rendition="#i">a</hi> fal-<lb/>
lende noch so komplizirte Aussage den einfachsten oder typischen<lb/>
Ausdruck rasch zu finden und so derselben ihre Stellung im logischen<lb/>
Systeme anzuweisen — man könnte in Analogie mit der Naturgeschichte<lb/>
sagen: um sie „zu bestimmen“ — wird man dieselbe (eventuell unter<lb/>
Benutzung der Relationen:<lb/>
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sowie derer aus Tafel XIX<hi rendition="#sup">0</hi>: <hi rendition="#i">a c</hi> = <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi> = <hi rendition="#i">k</hi>, <hi rendition="#i">a c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">a</hi>, nach<lb/>
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blos nach den Symbolen <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">k</hi>, <hi rendition="#i">l</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> zu „entwickeln“ brauchen. Man<lb/>
sucht hierauf die Nummern ihrer so sich ergebenden Konstituenten im<lb/>
ersten Teil der Tafel XXII<hi rendition="#sup">0</hi> auf; das Aggregat derselben muss eine<lb/>
von den weiterhin darin aufgeführten additiven Kombinationen der<lb/>
Ziffern 2 bis 8 sein, für welche man die Nummer nebst dem typischen<lb/>
Ausdruck alsdann leicht in der Tafel entdecken wird.</p><lb/>
<p>Der Prozess kann sehr erleichtert werden, wenn man sich ein für alle<lb/>
mal die beiden folgenden Hülfstafeln anlegt, in welchen wir die Produkte<lb/>
der 24 monomischen Unterfälle von <hi rendition="#i">a</hi> vergl. S. 145) in die Symbole <hi rendition="#i">m</hi>, <hi rendition="#i">n</hi>,<lb/>
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gegeben werden.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p><hi rendition="#c">XXIV<hi rendition="#sup">0</hi>. Hülfstafel.</hi></p><lb/>
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<p>Um auch die Produkte der 24 unter <hi rendition="#i">a</hi> fallenden (aus <hi rendition="#i">h, k</hi>, <hi rendition="#i">l</hi> und<lb/>
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<p>Weil <hi rendition="#i">h m</hi> = 0 und <hi rendition="#i">k n</hi> = 0 gilt, verschwinden aber einzelne von<lb/>
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<p>Diese 9 Aussagen können jeweils selbständig, es können beliebige<lb/>
Alternativen zwischen denselben statuirt werden. Dies gibt<lb/>
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<hi rendition="#i">zerfallende Aussagen über A und B zulässig</hi>.</p><lb/>
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<p>Noch eine andere wichtige Frage über die 32 767 Aussagen be-<lb/>
trifft ihre Scheidung in universale und (mit-)partikulare. Diese soll<lb/>
jetzt (im Kontext) zur Entscheidung gebracht werden.</p><lb/>
<p>Beschränken wir die Logik wiederum auf ihre <hi rendition="#i">„erste Etappe“,</hi> wo sie<lb/>
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die absurde Aussage durch die hier einzig denkbare quaternäre Aussage<lb/>
<hi rendition="#i">a c b l</hi> dargestellt würde, welche jedoch nie gelten kann, unzulässig, aussagen-<lb/>
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<p>Um jedoch völlig zu übersehen, wie weit der Bereich abgebbarer Aus-<lb/>
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<p>Zu dem Ende haben wir eine ähnliche Untersuchung anzustellen, wie<lb/>
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5 Elementarfächer zerfallen, wie folgt:<lb/>
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wobei in Erinnerung zu nehmen, dass <hi rendition="#i">h</hi> und <hi rendition="#i">k</hi> ganz unter <hi rendition="#i">a</hi> fallen.</p><lb/>
<p>Sammeln wir die verschiedenen Vorkommnisse, welche sich vorstehend<lb/>
unter den fünf Elementarfächern einregistrirt finden, so erhalten wir das<lb/>
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(gleichwie auch noch weiter folgende) auf die<lb/>
Tafel XXII<hi rendition="#sup">0</hi> verweisen sollen.</p><lb/>
<p>Die 8 Elemente der ersten Kolonne können<lb/>
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nicht weiter vermehrt werden; sie bilden bereits<lb/>
in Hinsicht der Multiplikation eine Gruppe.</p><lb/>
<p>Ein jedes von diesen Elementen findet<lb/>
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<p>An additiven Kombinationen oder denkbaren Alternativen zwischen<lb/>
diesen 8 Aussagen sind, ausser ihnen selbst, nur noch die 11 folgenden<lb/>
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<p>(die wir als Fortsetzung der ersten Kolonne obigen Tableaus ansetzen) —<lb/>
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<p>Dass das System dieser 19 Aussagen nun auch hinsichtlich der Addition<lb/>
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also nicht weiter vermehrt werden kann, wäre unschwer durchzuprobiren<lb/>
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hang 6, Bd. 1, S. 653 sqq. auseinandergesetzt worden. Als Kontrole (oder<lb/>
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(und vollzählig) diejenigen aus der Tafel XXII<hi rendition="#sup">0</hi> sind, in welchen kein ein-<lb/>
ziges Symbol mit Negationsstrich vorkommt.</p><lb/>
<p>Ebenso konnte auch unser Tableau schon aus demjenigen der S. 145<lb/>
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<p>Diese ist aber nur eine obere Grenze, welche von unsrer gesuchten<lb/>
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<p>Ausser <hi rendition="#i">m n δ</hi>, welches in Gestalt von <hi rendition="#i">c b l</hi> selbständig zugelassen oder<lb/>
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<p>Abgesehen also von der selbständigen Aussage <hi rendition="#i">m n δ</hi> können die unter<lb/>
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<p>Es wird nichts übrig bleiben, als: die additiven Kombinationen dieser<lb/>
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Bd. 1, Anhang 6, S. 655 sq. bei der Summenreihe auseinandergesetzt worden.<lb/>
Der siebente Fall bleibt beim Kombiniren ausser Betracht, weil er in allen<lb/>
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<p>Die ersten Glieder rechterhand sind die in das Fach <hi rendition="#i">a</hi> fallenden Alter-<lb/>
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<p>Wären letztere von jenen unabhängig, so wäre die gesuchte Zahl der<lb/>
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<p>Vier von den Typen sind als sich selber dual entsprechende zugleich<lb/>
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<p>Im ganzen sind es (27 resp.) 26 Typen, welche 16 Haupttypen kon-<lb/>
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</table> <p>Dass die 165 Ausdrücke der vorstehenden Tafel „in Hinsicht der<lb/>
Multiplikation sowol als der Addition“ eine <hi rendition="#i">Gruppe</hi> bilden, nämlich dass<lb/>
mittelst der beiden direkten Operationen des identischen Kalkuls durch Ver-<lb/>
knüpfung irgendwelcher von ihnen kein Ausdruck gebildet werden kann, der<lb/>
nicht einem unter ihnen identisch gleich sein müsste, ist oben zwar keines-<lb/>
wegs mühelos erkannt worden.</p><lb/>
<p>Ohne Vergleich mühevoller dürfte es aber sein, diesen Nachweis der<lb/>
erwähnten Gruppennatur unseres Systems von Ausdrücken direkt zu leisten,<lb/>
indem man die Ausdrücke auf jede erdenkliche Weise zu zweien multi-<lb/>
plizirte, desgleichen addirte. Dies würde 13 530 Operationen einer jeden<lb/>
Sorte erfordern, von denen allerdings nach Konstatirung des im System<lb/>
vorliegenden Dualismus die eine Sorte unterbleiben könnte, und die Menge<lb/>
erforderlicher Operationen der andern Sorte durch Rücksichtnahme auf die<lb/>
Symmetrie sich noch weiter reduziren lassen würde. Nicht ganz so hoff-<lb/>
nungslos dürfte allerdings ein systematisches Interaddiren sein, angewendet<lb/>
auf die 14 monomischen Produkte, S. 159, und, mit Rücksicht auf deren<lb/>
Symmetrie in drei Abteilungen, so geführt, dass jeder neu gewonnene Typus<lb/>
sogleich permutando mit allen seinen Repräsentanten angesetzt und nur<lb/>
(passiv) mit jenen zu dem Prozess des Interaddirens herangezogen würde.</p><lb/>
<p>Dass die Aussagen sämtlich verschieden sind wäre unter anderm leicht<lb/>
durch ihre Zerfällung in die 5 Elementarfächer zu erkennen. Diese liest<lb/>
sich jedesmal leicht aus der Tafel S. 162 heraus, indem man den <hi rendition="#i">a</hi> als<lb/>
Faktor enthaltenden Term des Ausdrucks in der zweiten Kolumne derselben<lb/>
aufsucht, den andern Term in der ersten Kolumne; dann hat man nur noch<lb/>
des letztern erstes Glied rechterhand additiv zu vermehren um das in der<lb/>
Zeile jenes erstern Terms darüber oder darunter stehende. —</p><lb/>
<p>„In Hinsicht der Negation“ bilden die 165 Ausdrücke keine Gruppe,<lb/>
indem ihre Negationen sich sämtlich nicht in der Tafel vertreten finden.<lb/>
Sie bilden also auch <hi rendition="#i">nicht</hi> eine „Gruppe“ <hi rendition="#i">schlechtweg,</hi> in dem Sinne, wie<lb/>
dieser Begriff eingangs des Anhangs 6 in Bd. 1 erklärt worden — das<lb/>
wäre: eine Gruppe „<hi rendition="#i">in Hinsicht aller drei Spezies</hi> des identischen Kalkuls“.</p><lb/>
<p>Schliesslich werde die Frage beantwortet, wie viele von den gefundenen<lb/>
166 rein universalen Aussagen „zerfallen“, oder was auf dasselbe hinaus-<lb/>
kommt, wie viele (und welche) von den weiter oben gefundenen 512 zer-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.</fw><lb/>
fallenden Aussagen rein universaler Natur sind, nämlich behufs ihrer<lb/>
Statuirung mit dem Subsumtions- oder Gleichheitszeichen auskommen, ohne<lb/>
die Anwendung eines Ungleichheits- oder auch negirten Subsumtionszeichens<lb/>
zu erfordern, durch welche letztere ja sich uns stets partikulare Urteile<lb/>
charakterisirten.</p><lb/>
<p>Die fraglichen <hi rendition="#i">„universalen zerfallenden“</hi> Aussagen werden am besten<lb/>
wol wieder a priori aufgesucht.</p><lb/>
<p>Sie sind aus den Symbolen:<lb/>
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Negation — aufzubauen, und kommt es also darauf an, die Symbole dieser<lb/>
Reihe zu einer „Gruppe“ in Hinsicht blos jener beiden direkten Spezies zu<lb/>
ergänzen.</p><lb/>
<p>Dies mag kunstlos wie folgt geschehen.</p><lb/>
<p>Wegen <hi rendition="#i">h m</hi> = 0 und <hi rendition="#i">k n</hi> = 0 treten als multiplikative Kombinationen<lb/>
blos die vier binären (oder Binionen) hinzu:<lb/>
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während Ternionen und höhere multiplikative Kombinationen nicht vor-<lb/>
kommen. In Hinsicht der Multiplikation allein bilden also die bisherigen<lb/>
zehn Symbole bereits eine Gruppe, und sind zu einer solchen auch in Hin-<lb/>
sicht der Addition nur mehr durch „Interaddiren“ noch zu ergänzen, wobei<lb/>
die Elemente 0 und 1 beiseite gelassen werden mögen.</p><lb/>
<p>Nun sieht man unschwer, dass von den aus den 8 übrigen Elementen<lb/>
durch Addition zu bildenden<lb/>
<formula/> = 28 Amben, <formula/> = 56 Ternen, <formula/> = 70 Quaternen<lb/>
bezüglich 8, 40 und 68 auf Grund der Tautologie und Absorptionsgesetze<lb/>
in Wegfall kommen, nämlich nichts Neues liefern, m. a. W. auf frühere<lb/>
additive Kombinationen hinauslaufen müssen, mithin in der That nur hinzu-<lb/>
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während höhere additive Kombinationen zu fünf oder mehrern zwischen<lb/>
obigen acht monomischen Aussagen nicht in Betracht kommen können.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">Achtzehnte Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Bei Einrechnung der identischen und Ausschluss der absurden Aussage<lb/>
gibt also die Zahl:<lb/>
<hi rendition="#c">1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47</hi><lb/>
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<p>Nachdem freilich Tafel XXVII<hi rendition="#sup">0</hi> gewonnen ist, lässt sich die Frage am<lb/>
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<p>Nach diesem Exkurse wenden wir uns nunmehr dem allgemeineren<lb/>
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<p><hi rendition="#g">Problem</hi>. Gesucht die <hi rendition="#i">Anzahl der</hi> inhaltlich verschiedenen <hi rendition="#i">Urteile</hi><lb/>
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<p>Die vier primitiven Aussagen <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">m</hi>, <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">m</hi><hi rendition="#sub">1</hi> würden in Worten sich<lb/>
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<p>Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">m</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
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<p>Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten<lb/>
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lungsschema’s also verschwinden muss.</p><lb/>
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Absurdität 0 = i hinauslaufen würde. Die gesuchte Anzahl muss<lb/>
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<p>Dies war ein zweiter und vielleicht der direkteste Weg, zu <hi rendition="#g">Peano’</hi>s<lb/>
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<p>Für <hi rendition="#i">n</hi> = 2 erhalten wir nach <hi rendition="#g">Peano’</hi>s Formel:<lb/>
<hi rendition="#c"><formula/></hi> als die Anzahl der über <hi rendition="#i">zwei</hi> Begriffe <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> abgebbaren Aussagen —<lb/>
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<p>Um dieses Ergebniss nunmehr auch auf dem kürzesten Wege ab-<lb/>
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<p>Als Ausdrucksmittel, über welche wir Verfügung haben, setze ich<lb/>
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Prämissen und Konklusionen ihrer (einfachen kategorischen) Syllogis-<lb/>
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<p>Wir verfügen über die Kopula „sind“ (oder „ist“), über die Binde-<lb/>
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<p>Bestimmte Zahlwörter hingegen sind natürlich auszuschliessen, ansonst<lb/>
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<p>Es sind mithin nur die obigen <hi rendition="#i">sechs</hi> Worte, auf deren Gebrauch<lb/>
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<p>Nach Bd. 1, S. 353 sq. könnte sogar von den beiden Konjunktionen<lb/>
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<p>Sicherlich, wenn ein Unbefangener veranlasst würde, eine Vermutung<lb/>
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<p>Gegenüber den Gepflogenheiten der Wortsprache gestatten wir<lb/>
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„Quantifikation des Prädikates“ dagegen mögen wir entraten).</p><lb/>
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„alle“ und „einige“ verfügen wir auch über das numerale Adjektiv „keine“.</p><lb/>
<p>Ferner mag <hi rendition="#i">c</hi> = (Jedes <hi rendition="#i">A</hi> ist <hi rendition="#i">B</hi>) lauten, etc.</p><lb/>
<p>Auch stehen uns schon bejahende sowol als verneinende Existenzial-<lb/>
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<p>Wir brauchen nun blos zu untersuchen, wie vielerlei Aussagen<lb/>
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entbehrt werden könnte) aus den acht <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>schen Urteilen<lb/>
aufbauen lassen, so werden wir eine Zahl erhalten, die jedenfalls nicht<lb/>
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Aussagen über <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>. Dieselbe kann aber auch nicht kleiner sein,<lb/>
als diese gesuchte Anzahl, sofern sich zeigen lässt, dass jede erdenk-<lb/>
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des Aussagenkalkuls aus den vier primitiven <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>s muss zu-<lb/>
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<p>In der That ist ein jedes kategorische Urteil über <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> ent-<lb/>
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unserm Wort-Kapitale zunächst nicht bilden; aus solchen erst, als<lb/>
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„und“ sich zusammengesetzte Aussagen ableiten lassen, die als dis-<lb/>
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sagensysteme sich hinstellen lassen.</p><lb/>
<p>Die Negation <hi rendition="#i">an</hi> Aussagen kann ausser Betracht bleiben, indem sie<lb/>
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<p>Solche elementare Aussage nun, geschrieben als Gleichung oder<lb/>
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„<hi rendition="#i">und</hi>, <hi rendition="#i">oder</hi>, <hi rendition="#i">nicht</hi>“ sich aufbaut<note place="foot" n="*)">Wird „einige <hi rendition="#i">A</hi>“ mit <hi rendition="#i">A</hi>', „einige nicht-<hi rendition="#i">A</hi>“ mit <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>', und analog in <hi rendition="#i">B</hi>, etc.<lb/>
dargestellt, so scheint bei Zulassung von Ausdrücken, wie (<hi rendition="#i">A</hi>' <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>' <hi rendition="#i">B</hi>)', sich aller-<lb/>
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<p>Jenes Polynom <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>) kann nach den Argumenten „entwickelt“<lb/>
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wiederum eine Funktion auch von diesen Urteilen selbst sein, d. h.<lb/>
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<p>Diese Funktion <hi rendition="#i">F</hi> können wir uns ihrerseits wieder nach ihren<lb/>
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schwindet aber der erste. Wir haben die Inkonsistenz:<lb/>
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<p>Und somit haben wir:<lb/>
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Wir haben also an möglichen Bildungsweisen des <hi rendition="#i">F</hi> diese<lb/>
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<p>Unter Festhalten der Reihenfolge obiger 15 Konstituenten könnte man<lb/>
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die Koeffizienten 0 und 1, mit denen behaftet sie in der Entwickelung<lb/>
unsres Aussagenpolynoms <hi rendition="#i">F</hi> auftreten, jeweils zu einer fünfzehnstelligen<lb/>
dyadischen Systemzahl zusammenstellen, und würden so alle 2<hi rendition="#sup">15</hi> = 32 768<lb/>
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<p>Zum Schluss dieser Betrachtung noch ein paar Bemerkungen.</p><lb/>
<p>Von Interesse ist noch die Frage nach Zahl und Art der <hi rendition="#i">Typen,</hi> in<lb/>
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<p>Vom Typus einer solchen kann man in zweierlei Hinsicht reden:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 39. <hi rendition="#g">Peano’</hi>s Anzahl der Aussagen über <hi rendition="#i">n</hi> Klassen.</fw><lb/>
<p>Wie viele Typen gibt es nun aber bei <hi rendition="#i">zwei,</hi> und mehr (bis zu 14)<lb/>
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Ungleichung kann nach ihren <hi rendition="#i">n</hi> Argumenten <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi>, … „entwickelt“<lb/>
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Faktoraussagen stipuliren würde: das gleichzeitige Verschwinden sämt-<lb/>
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A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C mehr als fünfzigsieben tausend Trillionen Quadrillionen</hi> (inhaltlich<lb/>
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<p>Von zweien sind die sämtlichen Sätze <hi rendition="#i">α</hi>) leicht auf beliebig viele<lb/>
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<p>Sind die Gleichungen resp. Ungleichungen etwa Voraussetzungen<lb/>
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<p>Diese Voraussetzung wird man kaum als eine wirkliche Beschränkung<lb/>
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Beschreibung, erscheint allerdings als ein sehr gewagtes Postulat. Sie ist<lb/>
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<p>In letzter Instanz sollen nun die Aussagen unsres Prämissen-<lb/>
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<p>Diese hier zu machende Voraussetzung enthält formell eine wirk-<lb/>
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liche und sehr bedeutende <hi rendition="#i">Einschränkung</hi> der Klasse von Problemen,<lb/>
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<p>Wie bedeutend diese Einschränkung ist wird in § 50 völlig deutlich<lb/>
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dachten Salzes insbesondere), welche <hi rendition="#i">nicht</hi> aufgefasst werden kann als eine<lb/>
<hi rendition="#i">Relation</hi> im Sinne der Paragraphen 32 bis 36 <hi rendition="#i">zwischen den Umfängen</hi> der<lb/>
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<p>Dergleichen Beziehungen, wie sie namentlich durch den Genitivus, so-<lb/>
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Ressort des bisherigen identischen Kalkuls, und werden wir uns hier<lb/>
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„logic of absolute terms“ nach <hi rendition="#g">De Morgan</hi> und <hi rendition="#g">Peirce’</hi>s Ausdrucks-<lb/>
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(wie in § 1 und 2 schon erläutert) logisch immer auf die Konstatirung<lb/>
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<p>Einzelaussagen <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi>, … aus welchen unser „Prämissensystem“<lb/>
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— bei dem von uns hier festgehaltenen Sinne des letzteren, wo in<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 40. Aufbau der Gesamtaussage des Prämissensystems.</fw><lb/>
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§ 8, <hi rendition="#i">ϑ</hi>) ausgelegt wird — sonach genauer als verneinte „Alternative“.]</p><lb/>
<p>Von den Einzelaussagen unsres „Prämissensystems“ können endlich<lb/>
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<hi rendition="#c">„Wenn …, so …“</hi><lb/>
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<p>Sooft solches bei zwei Aussagen <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> zu erblicken ist, so kann<lb/>
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Formeln nur <hi rendition="#i">A</hi> durch <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> zu ersetzen.</hi><lb/>
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<p>Soll über letzteren Fall, in welchem <hi rendition="#i">A</hi> die Nullaussage vorstellt, <hi rendition="#i">nicht</hi><lb/>
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lichen Leben vorkommen mag — so schadet es wenigstens nicht, diese<lb/>
Nullaussage in den Bedingungssatz <hi rendition="#i">A</hi> noch mit einzubeziehen als einen<lb/>
wesentlich irrelevanten, nämlich „nichtssagenden“ Fall, in welchem wir nur<lb/>
eben durch die Konsequenz gezwungen sind, das hypothetische Urteil <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi><lb/>
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ja in der That zuweilen). Hier ist dann <hi rendition="#i">A</hi> ≠ 0, beziehungsweise <hi rendition="#i">A</hi> = i<lb/>
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<p>Dem hypothetischen Urteile äquivalent zu erachten ist die (gram-<lb/>
matikalisch lockrere) Verbindung von Teilsätzen mittelst „Sei (Es möge<lb/>
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<p>Diese Urteilsform: „Gesetzt, es sei …, dann soll gefunden werden…“<lb/>
und dergleichen ist gerade in der Wissenschaft, bei Angabe der Daten<lb/>
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<p>Urteile, die durch die Konjunktion „weil“, „denn“, etc. oder durch<lb/>
„folglich“ („daher“, „also“, etc.) miteinander verknüpft wären würden eine<lb/>
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— mehr oder weniger vollständig angeführten — Prämissen), und sind wir<lb/>
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obliegen wird, die Folgerungen zu ziehen.</p><lb/>
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(ersten Teilsatz) in einem bestimmten Sinne angeregt wird, dieselbe zügelnd,<lb/>
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<p>Die logische Tragweite der Gesamtaussage müsste dabei (aber) die-<lb/>
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nannten Bindewörter mit dürren Worten nebeneinander gestellt würden —<lb/>
sozusagen steif und hölzern, mit Verzicht auf rhetorische Schönheit.</p><lb/>
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<p>Es ist darum gerechtfertigt, wenn wir solche — man könnte sagen<lb/>
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dienstlich sein würde. — Des weitern vergleiche man noch § 50 und 54. —</p><lb/>
<p>Die vorstehend aufgezählten Urteilsformen der<lb/>
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sind nun die einzigen Urteilsformen der Sprache, welche die alte Logik<lb/>
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einander zurückgeführt werden können. Vergl. den Schluss des § 31, z. B. —</note></p><lb/>
<p>Wird, dass mit ihnen alle Formen erschöpft seien, auch von<lb/>
Neueren bestritten, so können sie doch jedenfalls als <hi rendition="#i">ausreichend</hi> dafür<lb/>
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<p>Lassen auch wir sie als die einzigen Urteilsformen gelten, so ist<lb/>
durch das Vorstehende erkannt, dass sich das Prämissensystem eines<lb/>
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<hi rendition="#i">π</hi>) <list><item>𝖠<list rendition="#leftBraced"><item>= i</item><lb/>
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<p>Wir werden diese Relation kurz „<hi rendition="#i">die vereinigte Aussage</hi>“ oder „<hi rendition="#i">Ge-<lb/>
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Α wird als das „<hi rendition="#i">Polynom</hi>“ dieser vereinigten Aussage zu bezeichnen sein.</p><lb/>
<p>Wäre die als Gesamtaussage <hi rendition="#i">π</hi>) sich darstellende Proposition keine<lb/>
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<p>Wir nehmen die Anzahl der hierdurch dargestellten Operationen<lb/>
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<p>In einem gewissen Sinne allerdings kann diese Anzahl auch als eine<lb/>
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missen auch als allgemeingültige, für <hi rendition="#i">jeden</hi> denkbaren Wert gewisser Sym-<lb/>
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Das Auftreten solcher Symbole mag vorerst noch ausser Betracht bleiben,<lb/>
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haben werden, dieser Fall also unter die demnächst ohnehin zu erledigenden<lb/>
Kategorieen fallen wird.</p><lb/>
<p>Eine <hi rendition="#i">regellos unbegrenzte</hi> Menge von operativen und vergleichenden<lb/>
Aussagenverknüpfungen als Prämissen eines Problems hinzustellen ist hin-<lb/>
gegen noch keiner bisherigen Logik beigefallen und dürfte sich auch einer<lb/>
systematischen Behandlung entziehen.</p><lb/>
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von Produkten <hi rendition="#i">Π</hi> und Summen <hi rendition="#i">Σ</hi>, sei es endlich als linke oder rechte<lb/>
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begrenzter Menge vorhanden sind, so werden wir bei der Inspektion<lb/>
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Klassen handelnde, „spezifizirt“ angegeben sind. Diese nennen wir die<lb/>
„<hi rendition="#i">letzten</hi> Teilaussagen“ (ultimate partial statements) oder „<hi rendition="#i">primären</hi> Unter-<lb/>
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Teilaussagen, aus welchen unser Polynom Α lediglich mittelst der<lb/>
Operationen der drei Spezies des identischen Kalkuls aufgebaut ist<lb/>
(also ohne dass solche selbst noch durch Gleichheits- oder Ungleich-<lb/>
heitszeichen unter sich <hi rendition="#i">verbunden</hi> erscheinen) mögen die der vereinigten<lb/>
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kürzer: die „<hi rendition="#i">unmittelbaren Unteraussagen</hi>“.</p><lb/>
<p>Für die Art, wie die Gesamtaussage Α aus ihren unmittelbaren<lb/>
Unteraussagen zusammengesetzt sein kann (resp. muss), lässt sich ein<lb/>
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<p>Nach seiner oben geschilderten Zusammensetzung ist nämlich das<lb/>
Polynom Α weiter nichts, als eine „<hi rendition="#i">Funktion</hi>“ (im identischen Kalkul,<lb/>
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<p>Nach § 13 und § 19 kann diese Funktion immer in ihre „<hi rendition="#i">letzten<lb/>
Aggreganten</hi>“ zerlegt werden, d. h. wir können ohne Beschränkung der<lb/>
Allgemeinheit sie in Form eines Aggregates (einer Summe) von Mo-<lb/>
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In beiden Fällen können wir sie uns rechts auf 0 gebracht denken.<lb/>
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<p>Schreiben wir das allgemeine Glied rechterhand ausführlicher, indem<lb/>
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<p><hi rendition="#i">Die Aussage</hi>, <hi rendition="#i">welche alle Data eines beliebigen Problems</hi> zusammen-<lb/>
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<p>Es dürfen sogar die Faktoren der einen oder andern Sorte, nämlich<lb/>
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wenn etwa in einem Gliede die Gleichung (<hi rendition="#i">A</hi> = 0) fehlen sollte, dieselbe<lb/>
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Belieben weggelassen oder auch zugefügt werden kann, cf. Th. 2̅1̅<hi rendition="#sub">×</hi>). Ebenso<lb/>
braucht man, wo zu einer Gleichung keine Ungleichungen weiter hinzu-<lb/>
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für die erwähnten beiden Vorkommnisse das Schema unsres allgemeinen<lb/>
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<p>Von der Annahme aus, dass für unser Prämissensystem ein ver-<lb/>
baler Ausdruck vorliege, dass die Prämissen eines zu lösenden Problems<lb/>
ursprünglich in der Wortsprache niedergelegt gewesen seien, sind wir<lb/>
vorstehend zu der Einsicht in den notwendigen Bau <hi rendition="#i">τ</hi>) oder <hi rendition="#i">υ</hi>) der<lb/>
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nisse des § 36 hätten wir augenscheinlich zu derselben Einsicht auch<lb/>
gelangen müssen, wofern wir etwa die Annahme zum Ausgangspunkte<lb/>
nehmen wollten, dass unsre Prämissen <hi rendition="#i">in der Zeichensprache des Kalkuls</hi><lb/>
gegeben gewesen wären in Gestalt von irgendwelchen Umfangsbeziehungen<lb/>
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<p>Dual entsprechend liesse sich auch beweisen, dass ebensogut der<lb/>
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mittelst Zerlegung in ihre letzten Faktoren:<lb/>
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kommen möchten, die Zeichen <hi rendition="#i">Π</hi> und <hi rendition="#i">Σ</hi> auch neue Erstreckung haben<lb/>
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<p>Doch wird man praktisch vor der vorstehenden jener ersten Form<lb/>
<hi rendition="#i">υ</hi>) in der Regel den Vorzug geben, weil man nach der aus der Arith-<lb/>
metik überkommenen Gewöhnung bequemer mit Summen von Monomen<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 40. <hi rendition="#g">Mitchell’</hi>s allgemeine Form der Gesamtaussage der Data.</fw><lb/>
(Produkten) als mit Produkten von Polynomen (Summen) rechnet,<lb/>
namentlich auch lieber die Multiplikationsregel für Polynome sowie<lb/>
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von Α würde sich aber, kraft der Allgemeinheit der vorausgeschickten<lb/>
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Belieben <hi rendition="#i">ψ</hi>), erteilen lassen. Auf diese Weise könnte man also hin-<lb/>
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sämtlicher Vergleichungen erschiene, oder auch wenn man will, <hi rendition="#i">durch-<lb/>
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<p>Die vorstehenden Sätze <hi rendition="#i">υ</hi>) und <hi rendition="#i">ψ</hi>) hat schon Herr <hi rendition="#g">Mitchell</hi><hi rendition="#sup">1</hi> gegeben.<lb/>
Beispiele zu denselben werden wir in Bälde bringen.</p><lb/>
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mittelbaren</hi> Unteraussagen der Gesamtaussage Α.</p><lb/>
<p>Es kann sein, dass sie zugleich deren <hi rendition="#i">letzte</hi> Unteraussagen sind.</p><lb/>
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zutrifft</hi>, wie wir sehen werden, <hi rendition="#i">stets zurückführen</hi>, <hi rendition="#i">wofern wir nur mit<lb/>
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<p>Zunächst beachte man, dass, falls es zutrifft, jene Faktoren <hi rendition="#i">pri-<lb/>
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<p>Eine weitere Vereinfachung ihrer Form scheint alsdann sich allgemein<lb/>
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<p>Betrachten wir jetzt aber auch den Fall, wo die Gesamtaussage<lb/>
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<p>Das Urteil hat nunmehr die Form Β = i (wofür auch Β<hi rendition="#sub">1</hi> = 0<lb/>
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äussersten Vergleichungszeichen beseitigen können und dann successive<lb/>
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<p>Der obige Prozess der Ausmerzung der Vergleichungszeichen kann<lb/>
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<p>Und die „letzten“ Unteraussagen unsres Problems werden in der<lb/>
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<p><hi rendition="#i">Andernfalles</hi> würde das ganze Problem ein „reines“ Problem des Aus-<lb/>
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<hi rendition="#g">Boole</hi> aufgestellte Theorie (bis etwa § 22 oder 27) bereits gelöst zu be-<lb/>
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letzteren Falle die Probleme der Elimination von gewissen Symbolen und<lb/>
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<p>Wir sind freilich bei der vorstehenden mit „Andernfalles“ beendigten<lb/>
Enumeration, Aufzählung der denkbaren Fälle scheinbar nicht vollständig<lb/>
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<p>Wogegen ohne die genannte Voraussetzung neben diesen auch andere<lb/>
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Verschwindet ein Faktor</hi>, <hi rendition="#i">so auch das Produkt. Und verschwindet ein<lb/>
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Mannigfaltigkeit von Fällen denkbar und können die denkbaren auch<lb/>
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<p>Die Lösung kann <hi rendition="#i">genau dieselben Symbole</hi> enthalten, wie das<lb/>
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weder ein Eliminations- noch ein Introduktionsproblem vor uns, sondern<lb/>
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<p>Einfachste Exempel zu diesem und dem andern Falle stellen vor:<lb/>
der Schluss von <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> auf <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi>, sowie der von <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> auf <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>. Es<lb/>
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<p>So ist auch noch der Schluss von <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> auf <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> = 0 ein Trans-<lb/>
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<p>Sie kann auch enthalten: die sämtlichen im Prämissensystem vor-<lb/>
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willkürlich bleiben werden). In diesem Falle lag ein reines <hi rendition="#i">Intro-<lb/>
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<p>Endlich kann die Solution enthalten: nur einen Teil der im<lb/>
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selben fremde. Alsdann ist das Problem von gemischtem Charakter:<lb/>
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Belieben zufügen, anreihen darf.</p><lb/>
<p>Man wird hier die Lösung der Aufgabe wol in zwei Anläufe zer-<lb/>
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zeichnen sein, und könnten als Probleme der formalen Logik sich nur darum<lb/>
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Die Antwort würde hier dadurch herbeizuführen sein, dass man die Subsum-<lb/>
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Lösung (oder der als Konklusion zu deduzirenden Gesamtaussage) be-<lb/>
stimmte Vorschriften gegeben sind. In Bezug auf solche Probleme<lb/>
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erschöpfend anzugeben. Eliminationen zu vollziehen erscheint geradezu<lb/>
als das <hi rendition="#i">Hauptproblem</hi> der Lehre vom Schliessen, und zwar liegt dieses<lb/>
im Wesen der Deduktion begründet. Fast immer kommt es ja beim<lb/>
Folgern darauf an, blos einen Teil der in den Daten aufgespeicherten<lb/>
Kenntnisse zu verwerten, dasjenige zu formuliren und schliessend aus-<lb/>
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von gewissen Dingen oder Klassen (oder auch Kenntnissen) über die<lb/>
andern lehren. Mit diesem Problem werden wir uns darum auch vor-<lb/>
wiegend zu befassen haben.</p><lb/>
<p>Das andere, das Introduktionsproblem dagegen erscheint als ein<lb/>
vagues, unbestimmtes. Es verlangt das „Inseriren“ von neuen Termen,<lb/>
fordert die Herstellung einer richtigen Aussage, welche sich zugleich<lb/>
mit über Dinge, Klassen erstrecke, über welche die Prämissen gar<lb/>
keine Information enthalten. Die in Bezug auf solche Dinge von der<lb/>
gesuchten Lösung zu gebende Information kann doch nur eine „nichts-<lb/>
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Höhe der Maste, das Alter seines Kapitäns berechnen zu lernen!</p><lb/>
<p>Die Unbestimmtheit bleibt auch bestehen, wenn man das Intro-<lb/>
duktionsproblem etwa mit <hi rendition="#g">Peirce</hi> dahin formulirt: <hi rendition="#i">zu ermitteln</hi>, <hi rendition="#i">welche</hi><lb/>
<note place="foot" n="*)" xml:id="seg2pn_1_2" prev="#seg2pn_1_1">als eine „analytische“ identisch gilt oder nicht, wofür — soweit nur Umfangs-<lb/>
und Aussagenbeziehungen in Betracht kommen — in § 21 und 33 die Methoden<lb/>
bereits auseinandergesetzt sind. Vergl. auch § 46, 1. Studie.</note><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 41. Das Eliminationsproblem der zweiten Logikstufe.</fw><lb/>
<hi rendition="#i">Prämissen eine gegebene Konklusion liefern</hi> („which premises <hi rendition="#i">yield</hi> a given<lb/>
conclusion“). Denn solcher Prämissen gibt es sicherlich eine unbe-<lb/>
grenzte Fülle.</p><lb/>
<p>Unerachtet der zwischen beiden Problemen oben zutage getretenen<lb/>
(von Miss <hi rendition="#g">Ladd</hi> an’s Licht gezogenen) Analogie sind sie also doch<lb/>
für die Wissenschaft von äusserst ungleichem Werte.</p><lb/>
<p>Die Unbestimmtheit des Introduktionsproblemes in seiner letzten<lb/>
von <hi rendition="#g">Peirce</hi> gegebenen Fassung wird erst schwinden, wenn den Prä-<lb/>
missen eine bestimmte Form zugemutet, vorgeschrieben wird. Dann<lb/>
aber läuft das Problem auf die Fragestellung hinaus, ob es, falls die<lb/>
Konklusion erfüllt ist, ein gewisses <hi rendition="#i">x</hi> (eben den Introduzenden) <hi rendition="#i">geben</hi><lb/>
wird, welcher die fragliche Prämisse erfüllt.</p><lb/>
<p>Z. B.: falls <hi rendition="#i">a b</hi> = 0, gibt es dann ein (oder irgendwelche) <hi rendition="#i">x</hi> derart,<lb/>
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<p>Diese Frage musste aber bei dem Eliminationsprobleme schon<lb/>
ohnehin erledigt werden, als wir darauf ausgingen uns zu vergewissern,<lb/>
ob die Eliminationsresultante für <hi rendition="#i">x</hi>, welche die Theorie aufstellen<lb/>
lehrt, auch die <hi rendition="#i">vollständige</hi> Resultante gewesen.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Soweit also das Introduktionsproblem wissenschaftlichen Wert haben<lb/>
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Eliminationsresultanten und kommt bei dem Eliminationsprobleme schon<lb/>
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<div n="3"><head>§ 41. <hi rendition="#b">Das Eliminationsproblem gelöst für ein paar typische Spezial-<lb/>
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ein</hi> Klassensymbol <hi rendition="#i">x</hi> zu eliminiren, so sind wir auch im stande, aus<lb/>
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Kurz: wir vermögen dann auch eine <hi rendition="#i">beliebige</hi> Gruppe oder <hi rendition="#i">Menge von<lb/>
Symbolen x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>, … aus jener zu eliminiren.</p><lb/>
<p>Es erscheint darum die Elimination eines einzigen Symboles <hi rendition="#i">x</hi> als das-<lb/>
jenige Problem, mit welchem wir uns vorwiegend zu beschäftigen haben.</p><lb/>
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identischen Kalkul überhaupt in Betracht kommen kann — wofern<lb/>
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<p>Diese Funktionen lassen aber nach § 19 — einerlei ob sie <hi rendition="#i">x</hi> alle<lb/>
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wo die Koeffizienten <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">p</hi>, <hi rendition="#i">q</hi>, <hi rendition="#i">r</hi>, <hi rendition="#i">s</hi>, … unabhängig sind von <hi rendition="#i">x</hi>.</p><lb/>
<p>Die uns noch zur Lösung verbleibende Hauptaufgabe besteht nun<lb/>
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<hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">p</hi>, <hi rendition="#i">q</hi>, <hi rendition="#i">r</hi> … enthaltene Information, jede aus <hi rendition="#i">α</hi>) zu schöpfende<lb/>
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Ausdruck bringt. Kurz: es ist die <hi rendition="#i">volle</hi> Resultante der Elimination<lb/>
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<p>Herr <hi rendition="#g">Mitchell</hi> betrachtet die Form <hi rendition="#i">α</hi>) nicht. Er gibt aber einen<lb/>
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implicite, nämlich eingekleidet in eine ihm eigentümliche Symbolik, deren<lb/>
Verewigung, wenn sie auch mitunter eine kleine Raumersparniss ermöglicht,<lb/>
mir nicht wünschenswert erscheint. Zur eigentlichen Lösung des allge-<lb/>
meinen Problems hat seine Symbolik Herrn <hi rendition="#g">Mitchell</hi> doch nicht geführt,<lb/>
und selbst wenn sie zu einer auch dazu geeigneten sich ummodeln, modi-<lb/>
fiziren liesse (was mir nicht der Fall zu sein scheint), müsste ich doch<lb/>
auf die hier zu verwirklichen gesuchte <hi rendition="#i">Befolgung einheitlicher Grundsätze<lb/>
im ganzen Bezeichnungssystem unsrer Disziplin</hi> nach wie vor das grösste Ge-<lb/>
wicht legen. Ich werde auf das Verhältniss der <hi rendition="#g">Mitchell’</hi>schen Resultate<lb/>
zu den hier vorzutragenden erst bei der allgemeinen Lösung zurückkommen.</p><lb/>
<p>Wir lösen die Aufgabe zunächst für ein paar Spezialfälle.</p><lb/>
<p>Aus einer <hi rendition="#i">Gleichung a x</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 können wir schon längst das<lb/>
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Elimination des <hi rendition="#i">x</hi> aus der Gleichung linkerhand nachgewiesen.</p><lb/>
<p>Wie nun gestaltet sich die Resultante der Elimination des <hi rendition="#i">x</hi> für<lb/>
eine <hi rendition="#i">Ungleichung p x</hi> + <hi rendition="#i">q x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0?</p><lb/>
<p>Die Antwort auf diese Frage wird durch die Behauptung ge-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.</fw><lb/>
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<p>Behufs <hi rendition="#g">Beweises</hi> ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der<lb/>
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<p>Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die —<lb/>
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gemäss Th. 1̅7̅<hi rendition="#sub">+</hi>) überschiebend addiren, und das Ergebniss dieser<lb/>
Verknüpfung:<lb/>
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<p>Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul-<lb/>
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<p>Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen.</p><lb/>
<p>Da (<hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0) = (<hi rendition="#i">p</hi> ≠ 0) + (<hi rendition="#i">q</hi> ≠ 0) ist, so wird, wenn <hi rendition="#i">B</hi> er-<lb/>
füllt ist, entweder <hi rendition="#i">p</hi> ≠ 0 sein — in diesem Falle genügt die Annahme<lb/>
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<p>Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter<lb/>
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<p>Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge-<lb/>
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solche Vollständigkeit der Resultante garantirt wird?</p><lb/>
<p>Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme <hi rendition="#i">B</hi> immer<lb/>
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kann. Denn folgte noch aus <hi rendition="#i">A</hi> eine solche Relation <hi rendition="#i">C</hi>, die möglicherweise<lb/>
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ständen wir ebendieses unter dem Buchstaben <hi rendition="#i">x</hi>, so wäre <hi rendition="#i">A</hi> erfüllt, woraus<lb/>
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<p>Als einen ferneren kleinen Hülfssatz möchte ich hier noch das<lb/>
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<p>Man kann übrigens auch den Beweis des Satzes analog wie bei <hi rendition="#i">δ</hi>)<lb/>
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<p>Darnach aber könnte man auch den Beweis von <hi rendition="#i">δ</hi>) mittelst<lb/>
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weite beilegen. In der gleichen Weise wird dies auch am Schlusse<lb/>
jeder noch weiterhin gelösten Eliminationsaufgabe dann ausgeführt zu<lb/>
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<p>Bezeichnen wir die linke Seite unsres Ergebnisses <hi rendition="#i">β</hi>) oder <hi rendition="#i">γ</hi>)<lb/>
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<p>Nehmen wir jetzt auch in Angriff die <hi rendition="#g">Aufgabe</hi>. Aus zwei oder<lb/>
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gedeutet als linke und rechte Seite von <hi rendition="#i">η</hi>) — dass in diesem Satze<lb/>
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<p>Die Frage nach dieser Vollständigkeit der angeführten Resultante<lb/>
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<p>Von den drei bis jetzt behandelten Spezialproblemen, deren Lösungen<lb/>
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möglicherweise nicht angeschrieben gewesene Faktor 1 als Koeffizient hin-<lb/>
zugedacht und wirklich angesetzt werden, wenn bei der Ausradirung des <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
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<p>Der gleiche Sachverhalt muss sich darum auch forterhalten, wenn<lb/>
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<p>Die Glieder der resultirenden und die der Prämissenaussage ent-<lb/>
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<hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>, … betrifft, so kann man sich überzeugen, dass unsre Resultante<lb/>
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man nötig hätte zum Verfahren des successiven Eliminirens erst seine<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 41. Bemerkung, das Auflösungsproblem betreffend.</fw><lb/>
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<p>Ich enthalte mich, dieses Auflösungsproblem hier zu behandeln<lb/>
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<p>An die Lösung könnte erst gegangen werden, nachdem unsre<lb/>
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— illustrirt den hypothetischen Syllogismus Barbara.</p><lb/>
<p>So gehen überhaupt aus den kategorischen die gleichnamigen<lb/>
hypothetischen Syllogismen hervor durch eine blosse Umdeutung, in-<lb/>
dem man nämlich die Klassenterme der erstern nun als Aussagen<lb/>
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<p>Gemeinsamer Charakter der einfachen (kategorischen) Syllogismen<lb/>
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— der sogenannte <hi rendition="#i">Mittelbegriff</hi> — demnach doppelt vorkommt, eine<lb/>
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<p>Die zwei Prämissen enthalten je ein Subjekt und ein Prädikat.<lb/>
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<p>Die eine der beiden Prämissen enthält neben <hi rendition="#i">M</hi> das Subjekt <hi rendition="#i">S</hi><lb/>
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„Barbara“ bereits in § 4 dargelegt wurde.</p><lb/>
<p>Je nach der Art, wie die drei Begriffe <hi rendition="#i">S</hi>, <hi rendition="#i">M</hi>, <hi rendition="#i">P</hi> in den Prämissen<lb/>
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Obersatz und Schlusssatz) als universale oder partikulare, bejahende<lb/>
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„<hi rendition="#i">Modi</hi>“ (bei <hi rendition="#g">Aristoteles</hi> <hi rendition="#i">τϱόποι</hi>) von Syllogismen zu unterscheiden.</p><lb/>
<p>Die drei ersten Figuren mit ihren modi hat im wesentlichen <hi rendition="#g">Aristo-<lb/>
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<p>Die Scholastik gab den Modi dreisilbige Namen, deren Vokale<lb/>
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nicht konsequent gewählt, weshalb es nicht verlohnt, ihre Wahl hier zu<lb/>
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Tērtĭă<note place="foot" n="**)">sc. figura.</note> grāndĕ sŏnāns rĕcĭtāt: Dārāptĭ, Fĕlāptōn,<lb/>
Dīsāmīs, Dătĭsī, Bōcārdŏ, Fĕrīsōn. Quārtāe<lb/>
Sūnt Bămălīp, Călĕmēs, Dĭmătīs, Fĕsăpō, Frēsīsōn.</hi><lb/>
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Bokardo, Ferison habet. Quarta insuper addit<lb/>
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— in Analogie zu welchen in der um 1250 verfassten <hi rendition="#i">Ἐπιτομὴ</hi> des <hi rendition="#g">Nike-<lb/>
phoros Blemmides</hi> sich die Worte finden:<lb/>
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</table> — wobei die zweite Zeile die (früher der ersten Figur zugezählten) Modi<lb/>
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wahrscheinlich erst später zugefügt wurde.</p><lb/>
<p>Die als „abgeschwächte“ noch hinzutretenden Formen des Syllogismus<lb/>
hat (Basel 1560) <hi rendition="#g">Joh. Hospinianus</hi>, nach ihm auch <hi rendition="#g">Leibniz</hi> aufge-<lb/>
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<p>Nach <hi rendition="#g">Lambert</hi> wird die <hi rendition="#i">erste</hi> Figur (wie schon teilweise erwähnt)<lb/>
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schweigen übergehen — sobald diese aber ausdrücklich formulirt und<lb/>
den übrigen Prämissen ergänzend zugefügt wird, dann offenbar auf<lb/>
<hi rendition="#i">drei</hi> Prämissen beruhen und damit aufhören werden, „einfache“ Syllo-<lb/>
gismen, ja „Syllogismen“ überhaupt zu sein.</p><lb/>
<p>Wir werden dieses eingehend darzulegen haben. Um jedoch die<lb/>
unter die genannte Rubrik fallenden Formen angeblicher Syllogismen der<lb/>
traditionellen Liste von vornherein als solche charakterisiren zu können,<lb/>
sei uns gestattet, solches in kürzester Weise vermittelst des Zusatzes<lb/>
„<hi rendition="#i">falsch</hi>“ zu thun.</p><lb/>
<p>Ich gebe nun vor allem das Wesen der 19 + 5 = 24 Modi oder<lb/>
traditionellen Formen der gemeinhin als gültig anerkannten Syllogis-<lb/>
men samt dem Schema der zugehörigen Figuren möglichst übersicht-<lb/>
lich an, wobei ich in den Schlüssen selbst die drei Termini <hi rendition="#i">S</hi>, <hi rendition="#i">M</hi>, <hi rendition="#i">P</hi><lb/>
als Klassensymbole mit <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi> zu bezeichnen vorziehe.</p><lb/>
<p>Die Übersichtlichkeit wird erhöht, wenn wir uns zur Darstellung<lb/>
der Schlüsse einer Formelsprache bedienen.</p><lb/>
<p>Ich wähle dazu zum Teil die legitime Formelsprache unsres<lb/>
Gebietekalkuls, insofern ich ein Subjekt „alle <hi rendition="#i">a</hi>“ einfach durch den<lb/>
Namen der Klasse, das Symbol <hi rendition="#i">a</hi> selbst, ein Prädikat „nicht-<hi rendition="#i">b</hi>“ mittelst<lb/>
Negationsstrichs durch <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> darstelle …</p><lb/>
<p>Weil aber bei den partikularen Urteilen die legitime Darstellung<lb/>
sich schon allzuweit von dem sprachlichen Ausdruck entfernt — vergl.<lb/>
§ 33 — greife ich zum andern Teil für den Augenblick auch noch<lb/>
zu einer sonst in unserm Kalkul nicht zulässigen — wenn man will<lb/>
„illegitimen“ — hier nur einmal konventionell ad hoc zu adoptirenden<lb/>
Ausdrucksweise, indem ich „einige <hi rendition="#i">a</hi>“, „einige <hi rendition="#i">b</hi>“ durch <hi rendition="#i">a</hi>' resp. <hi rendition="#i">b</hi>'<lb/>
darstelle.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 42. Die Syllogismen der Alten.</fw><lb/>
<p>Wir wissen bereits aus § 2 und 4, dass diese Schreibweise sich all-<lb/>
gemein nicht empfehlen kann, weil solches <hi rendition="#i">a</hi>' = „einige <hi rendition="#i">a</hi>“ in getrennten<lb/>
Aussagen ganz Verschiedenes bedeuten kann und es oberster Grundsatz<lb/>
aller Rechnungsmethoden ist, Verschiedenes, wo es in <hi rendition="#i">einer</hi> Rechnung zu-<lb/>
sammentrifft, auch durch die Bezeichnung zu unterscheiden — ein Grundsatz,<lb/>
durch dessen Befolgung wir uns erst die Berechtigung erkaufen, die Be-<lb/>
deutung der Zeichen beim Rechnen aus den Augen verlieren zu dürfen<lb/>
und mechanisch zu operiren nach den Gesetzen des Kalkuls, welche erst<lb/>
dann uns niemals in Fehler zu führen vermögen. Bei den vorliegenden<lb/>
Anwendungsbeispielen wird allerdings in je <hi rendition="#i">einem</hi> einzelnen Modus des<lb/>
Schliessens dem <hi rendition="#i">a</hi>' resp. <hi rendition="#i">b</hi>' auch durchweg dieselbe Bedeutung gewisser-<lb/>
massen zufällig zukommen. Es musste aber überhaupt bei partikularen<lb/>
Urteilen zu andern Darstellungsmitteln Zuflucht genommen werden — § 33.</p><lb/>
<p>Die Kopula „sind“ (oder „ist“) stelle ich <hi rendition="#i">durchweg</hi> durch das Sub-<lb/>
sumtionszeichen <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> dar, was bei den universalen Urteilen die legi-<lb/>
time Darstellung ist, bei den partikularen aber (wie oben angedeutet)<lb/>
eigentlich nicht angeht (nämlich insofern ausgeschlossen erscheint, als<lb/>
hier die Bezeichnung des partikularen Subjekts mittelst Accentes ein<lb/>
unzulänglicher Notbehelf bleibt).</p><lb/>
<p>Um unsre Syllogismen in Worte zu kleiden, übersetze man also:<lb/>
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<p>Darnach wird denn der Leser leicht aus der nachstehenden Tafel<lb/>
die Syllogismen, auch in Worte gefasst, ablesen — wofern wir nur<lb/>
noch die Bemerkung hinzufügen, dass das Punktedreieck ∴ mit „also“<lb/>
zu übersetzen ist, mithin die Konklusion einleiten soll. Dieses in<lb/>
mathematischen Schul- und Fachschriften englischer Sprache fast all-<lb/>
gemein üblichen Schlüssels:<lb/>
<hi rendition="#c">∴ für „folglich“, ergo, therefore</hi><lb/>
— im Gegensatz zu welchem bekanntlich auch<lb/>
<hi rendition="#c">·.· für „weil“, quoniam, because.</hi><lb/>
gebraucht wird (resp. für „denn“, nam, resp. enim, for) — bediene<lb/>
ich mich hier aus zwei Gründen.</p><lb/>
<p>Einmal, <hi rendition="#i">um</hi> behufs Vermehrung der Übersicht noch <hi rendition="#i">die Klammern<lb/>
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wofür wir jetzt zu schreiben vorziehen:<lb/>
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<fw type="header" place="top">Zwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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— womit ersichtlich wird, dass jener Schlüssel ∴ im Grunde nur <hi rendition="#i">das<lb/>
Subsumtionszeichen</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">des Aussagenkalkuls</hi> vertritt.</p><lb/>
<p>Sodann aber gebe ich diesem Schlüssel ∴ auch darum vor <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice><lb/>
den Vorzug, weil ich sonst — was mir widerstrebt — genötigt wäre,<lb/>
eine Reihe von geradezu <hi rendition="#i">falschen</hi> Subsumtionen des Aussagenkalkuls<lb/>
in unsrer Tafel aufzuführen, die man als „<hi rendition="#i">enthymematische</hi>“ mit ∴<lb/>
oder „folglich“ eingeleitete Schlüsse doch immerhin wird gelten lassen<lb/>
können; in einem verbalen Schlusse wird man das Verschweigen einer<lb/>
Prämisse noch unbeanstandet passiren lassen können; in einer Formel<lb/>
aber einen wesentlichen Faktor der einen Seite fortzulassen, bleibt un-<lb/>
statthaft. — Gemäss Th. 6̅): <hi rendition="#i">A B</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">A</hi> + <hi rendition="#i">C</hi> darf man zwar in einer<lb/>
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einen beliebigen <hi rendition="#i">Summanden</hi> (<hi rendition="#i">C</hi>) <hi rendition="#i">zufügen</hi> (S. 197). Gilt aber <hi rendition="#i">A B</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">D</hi>,<lb/>
so wird nicht schon <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">D</hi> zu gelten brauchen. —</p><lb/>
<p>Von den „abgeschwächten“ Formen, welche sich nur durch die<lb/>
Konklusion von den ungeschwächten Modi unterscheiden, fügen wir<lb/>
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<p>Wir haben darnach die<lb/>
<hi rendition="#i">β</hi>) <space dim="horizontal"/><hi rendition="#g">Übersicht der traditionellen Syllogismen</hi>.<lb/>
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<p>Vorstehende 19 Formen des Syllogismus gehen nun durch blosse<lb/>
Buchstabenvertauschung vielfach in einander über.</p><lb/>
<p>Setzt man <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> für <hi rendition="#i">c</hi>, so geht hervor</p><lb/>
<list><item>Celarent aus Barbara</item><lb/>
<item>Ferio „ Darii</item><lb/>
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<p>desgleichen umgekehrt, wenn <hi rendition="#i">c</hi> für <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> gesetzt wird.</p><lb/>
<p>Vertauschung von <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> erzeugt:</p><lb/>
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<p>Darnach bleibt also nur noch selbständig zu rechtfertigen von der<lb/>
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<fw type="header" place="top">Zwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Weiter kann man bemerken, dass <hi rendition="#i">a</hi>' für <hi rendition="#i">a</hi> gelesen gibt:<lb/>
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desgleichen <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">b</hi>' vertauscht gibt:<lb/>
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<item>(Ferison „ Bocardo).</item></list></p><lb/>
<p>Die bejahenden partikularen Urteile kann man aber auch noch<lb/>
rückwärts lesen — ein Verfahren, das die alte Logik als „einfache<lb/>
Konversion“ (conversio simplex) bezeichnet. Aus § 34 wissen wir,<lb/>
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einerlei ist, und daher auch mit „Einige <hi rendition="#i">b</hi> sind <hi rendition="#i">a</hi>“, hier also <hi rendition="#i">b</hi>' <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><lb/>
ausgedrückt werden mag.</p><lb/>
<p>Die erste (partikularbejahende) Prämisse <hi rendition="#i">a</hi>' <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> in dieser Weise<lb/>
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<p>Die zweite (partikularbejahende) Prämisse rückwärts gelesen<lb/>
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<hi rendition="#c">Dimatis aus Disamis</hi><lb/>
und vice versā.</p><lb/>
<p>Will man dasselbe Konversionsverfahren auch auf die partikular<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 42. Die Syllogismen der Alten.</fw><lb/>
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<hi rendition="#et">Calemes aus Camestres, (desgleichen in <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">c</hi>:)<lb/>
Cesare aus Celarent, Festino aus Ferio,<lb/>
falsch Fesapo aus falsch Felapton, Fresison aus Ferison</hi><lb/>
hervor. Der gleiche Prozess bei <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">c</hi>, wie oben wieder mit einer<lb/>
Vertauschung dieser verbunden, führt überdies noch ineinander über:<lb/>
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handlung partikularer und universaler Aussagen, wollen wir doch nur<lb/>
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„Einige <hi rendition="#i">b</hi> sind <hi rendition="#i">a</hi>“ in Worten auszudrücken beliebt, kann man einen<lb/>
(und wesentlich denselben) Syllogismus nicht blos unter einen andern<lb/>
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<p>Die traditionelle Klassifikation der Syllogismen macht, im Lichte<lb/>
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denkbar — und zwar nur 4, nicht aber 8, weil in der Konklusion <hi rendition="#i">a</hi> als<lb/>
Subjekt, <hi rendition="#i">c</hi> als Prädikat zu stehen hat und dieses Verhältniss nicht umge-<lb/>
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<p>In jedem einzelnen Falle eines unstichhaltigen<lb/>
Syllogismus wird man solchen Nachweis immer <hi rendition="#i">leicht</hi><lb/>
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<p>Im übrigen soll, gedachten Vollständigkeits-Nachweis in solcher Weise<lb/>
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die eine verbale Behandlung jeder rechnerischen vorziehen.</p><lb/>
<p>Übrigens vergleiche man dazu noch § 48, in welchem gezeigt wird,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 42. Die Syllogismen der Alten.</fw><lb/>
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oben in Frage gezogenen Gehalte ist; als Resultanten ergeben sich doch<lb/>
meistens gewisse Existenzialurteile! —</p><lb/>
<p>Sehr viel einfacher wird die Untersuchung über die Vollständig-<lb/>
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rüber man weiter unten S. 234 nachsehen möge.</p><lb/>
<p>Weshalb wir aber in unsrer Theorie gezwungen sind, nur 15 von<lb/>
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<hi rendition="#i">falsch</hi> zu nennen — dies wird die rechnerische Bebandlung der tradi-<lb/>
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<p>Einstweilen mag uns ein Textbeispiel das Wesen der Sache offen-<lb/>
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<p>Die folgenden beiden Prämissen erscheinen uns unangreifbar:<lb/>
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<p>Die Konklusion sollte nun lauten:<lb/>
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Prämissen (vergl. § 9, <hi rendition="#i">ϱ</hi>) noch immer gültig bleiben; der Schluss<lb/>
musste daher formell unberechtigt sein. Erweist sich der Schlusssatz<lb/>
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ist dann freilich (wie gesagt) kein Syllogismus mehr.</p><lb/>
<p>Die Lostrennung der inkorrekten Syllogismen auf Grund der Bemerkung<lb/>
S. 220 ist wol zuerst von Miss <hi rendition="#g">Ladd</hi><hi rendition="#sup">1</hi> vollzogen.</p></div><lb/>
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<p>Es ist das Verdienst einer „brilliant young lady-mathematician“<note place="foot" n="*)">So laut brieflicher Mitteilung seitens eines namhaften Gelehrten und<lb/>
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Zuverlässigkeit ich den Ausdruck gerne zu dem meinigen mache.</note><lb/>
— Miss <hi rendition="#g">Ladd</hi>, nunmehr Frau Professor <hi rendition="#g">Fabian Franklin</hi>, die 15 gül-<lb/>
tigen Syllogismen auf einen gemeinsamen Ausdruck gebracht zu haben,<lb/>
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<p>Wirft man den dritten Faktor gemäss Th. 3̅8̅<hi rendition="#sub">×</hi>) nach rechts, so<lb/>
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Ebenso kann man aber auch den zweiten oder ersten Faktor nach<lb/>
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<p>Es zerfallen also die 8 Formen des Syllogismus in zwei Gruppen<lb/>
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<p>Ich hege die Überzeugung, dass es nicht möglich sein wird, die<lb/>
Syllogistik jemals in einer <hi rendition="#i">schöneren</hi> Weise zu erledigen, als es durch<lb/>
Miss <hi rendition="#g">Ladd</hi> begründet ist — wie wir vorstehend darzustellen versucht<lb/>
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Schlussformen der Wortsprache dabei aufrecht erhalten werden soll.</p><lb/>
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<p>Wir können um so mehr darauf verzichten, die Lösung des Pro-<lb/>
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gehn, als es sich so in § 48 mit einem noch viel umfassenderen Auf-<lb/>
gabenkreise behandelt zeigen wird. Erwähnt sei nur, dass Herr <hi rendition="#g">Voigt</hi><hi rendition="#sup">1</hi>,<lb/>
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<hi rendition="#g">Cayley</hi>, gelangend, mit Recht darauf hinweist p. 38, dass die Lehre<lb/>
von den Syllogismen eine Materie sei, deren Bewältigung früher auch<lb/>
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verursachte, und dass nichts die Zweckmässigkeit der algebraischen Logik<lb/>
besser beweise als diese Thatsache, dass mit ihrer Hülfe eine solche Dis-<lb/>
ziplin sich in jene wenigen Regeln (nur eine!) zusammenfassen lässt. —</p><lb/>
<p>Nachdem die Theorie hiermit erledigt, mögen noch einige Bei-<lb/>
spiele zu den verschiedenen gültigen Modi gegeben werden, dergleichen<lb/>
sofort zur Hand zu haben dem Lehrer sicherlich willkommen ist.</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Barbara</hi> finden sich solche schon in § 4 zur Genüge angeführt.</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Celarent</hi>. Die theoretischen Überzeugungen sind vom Willen<lb/>
unabhängig. Was vom Willen unabhängig ist, kann nicht durch Straf-<lb/>
gesetze erzwungen werden. Ergo: Theoretische Überzeugungen können nicht<lb/>
durch Strafgesetze erzwungen werden. (<hi rendition="#g">Ueberweg</hi>.) — Anderes Beispiel:<lb/>
<hi rendition="#et">Hasen und Kaninchen sind Nagetiere.<lb/>
Kein Nager ist ein Wiederkäuer.</hi><lb/>
Ergo: Hasen und Kaninchen sind keine Wiederkäuer.<note place="foot" n="*)">Als im Gegensatz zu dieser Konklusion stehend vergleiche man im dritten<lb/>
Buch <hi rendition="#g">Mosis</hi>: Kap. XI, Vers 4 bis 6, sowie 5 <hi rendition="#g">Moses</hi> XIV, 7.</note></p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Darii</hi>. Einige Raubvögel sind Eulen. Die Eulen sind Nachtvögel.<lb/>
Einige Raubvögel müssen also Nachtvögel sein. (R. <hi rendition="#g">Grassmann</hi>.) Eben-<lb/>
dazu: Einige Gase sind Metalle (z. B. Wasserstoffgas, Quecksilberdampf).<lb/>
Alle Metalle sind gute Leiter der Elektrizität. Folglich: Einige Gase sind<lb/>
gute Leiter. — Desgleichen (wenn man will, auch zu Disamis, etc.):</p><lb/>
<p>Krisen des Handels und der Industrie (sog. „Krache“) sind periodisch.<lb/>
Solche Krisen pflegen die Menschen zu überraschen. Also gibt es Ereig-<lb/>
nisse, die mit periodischer Regelmässigkeit eintreten und gleichwol die<lb/>
Menschen überraschen. (F. A. <hi rendition="#g">Lange</hi><hi rendition="#sup">1</hi>, p. 82.)</p><lb/>
<p>NB: Durch Verwendung einer Prämisse, wie diese: Katastrophen zu<lb/>
deren Zustandekommen (wie z. B. bei einer Panik) das Gemüt der Menschen<lb/>
wesentlich mitwirkt, lassen sich dadurch unschädlich machen oder ver-<lb/>
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— als Obersatz, sowie etwa: Gegenwärtig naht wieder eine Handelskrise<lb/>
— als eines Untersatzes — und geschickt darauf gebaute Schlüsse würden<lb/>
zu geeigneter Zeit sich offenbar grosse Summen gewinnen resp. retten<lb/>
lassen — sodass sich der „Wert der Syllogistik“ unter Umständen nach<lb/>
Millionen berechnen lassen dürfte. — Desgleichen:</p><lb/>
<p>Alle Quadrate sind Vierecke. Einige Parallelogramme sind Quadrate.<lb/>
Ergo: Einige Parallelogramme (sogar alle!) sind Vierecke. (<hi rendition="#g">Ueberweg</hi>.)</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">Zwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Das Beispiel zeigt, dass auch die Modi der ersten Figur unter Um-<lb/>
ständen wenig wertvolle Konklusionen liefern können, was stets zu thun<lb/>
<hi rendition="#g">Kant</hi><hi rendition="#sup">2</hi> zu Unrecht denen der drei andern Figuren vorwirft.</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Ferio</hi>. „Einige Genüsse sind nachteilig. Nichts Nachteiliges ist<lb/>
erstrebenswert. Ergo: Einige Genüsse sind nicht erstrebenswert.“</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Cesare</hi>. Diamant zeigt keine Doppelbrechung. Dieser Krystall<lb/>
zeigt Doppelbrechung. Also ist er kein Diamant. (<hi rendition="#g">Sigwart</hi>.)</p><lb/>
<p>Desgleichen: Kein griechisches Wort geht auf <hi rendition="#i">m</hi> aus; praeambulum<lb/>
geht auf <hi rendition="#i">m</hi> aus; also ist es kein griechisches Wort. (<hi rendition="#g">Pommer</hi>.)</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Camestres</hi>. Der Astronom <hi rendition="#g">Leverrier</hi> schloss: Die Gesamtheit<lb/>
der Planeten bestimmt die Störungen des Uranus in seiner Bewegung um<lb/>
die Sonne. Die zur Zeit bekannten Planeten<note place="foot" n="*)">Als Kollektivum. Beide Prämissen sind hier singuläre Urteile.</note> sind nicht ausreichend zur<lb/>
Erklärung der beobachteten Störungen des Uranus. Also bilden sie nicht<lb/>
die Gesamtheit der Planeten — eine negative Einsicht, welche die Ent-<lb/>
deckung des Neptun vorbereitete. (<hi rendition="#g">Ueberweg</hi>.) Man bemerkt, dass die<lb/>
Konklusion hier eigentlich als Ungleichung aufgefasst sein will, womit über<lb/>
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<p>Zu <hi rendition="#g">Festino</hi>. Einige Schwimmvögel sind Enten. Kein Schwan ist<lb/>
eine Ente. Gewiss also sind einige Schwimmvögel nicht Schwäne.</p><lb/>
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<p>Zu <hi rendition="#g">Baroco</hi>. Manche nützliche Dinge sind gar nicht selten. Alle Edel-<lb/>
steine sind selten. Folglich sind manche nützliche Dinge nicht Edelsteine.</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Disamis</hi>. Die Käfer sind Insekten (Kerfe). Einige Käfer sind<lb/>
Wassertiere. Ergo: Einige Insekten sind Wassertiere. (R. <hi rendition="#g">Grassmann</hi>.)</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Datisi</hi>. „Einige Zufriedene sind arm. Alle Zufriedenen sind be-<lb/>
neidenswert. Ergo: Einige Arme sind beneidenswert.“</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Bocardo</hi>. Manche von den der Zauberei angeklagten Personen<lb/>
haben sich selbst nicht für unschuldig gehalten. Alle der Zauberei Ange-<lb/>
klagten waren eines eingebildeten Verbrechens beschuldigt. Ergo: Einige<lb/>
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<p>Der Rhombus ist gewöhnlich nicht gleichwinklig. Der Rhombus ist<lb/>
ein gleichseitiges Polygon. Also: Manche gleichseitige Polygone sind nicht<lb/>
gleichwinkling.</p><lb/>
<p>Es ist nicht angängig, mit <hi rendition="#g">Pommer</hi><hi rendition="#sup">1</hi> schlechtweg zu sagen: der<lb/>
Rhombus ist nicht gleichwinklig — wo dann der Schluss unter den Modus<lb/>
(falsch-)Felapton fallen würde — sintemal es auch gleichwinklige Rhomben<lb/>
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<p>Zu <hi rendition="#g">Ferison</hi>. Das Eisen ist nicht organisch. Einiges „Eisen(?)“ ist<lb/>
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(<hi rendition="#g">Pommer</hi>.)</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Calemes</hi>. Der Storch ist ein Sumpfvogel (Stelzengänger.) Kein<lb/>
Sumpfvogel ist ein Schwimmvogel. Ein Schwimmvogel kann also kein<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 43. Beispiele.</fw><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Dimatis</hi>. Käfer sind Insekten. Einige Wassertiere sind Käfer.<lb/>
Einige Insekten, also, sind Wassertiere. (R. <hi rendition="#g">Grassmann</hi>.)</p><lb/>
<p>Zu <hi rendition="#g">Fresison</hi>. Einige Mongolen sind von blonder Rasse. Kein Ger-<lb/>
mane ist ein Mongole. Also sind einige blonde Rassen nicht Germanen.</p><lb/>
<p>Obwol sie hier als „falsch“ bezeichnet sind und theoretisch erst<lb/>
im nächsten Paragraphen erledigt werden, wollen wir um mit der<lb/>
Exemplifikation der traditionellen Syllogismen zu Ende zu kommen,<lb/>
hier sogleich auch die übrigen Modi anreihen.</p><lb/>
<p>Vor allen die Modi Darapti und Felapton, obwol eigentlich Enthy-<lb/>
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forderlichen Ergänzung (auf Grund als existirend anerkannter Individuen<lb/>
der Subjektklasse) doch ungemein häufig zur Anwendung; sie spielen in<lb/>
den Raisonnements der Wissenschaften sowol als des gemeinen Lebens un-<lb/>
bestreitbar eine Rolle. Einige Beispiele werden dies erkennen lassen:</p><lb/>
<p>Zu (falsch) <hi rendition="#g">Darapti</hi>. Die 2 ist eine Primzahl; 2 ist eine gerade<lb/>
Zahl; ergo: Einige Primzahlen (mindestens eine, und in der That nur diese<lb/>
eine) sind gerade. [Enthymematisch war zu unterstellen: Es gibt eine<lb/>
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<p>„Die Eulen sind Raubvögel; die Eulen sind nützlich(e Tiere); ergo:<lb/>
Einige Raubvögel sind nützlich.“</p><lb/>
<p>„Kalium ist Metall; Kalium schwimmt auf dem Wasser; ergo: Einige<lb/>
Metalle schwimmen auf dem Wasser.“</p><lb/>
<p>Die Wale sind Säugetiere; die Wale haben Flossen; also: Einige<lb/>
Säugetiere haben Flossen. (R. <hi rendition="#g">Grassmann</hi>.)</p><lb/>
<p>Es gibt Steine, die Eisen anziehen, weil (der Magnet) das Magneteisen<lb/>
ein Stein ist und Eisen anzieht. (<hi rendition="#g">Pommer</hi>.)</p><lb/>
<p>Die Rytina Stelleri (Seekuh) hätte eines der nützlichsten Tiere werden<lb/>
können. Sie wurde vom Menschen ausgerottet. Also wurden einige der<lb/>
(potentiell) nützlichsten Tiergattungen vom Menschen ausgerottet. —</p><lb/>
<p>Zu (falsch) <hi rendition="#g">Felapton</hi>. Man sage: „<hi rendition="#i">nicht</hi> gehegt oder geschont oder<lb/>
erhalten“ statt „ausgerottet“ im letzten Beispiel.</p><lb/>
<p>Natrium ist Metall; Natrium geht im Wasser nicht unter (sinkt nicht<lb/>
etc.); ergo: Einige Metalle gehen im Wasser nicht unter. Etc.</p><lb/>
<p>Zu (falsch) <hi rendition="#g">Fesapo</hi>. Alle Fische atmen durch Kiemen. Kein Wal-<lb/>
fisch ist ein Fisch. Ergo: Einige Kiemenatmer sind nicht Walfische — so-<lb/>
gar alle, was aber nicht „folgte“!</p><lb/>
<p>Die Pferde sind Säugetiere. Kein Wiederkäuer ist ein Pferd. Also:<lb/>
Einige Säugetiere sind nicht Wiederkäuer. (R. <hi rendition="#g">Grassmann</hi>.) —</p><lb/>
<p>Zu (falsch) <hi rendition="#g">Bamalip</hi>. Die Wale (Cetaceen) sind Säugetiere; die<lb/>
Walrosse sind Wale. Also müssen einige Säugetiere Walrosse sein. (Der-<lb/>
selbe.) [Die vollständige Konklusion würde sein: Alle Walrosse sind<lb/>
Säugetiere.]</p><lb/>
<p>Die übrigen abgeschwächten Modi zu exemplifiziren überlassen wir dem<lb/>
Leser. Desgleichen in Bezug auf sämtliche Modi zu thun, wird als eine<lb/>
vorzügliche Denkübung vielseitig empfohlen. Gute Beispiele zu ersinnen,<lb/>
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ist in der That nicht leicht, als namentlich solche, die für sich hingestellt<lb/>
<hi rendition="#i">herausgerissen aus dem Zusammenhange</hi> solcher Überlegungen, in welchen<lb/>
sie vielleicht verwertet vorkommen, schon irgend einen Nutzen, eine weitere<lb/>
Verwendbarkeit der gezogenen Konklusion erkennen liessen. Das ist aber<lb/>
auch viel verlangt! Dergleichen gute Beispiele sind immer noch als <hi rendition="#i">rar</hi><lb/>
zu bezeichnen, und möge der kritisch aufgelegte Leser, der an dem einen<lb/>
oder andern von den angeführten Beispielen kein Gefallen findet, selbst<lb/>
deren bessere aufstellen! —</p><lb/>
<p>Nicht unwichtig ist noch die Frage, wie man einem Syllogismus<lb/>
schon äusserlich ansehen könne, ob er gültig ist — genauer gesagt,<lb/>
einem Schlusse „von syllogistischer Form“, welcher nämlich aus zwei<lb/>
kategorischen Urteilen über drei Terme ein drittes ableitet, das den<lb/>
doppelt vorkommenden Term nicht mehr enthält, sondern nur noch<lb/>
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<p>Frau <hi rendition="#g">Franklin-Ladd</hi> gibt <hi rendition="#sup">1</hi> p. 41 hiefür eine Regel, welche<lb/>
darauf hinausläuft, den Syllogismus in eine Inkonsistenz zu verwandeln<lb/>
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<p>Zu dem Ende <hi rendition="#i">bilde man</hi> zunächst <hi rendition="#i">das kontradiktorische Gegenteil<lb/>
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so konvertirte Konklusion halte man mit den beiden Prämissen zu-<lb/>
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gemeinsame Term mit entgegengesetzter Qualität</hi> (einmal negirt einmal<lb/>
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mit durchweg der gleichen Qualität. Dann und nur dann wird der<lb/>
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<p>Für „alle <hi rendition="#i">A</hi> sind <hi rendition="#i">B</hi>“ sage man also: <hi rendition="#i">„nichts ist A und</hi> zugleich<lb/>
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<p>[Als unwesentlich kann es dagegen unterbleiben, für „einige <hi rendition="#i">A</hi> sind<lb/>
<hi rendition="#i">B</hi> resp. nicht <hi rendition="#i">B</hi>“ auch noch zu sagen „es gibt <hi rendition="#i">A</hi>, die <hi rendition="#i">B</hi> resp. nicht-<hi rendition="#i">B</hi><lb/>
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bezüglich mit der nämlichen Qualität auftreten, wie in der vorigen.]</p><lb/>
<p>Diese Zumutung scheint mir eine geringere zu sein als diejenige der<lb/>
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einer bejahenden ausgedrückt werde — wodurch leicht die Nötigung ent-<lb/>
steht zur Bildung von Sätzen mit negativem Subjekte, ausserdem aber auch<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 44. Die inkorrekten Syllogismen der Alten.</fw><lb/>
noch unbequeme Satzbildungen entstehen, wie: „Spartaner sind-nicht nicht-<lb/>
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<p>So ist z. B. der Schluss (ibidem):</p><lb/>
<p>„Alle Menschen sind sterblich. Einige Sterbliche sind glücklich. Also<lb/>
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oder:) Nichts ist <hi rendition="#i">Mensch</hi> und <hi rendition="#i">glücklich</hi> —<lb/>
welche ungültig ist aus dem doppelten Grunde, weil der dem ersten und<lb/>
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vorkommt.</p><lb/>
<p>Man bemerkt sogar, dass die obige Umschreibung von universal<lb/>
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bleiben kann, wofern man nur <hi rendition="#i">sich hütet</hi>, <hi rendition="#i">die in dem verneinenden Artikel</hi><lb/>
„<hi rendition="#i">kein</hi>“ <hi rendition="#i">liegende negative Qualität dem einen oder andern Terme zuzu-<lb/>
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anstatt der oben geforderten Umschreibung in Existenzialurteile —<lb/>
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Term, <hi rendition="#i">und</hi> von allen <hi rendition="#i">nur dieser</hi>, entgegengesetzte Qualitäten aufweise.</p><lb/>
<p>So ist das auch noch von Frau <hi rendition="#g">Franklin</hi> aufgeführte Beispiel:</p><lb/>
<p>Nur Griechen sind tapfer. Alle Spartaner sind Griechen. Ergo:<lb/>
Alle spartaner sind tapfer — äquivalent der Inkonsistenz:</p><lb/>
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Einige <hi rendition="#i">Spartaner</hi> sind <hi rendition="#i">nicht-tapfer</hi> —<lb/>
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<p>Am übersichtlichsten dürfte sich allemal solche Umschreibung in der<lb/>
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<p>Zum Schlusse seien hier wenigstens noch erwähnt <hi rendition="#g">Cunynghame’</hi>s<lb/>
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stellung in der exakten Logik. Über Subalternation und Konversion.<lb/>
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<p>Von den noch übrigen Syllogismen zerfallen zunächst die vier<lb/>
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<p>derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein-<lb/>
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der sich aber unterscheidet von dem des isolirten Modus.</p><lb/>
<p>Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar-<lb/>
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§ 42 bezüglich Darapti schon zeigten. Sodann: indem man den Mittel-<lb/>
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geschrieben zu werden braucht. Wie man sieht, stellt die Konklusion,<lb/>
d. h. der Satz „Einige <hi rendition="#i">a</hi> sind <hi rendition="#i">c</hi>“ dann auch die <hi rendition="#i">volle</hi> Resultante der<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 44. Ihre Richtigstellung in der exakten Logik.</fw><lb/>
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<p>Von dem hiermit etablirten Ergebnisse: „alle <hi rendition="#i">c</hi> sind <hi rendition="#i">a</hi>“ zu<lb/>
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<p>Die Äquivalenz jener beiden Konklusionen lässt sich auch leicht<lb/>
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Inkonsistenz unterdrückt werden. — Am schnellsten folgt <hi rendition="#i">ξ</hi>) aus Th. 20<hi rendition="#sub">×</hi>)<lb/>
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begründen, kann man auch so verfahren. Es ist nach Th. 6̄<hi rendition="#sub">×</hi>):<lb/>
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und dieses wiederum:<lb/>
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<p>Ebenso wie der hauptmodus Bamalip verhalten sich die fünf<lb/>
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<p>Untersuchen wir jedoch die Berechtigung zu dem bei dieser Ab-<lb/>
schwächung beobachteten Verfahren.</p><lb/>
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<p>Die exakte Logik zeigt, dass dies <hi rendition="#i">nicht</hi> der Fall sein kann, indem<lb/>
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<p>Zu merken ist hienach: dass ein <hi rendition="#i">Folgern durch Subalternation in<lb/>
der exakten Logik unzulässig ist</hi>.</p><lb/>
<p>Und da mit dieser Art von Schlussfolgerungen sich auch noch<lb/>
eine andere Folgerungsweise der traditionellen Logik: die sogenannte<lb/>
„<hi rendition="#i">Konversion durch Limitation</hi>“, „<hi rendition="#i">conversio per accidens</hi>“ auf das naheste<lb/>
verwandt erweist, so wollen wir den Anlass ergreifen, die „Konversion“<lb/>
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<p>Die Konversion gehört (ebenso wie die „Subalternation“) zu den<lb/>
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<p>Wir haben deren bereits eine grosse Menge kennen gelernt, darunter<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 44. Über Subalternation und Konversion.</fw><lb/>
fielen — wie bei dem Schlusse von <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b c</hi> auf <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>, oder von <hi rendition="#i">a b</hi> ≠ 0<lb/>
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<p>Im engsten Sinne sollen die „unmittelbaren Folgerungen“ blos an-<lb/>
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(wiederum von einer dieser vier Arten) <hi rendition="#i">in Bezug auf diese nämlichen<lb/>
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<p>Eine solche Folgerung heisst <hi rendition="#i">Konversion</hi>, wenn Subjekt und Prädi-<lb/>
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getauscht, ihren Charakter verkehrt, konvertirt haben.</p><lb/>
<p>Die Frage ist also, falls man für <hi rendition="#i">A</hi> als Subjekt und <hi rendition="#i">B</hi> als Prädi-<lb/>
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Verifikation vereinfacht werden kann durch die Bemerkung, dass die sechs<lb/>
Aussagen zerfallen in zwei Tripel von einander paarweise entsprechenden:<lb/>
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vertauschung in einander überführbar.</p><lb/>
<p>Die verbale Logik unterscheidet nun: die <hi rendition="#i">einfache</hi> Konversion,<lb/>
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<p>Unreine Konversion könnte nur gerechtfertigt erscheinen bei Zugrunde-<lb/>
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<p>Dann freilich könnten wir ein Urteil, wie „Alle Möpse sind Hunde“<lb/>
auch zweimal konvertiren — so wie es <hi rendition="#g">Lotze</hi><hi rendition="#sup">1</hi> p. 105 andeutet — und<lb/>
würde erstmals sich durch die (oben zurückgewiesene) unreine Konversion<lb/>
ergeben: „Einige Hunde sind Möpse“, und daraus durch abermalige, und<lb/>
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<p>Anlässlich dieses Beispiels wollen wir noch einer falschen Auffassung<lb/>
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<p>Die Prämisse des letzten Schlusses könnte als Konklusion der vorher-<lb/>
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durch den Zusatz „Es gibt Möpse“ ergänzte und so den hier ein Enthy-<lb/>
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<p>Auch ohne solche Herleitung mag man aber auch den Satz: „Einige<lb/>
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Möpse sind Hunde) zurückkommt, vielmehr die logischen Operationen hier<lb/>
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<p>Darüber hinaus geht aber zu meiner Verwunderung F. A. <hi rendition="#g">Lange</hi><hi rendition="#sup">1</hi>,<lb/>
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alle Körper der Gravitation unterworfen sind, kann ich nimmermehr die<lb/>
unvollständige Erkenntniss ableiten, dass mindestens ein Teil der Körper<lb/>
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folgen. … Sagt man ‥ aus dem Urteil »alle Menschen sind sterblich«<lb/>
<hi rendition="#i">folge</hi> das Urteil »mindestens einige Menschen sind sterblich«, so leitet man<lb/>
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<p>Dies ist durchaus nicht gelten zu lassen: Selten ist ja die Konklusion<lb/>
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<p>So lassen wir ja bei Anwendung des Syllogismus Barbara auch alle-<lb/>
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genannt werden, indem er aus der „Gewissheit“, dass die Zahl <hi rendition="#i">a</hi> die <hi rendition="#i">b</hi> um<lb/>
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<p>Analog haben wir nun oben bei der Ableitung des Schlusssatzes:<lb/>
„Einige Möpse sind Hunde“ nur einfach den Teil unsres Wissens fallen<lb/>
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ist in dem erwähnten Beispiel ohne weiteres nicht abzusehen und in Bezung<lb/>
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gelegen und denselben auch für die Diskussionen des gemeinen Lebens un-<lb/>
geeignet erscheinen lässt, wären ähnliche Bemerkungen am Platze, wie die,<lb/>
welche wir schon in § 4 an ein anderes typisches Beispiel angeknüpft haben.</p><lb/>
<p>Zutreffend sagt <hi rendition="#g">De Morgan</hi><hi rendition="#sup">2</hi> p. 56: <hi rendition="#i">„Einige“</hi> in der Logik heisst<lb/>
<hi rendition="#i">„eines oder mehr und vielleicht alle“</hi>. Wer da sagt <hi rendition="#i">„einige sind ‥“</hi>, dem<lb/>
darf nicht die Meinung untergelegt werden <hi rendition="#i">„die übrigen</hi> (the rest) <hi rendition="#i">seien<lb/>
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(„complex“) partikulare Urteil fällt, dem „einige sind“ die Nebenbedeutung<lb/>
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<p>Wenn aber <hi rendition="#g">De Morgan</hi> noch hinzufügt, eine partikulare Proposition<lb/>
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so können wir dies hier nur cum grano salis gelten lassen, hier, wo das<lb/>
partikulare Urteil sich immer wesentlich vom universalen unterscheidet<lb/>
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<p>Das partikulare Urteil schliesst uns das entsprechende universale nicht<lb/>
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<p>Der Wert eines Schlussmodus ist überhaupt nicht eine Angelegen-<lb/>
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<p>Sagen wir nun z. B.: Einige Menschen sind schwarz, so frägt es sich,<lb/>
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wie geordneten) Prämissen.<note place="foot" n="*)">Bei der Mannigfaltigkeit der Weisen, auf welche Syllogismen zu zu-<lb/>
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<p>Durch Verbindung der beiden Modi der ersten Figur, welche also<lb/>
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<p>Auch diesen letzteren führt <hi rendition="#g">Sigwart</hi><hi rendition="#sup">1</hi> p. 413 als „Schluss aus einem<lb/>
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symbole gesetzt wird: jene Ungleichheit wäre eine ganz selbstverständliche,<lb/>
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<p>Indessen haben wir mit derartigen Formeln, mit Formeln von<lb/>
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<hi rendition="#i">müssen</hi>, nicht unbedingt, notwendig gelten — welch’ letzteren mit<lb/>
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<p>Von den zahlreichen Formeln dieser beiden Sorten ist nur eine<lb/>
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im allgemeinen diejenigen Formeln, in welchen nur <hi rendition="#i">unverneinte</hi> Um-<lb/>
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<p>Um sogleich mit einem Paar von Sätzen zu beginnen, welche<lb/>
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<p>Damit aber diese Gleichung gelten könne, muss<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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<p>Ein solches bietet die Figur 8<hi rendition="#sub">×</hi>, resp. 8<hi rendition="#sub">+</hi> des § 6 — Bd. 1, S. 205.<lb/>
Daselbst erblickt man linkerhand ein Gebiet <hi rendition="#i">c</hi>, in welchem zwar das Ge-<lb/>
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Ebenso rechterhand ein in <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> enthaltenes <hi rendition="#i">c</hi>, welches gleichwol weder<lb/>
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<p>In Worten klingt der Satz <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">+</hi>) vollkommen selbstverständlich:</p><lb/>
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<p>Hiezu kommt noch, dass der Satz <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">+</hi>) auch im Klassenkalkul Geltung<lb/>
beansprucht, wenn unter dem Zeichen <hi rendition="#i">c</hi> nicht von einer Klasse, sondern<lb/>
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butionsgesetzes in § 12 uns in ebendiesem Sinne auf ihn berufen mussten.</p><lb/>
<p>Weniger einleuchtend klingt der Satz <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">×</hi>): Wenn die Aussage <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
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<p>Dennoch ist auch dieser Satz korrekt und lassen beide Sätze mit<lb/>
dem gemeinen Verstand auch in folgender Weise sich begreifen:</p><lb/>
<p>Wir haben für die drei Aussagen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi> a priori folgende Möglich-<lb/>
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diesen letztern Aussagen mithin die rechte Seite des Theorems zutrifft,<lb/>
zusammenfallen mit den 7 rechts besternten Fällen in welchen auch die<lb/>
andre Seite des Theorems zutraf.</p><lb/>
<p>Der siebente Fall links und der zweite rechts ist der einzige, wo die<lb/>
eine (und dann ebenso auch die andre) Seite dieser Aussagenäquivalenz<lb/>
nicht zutrifft, etwas Falsches besagt. In jenen 7 Fällen lief unser Theo-<lb/>
rem auf die Identität i = i, in diesem einen Falle auf 0 = 0 hinaus,<lb/>
d. h. es bewahrheitete sich durchaus.</p><lb/>
<p>Dehnt man die Sätze <hi rendition="#i">α</hi>) auch auf beliebig viele Operationsglieder<lb/>
(Terme) aus und verwendet dann zu ihrer abgekürzten Darstellung<lb/>
Produkt- und Summenzeichen, so entstehen bei der Annahme<lb/>
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position, gemäss Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) hervorgehn.</p><lb/>
<p>Dieselben bilden das Gegenstück zur ersten Zeile der Theoreme<lb/>
§ 40, <hi rendition="#i">β</hi>), erweisen sich indessen als blosse Umschreibungen von eben-<lb/>
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diesen auf Grund der Formeln § 32, <hi rendition="#i">ζ</hi>) und <hi rendition="#i">η</hi>). Analog könnte man<lb/>
dann auch noch die Formeln der zweiten Zeile von § 40, <hi rendition="#i">β</hi>) für den<lb/>
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— mit raummangelshalber gebrochenem Mittelstriche; es soll dabei<lb/>
die Chiffrirung Bezug haben auf denjenigen Satz, welcher sich durch<lb/>
Vergleichung des mittleren Terms mit einem der beiden äussersten<lb/>
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</table></p> <p>Ähnlich wie bei <hi rendition="#i">ϑ</hi>) sollen die Chiffren gedeutet werden bei den<lb/>
Formeln:<lb/>
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<hi rendition="#i">λ</hi>) erweisen; desgleichen bei den Formeln:<lb/>
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<p>Die wichtigsten von diesen Sätzen dürften die <hi rendition="#i">ε</hi>) und <hi rendition="#i">ϑ</hi>) sein.</p><lb/>
<p>Viele von diesen Sätzen finden sich in <hi rendition="#sup">5</hi> und <hi rendition="#sup">8</hi> zerstreut bei <hi rendition="#g">Peirce</hi>,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 45. Formeln gemischter Natur.</fw><lb/>
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geschickten) Corrigenda seines Aufsatzes <hi rendition="#sup">5</hi>, Z. 10 und 14 v. o. Seine<lb/>
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Nicht zu billigen dürfte auch in <hi rendition="#sup">8</hi> p. 188 sqq. die Art sein, wie Klammern<lb/>
weggelassen werden.</p><lb/>
<p>Ausser dergleichen kleinen Berichtigungen lag mir ob, die Sätze dua-<lb/>
listisch zu ergänzen, was bei den gemischten Formeln weniger nahe liegt<lb/>
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valenz <hi rendition="#i">ϑ</hi><hi rendition="#sub">×</hi><hi rendition="#sup">0</hi>) hervorgehoben zu haben, welcher letztern übrigens Herr Peirce<lb/>
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<p>Zunächst die Sätze aussagenrechnerisch zu <hi rendition="#g">beweisen</hi> ist nach den<lb/>
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listisch entsprechende zu erkennen, muss man die gemischten sich erst<lb/>
in reine Formeln umgeschrieben denken.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Jede Formel gemischter Natur im Aussagenkalkul lässt sich</hi> in der<lb/>
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gedeutet werden könnten, indem sie eben mit spezifizirten Aussagen<lb/>
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verhilft das Schema <hi rendition="#i">ε</hi>) des § 32, nach welchem wir für <hi rendition="#i">a</hi> blos<lb/>
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(<hi rendition="#i">a</hi> = 0).</p><lb/>
<p>Lässt man hernach den Tupfen über der i weg und deutet alle<lb/>
einfachen Symbole (anstatt als Aussagen) jetzt als Gebiete oder<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
Klassen<note place="foot" n="*)">Ohne Rücksicht darauf, ob sie dann auch mit der „weiteren Geltung“<lb/>
fortbestehen werden.</note>, so ist es ein Leichtes, die Formeln gemäss den am Schlusse<lb/>
des § 30 gegebenen Andeutungen „gebietsdual“ umzuschreiben und so<lb/>
eventuell erst ihr duales Gegenstück zu ermitteln.</p><lb/>
<p>In der That bekommen wir nun solchergestalt aus dem Obigen<lb/>
das Tableau von „reinen“ Formeln:<lb/>
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nur zuweilen auch noch eine Buchstabenvertauschung verbunden hatten.</p><lb/>
<p>In dieser Fassung zeigen die meisten dieser Formeln sogar die<lb/>
weitere Geltung, worauf die Abwesenheit des Sternes hinweisen soll,<lb/>
und auch die besternten Gleichungen <hi rendition="#i">ζ</hi>), <hi rendition="#i">ϑ</hi>) gelten für alle Klassen<lb/>
wenigstens einseitig, nämlich rückwärts als Subsumtionen gelesen.</p><lb/>
<p>Es erscheinen nämlich die Formeln <hi rendition="#i">γ</hi>) als blosse Umschreibungen der<lb/>
Definitionen (2), desgleichen die <hi rendition="#i">η</hi>), welche aus denen <hi rendition="#i">γ</hi>) — die erstere <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>)<lb/>
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<p>Ebenso erscheinen <hi rendition="#i">δ</hi>) und <hi rendition="#i">ε</hi>) als blosse Umschreibungen der Theo-<lb/>
reme 5).</p><lb/>
<p>Dass auch im Klassenkalkul:<lb/>
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</table> versteht sich nach dem Schema <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">B</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">A</hi>) von selbst — vergleiche<lb/>
weiter unten die Formulirung dieses Schema’s in Worten. Desgleichen gilt<lb/>
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auf die Prämisse 0 verweisendes jedenfalles.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.</fw><lb/>
<p>Dass aber — um es wenigstens links vom Mittelstriche durchzu-<lb/>
sprechen — die vorwärtigen Subsumtionen:<lb/>
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ersten Falle muss in der That nach der Voraussetzung des Satzes und<lb/>
Th. 5<hi rendition="#sub">×</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> = 1) = i sein oder <hi rendition="#i">a</hi> = 1 gelten. Im letzteren Falle aber<lb/>
trifft die Voraussetzung des Satzes für ein beliebiges <hi rendition="#i">a</hi> schon zu, ohne dass<lb/>
doch <hi rendition="#i">a</hi> = 1 sein müsste. Also braucht der Satz nicht zu gelten. Und an<lb/>
die Annahme (<hi rendition="#i">a</hi> = 1) resp. (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) der hypothetischen Prämisse von <hi rendition="#i">ϑ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>)<lb/>
resp. <hi rendition="#i">ϰ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) lässt sich eine ähnliche Überlegung anknüpfen. Ist bei <hi rendition="#i">ϑ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) wirk-<lb/>
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<p>Überhaupt lassen die Formeln sowol in ihrer letzten, wie auch<lb/>
in ihrer früheren Fassung sich auf die mannigfaltigste Weise als selbst-<lb/>
verständliche erkennen, sich auf andere und teilweise auch aufeinander<lb/>
zurückführen.</p><lb/>
<p>Um dies hervortreten zu lassen, will ich auch die Formel <hi rendition="#i">λ</hi>) des § 32:<lb/>
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einmal in Worte kleiden:</p><lb/>
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<hi rendition="#i">a</hi> gilt — was immer für ein Urteil <hi rendition="#i">b</hi> auch vorstellen mag.</item><lb/>
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<p>Hiernächst möchte ich etwas vorgreifend das Theorem <hi rendition="#i">ϑ</hi>) ein-<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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<hi rendition="#et">„<hi rendition="#i">Wenn a gilt, so muss, falls b gilt, auch c gelten</hi>“, <hi rendition="#i">oder ob wir sagen:</hi><lb/>
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<p>Mit dem gleichen Rechte — symmetriehalber, weil <hi rendition="#i">a b</hi> = <hi rendition="#i">b a</hi> —<lb/>
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a gilt, auch c gelten</hi>“ — was der Inhalt des Theorems <hi rendition="#i">ϑ</hi><hi rendition="#sub">×</hi><hi rendition="#sup">0</hi>) von<lb/>
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<p>Dies angeführte Beispiel mag ein Bild davon geben, was für mancher-<lb/>
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sind. Die Mannigfaltigkeit erscheint hier fast zu gross, um einigermassen<lb/>
erschöpft werden zu können. Und doch kann die Disziplin erst dann in<lb/>
ihrer Schönheit hervortreten, wenn man das Zusammengehörige auch voll-<lb/>
ständig vereinigt, wogegen die verzettelten Fragmente solche Schönheit<lb/>
noch vermissen lassen werden.</p><lb/>
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<hi rendition="#i">c</hi> gilt, <hi rendition="#i">a oder b</hi> gelten, sowie umgekehrt, und muss auch <hi rendition="#i">a</hi> aus <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
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<p>Obwol sie, wie gezeigt, nur unwesentlich von denen <hi rendition="#i">δ</hi>) sich unter-<lb/>
scheiden, wollen wir doch die Formeln <hi rendition="#i">ε</hi>) auch für sich noch betrachten.</p><lb/>
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<hi rendition="#et"><hi rendition="#i">Zugegeben: wenn a gilt, so gilt b. Nun gilt a. Ergo: gilt b.</hi> Und</hi></item><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 45. Modus ponens und tollens. Dilemma.</fw><lb/>
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<p>Die Prämisse <hi rendition="#i">a</hi> bei dem modus ponens, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> bei dem modus tollens,<lb/>
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<p>Die Bezeichnung des hypothetischen Schlusses als eines „gemischten“<lb/>
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muss er unwohl sein.</p><lb/>
<p>Dagegen würden die Schlüsse:</p><lb/>
<list><item>Wenn er sich wohl befindet, so kommt er sicher. Nun kommt er; also<lb/>
befindet er sich wohl. Resp. Wenn er sich wohl befände, so käme er.<lb/>
Nun ist er aber krank, also kommt er nicht —</item></list><lb/>
<p>einfach Fehlschlüsse sein. (Vergl. Jevons <hi rendition="#sup">9</hi> p. 145.)</p><lb/>
<p>Sich ähnlich auch mit der verbalen Formulirung der noch übrigen<lb/>
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merkten Schema <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) hinzuergeben, wird ersichtlich, wenn man die Aus-<lb/>
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Aussagenkalkuls wichtige Sätze niedergelegt sind, die vielfach unsere<lb/>
verbalen Überlegungen und Diskussionen beherrschen, und schon des-<lb/>
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<p>Es dürfte hier der Ort sein, mit der am Schlusse des § 44 be-<lb/>
gonnenen Betrachtung der traditionellen zusammengesetzten Schlüsse<lb/>
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<p>Als „<hi rendition="#i">Dilemma</hi>“ wird bekanntlich bezeichnet der dort schon ange-<lb/>
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<hi rendition="#i">wenn für den Aussagenkalkul gedeutet</hi>, wo er lauten wird: <hi rendition="#i">Wenn s gilt</hi>,<lb/>
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<p>Damit solches „<hi rendition="#i">Di</hi>lemma“ seiner Namenbildung entspreche, ist übrigens<lb/>
der obige Schluss wol auf nur <hi rendition="#i">zwei</hi> Terme des Major <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> … einge-<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
schränkt zu denken, und wäre ohne diese Einschränkung streng genommen<lb/>
nur die Bezeichnung desselben als des <hi rendition="#i">erweiterten</hi> Dilemma’s (Polylemma)<lb/>
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<p>Wie weit übrigens in der Auffassung des „Dilemma“ die Autoren<lb/>
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<p>Der erste von diesen Schlüssen kommt mittelst Def. (3):<lb/>
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<p>Das „Epicheirem“ der Scholastik verdient als ein unvollständiger<lb/>
(lückenhafter, enthymematischer) Schluss in <hi rendition="#i">dieser</hi> Theorie überhaupt keine<lb/>
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<p>Auch frühere Schlussformen können nunmehr oft dilemmatisch<lb/>
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Hypothesis vermittelst des Theorems 6<hi rendition="#sub">+</hi>) gemäss Prinzip II auf die Thesis<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 45. Dilemma. Disjunktiver Schluss.</fw><lb/>
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Subsumtionen angesetzten sogar die weitere Geltung zukommen muss:<lb/>
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<p>Als „<hi rendition="#i">disjunktiven Schluss</hi>“ führt <hi rendition="#g">Sigwart</hi> den folgenden an<lb/>
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nicht. Also muss, wenn <hi rendition="#i">a</hi> gilt, <hi rendition="#i">c</hi> gelten.</p><lb/>
<p>Desgleichen für mehr disjunkte Terme, z. B. für dreie:<lb/>
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<p>Um alle diese Schlüsse direkt rechnerisch zu beweisen wird man die<lb/>
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<p>Die zugehörigen Resultanten sind bezüglich:<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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<p>Im weitern Verfolg der spezifischen Gesetze des Aussagenkalkuls<lb/>
(im Vergleiche zum Gebietekalkul) gelangen wir nunmehr zu den<lb/>
minder wichtigen wenn auch noch bemerkenswerten Partieen derselben.</p><lb/>
<p>Sehr <hi rendition="#i">paradox</hi> erscheint auf den ersten Blick das als allgemein-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 45. Kontraste des Aussagenkalkuls mit dem Gebietekalkul.</fw><lb/>
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<p>Gegenüber von Laien in Bezug auf unsre Disziplin wäre allerdings<lb/>
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irreführendes psychologisches Moment enthält, einesteils darin wurzelnd,<lb/>
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Folgerung zu verknüpfen. Ein solcher Zusammenhang liegt bei dem ganzen<lb/>
Satze vor; derselbe lehrt, eine wirkliche und berechtigte Folgerung (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>)<lb/>
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Teilurteile des Satzes oder Elemente des Schlusses gedacht werden (wenn-<lb/>
gleich sein Bestehen beim einen, bei dem andern oder bei allen beiden<lb/>
hier nicht ausgeschlossen ist); vielmehr ist hiebei nur an das faktische,<lb/>
vielleicht ganz extralogische und zufällige Zusammenbestehen ihrer Kon-<lb/>
klusion mit ihrer Prämisse zu denken, wie dasselbe durch jenen Satz:<lb/>
„Wann <hi rendition="#i">c</hi> gilt, dann gilt <hi rendition="#i">a</hi>“ genauer ausgedrückt würde — ein Verhältniss,<lb/>
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Wortsprache angemessen kurzer Ausdrucksformen entbehrt. Sagten wir<lb/>
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<p>Wie schon erwähnt kann jede Aussage nur entweder gelten (= i sein),<lb/>
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<p>hebt die Voraussetzung unsres Satzes, welche ja die Subsumtion <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> ver-<lb/>
neint, die dritte hervor, wo <hi rendition="#i">a</hi> gilt, <hi rendition="#i">b</hi> nicht gilt.</p><lb/>
<p>Für die drei andern Fälle haben wir dagegen <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>, nämlich 0 <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> 0,<lb/>
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<p>Unser Theorem sagt nun aus: <hi rendition="#i">Wenn a gilt (und zugleich b nicht gilt),<lb/>
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schnitt einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit — würde eine Illustration<lb/>
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<p>Man sieht auch, dass der vorhin in Klammer gesetzte Zusatz „(und<lb/>
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<p>Insbesondre ist es natürlich gestattet, in <hi rendition="#i">μ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) auch <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>, resp.<lb/>
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<p>Verbindet man diesen Satz mit den vier Gleichungen von Def. (3)<lb/>
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Schliessen fremde</hi> Beziehung der Nichteinordnung, des <hi rendition="#i">Nicht</hi>imgefolge-<lb/>
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hiermit geübte Kritik derselben hinstellen. Diese Sätze, deren Menge<lb/>
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<p>Die Formeln des § 29 besassen sämtlich die <hi rendition="#i">weitere</hi> Geltung, wo-<lb/>
gegen wir im gegenwärtigen Paragraphen fast lauter solche Formeln<lb/>
zusammengestellt und solche vorzugsweise aufgesucht haben, denen<lb/>
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<p>Hier drängt sich nun die nicht unwichtige Frage auf: wie kann<lb/>
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<p>Träfe schon letztere nicht zu, so könnte die Formel überhaupt keine<lb/>
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<p>Umgekehrt: Gilt eine Formel für alle Wertsysteme ihrer Buchstaben,<lb/>
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richtige oder konstant falsche) Aussagen zu deuten.</p><lb/>
<p>Die aufgeworfene Frage ist nun wie folgt zu beantworten.</p><lb/>
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<p>Gelingt es auf dem angedeuteten Wege nicht, eine fragliche Formel<lb/>
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zu begründen [welche sich dennoch nach dem Prinzip (<hi rendition="#i">a</hi> = 1) resp.<lb/>
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Geltung zukommen, sobald man auch nur <hi rendition="#i">eine</hi> Interpretation der Sym-<lb/>
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<p>Richtige Formeln des Aussagenkalkuls,<lb/>
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letzte Wort über dieselbe gesprochen hat, muss allerdings dahingestellt<lb/>
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<p>Hiermit ist denn die Formel <hi rendition="#i">γ</hi>) mit Wegfall der Punkte „…“ bewiesen.</p><lb/>
<p>Um jetzt den Satz für vier Symbolpaare <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi> nebst <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">u</hi><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. Hülfssatz zum <hi rendition="#g">Hauber’</hi>schen Satze.</fw><lb/>
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in der Logik selbst schon mit Befremden konstatirt worden ist. Zudem<lb/>
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<p>Zunächst lässt das Theorem <hi rendition="#i">α</hi>) sich auch in der Gestalt schreiben:<lb/>
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indem man etwa — konform den Ausführungen am Schlusse des § 31<lb/>
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Gleichung-faktors wieder in eine Subsumtion umwandelt, oder auch,<lb/>
indem man mit <hi rendition="#i">einem</hi> Schlage gemäss dem unter Th. 4̅1̅) mitgegebenen<lb/>
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<p>Nebenbei sei hier darauf aufmerksam gemacht dass diese Formel<lb/>
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<hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> aus der vereinigten Gleichung der Prämissen <hi rendition="#i">x a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi> = 0)<lb/>
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<p>Es kann dieser Schluss deshalb auch durch unsre allgemeine Eli-<lb/>
minationsmethode, etwa nach dem Schema <hi rendition="#i">ι</hi>) des § 41 <hi rendition="#i">gewonnen</hi> und<lb/>
gerechtfertigt werden, wobei sich herausstellt, dass die Konklusion als<lb/>
die <hi rendition="#i">volle</hi> Resultante der Elimination der Zwischenglieder zu bezeichnen.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
<p>Um dies behufs Illustration jener Methode systematisch durchzuführen,<lb/>
wird man links in <hi rendition="#i">δ</hi>) die beiden Subsumtionen in ihre vereinigte Gleichung<lb/>
zusammenziehen, wonach die Voraussetzung des behaupteten Th. <hi rendition="#i">δ</hi>) lautet:<lb/>
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pariren: <hi rendition="#et">{(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0} {<hi rendition="#i">x y</hi> + 0 · <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0}.</hi><lb/>
Hieraus nach dem Schema <hi rendition="#i">y</hi> eliminirt, gibt:<lb/>
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und hieraus endlich <hi rendition="#i">x</hi> eliminirt, gibt:<lb/>
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erfüllte, nämlich als (0 = 0) = i, zu unterdrücken war.</p><lb/>
<p>Somit in der Lage, uns auf das Theorem <hi rendition="#i">δ</hi>) berufen zu dürfen,<lb/>
mögen wir das allgemeine Theorem <hi rendition="#i">γ</hi>) nunmehr leicht wie folgt in-<lb/>
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<p>Gesetzt das Produkt irgend zweier Symbole aus der Reihe <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>, …<lb/>
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<p>Diese Folgerung <hi rendition="#i">widerspricht</hi> aber der unter den Daten des Theorems<lb/>
<hi rendition="#i">γ</hi>) befindlichen Voraussetzung, dass <hi rendition="#i">a b</hi> = 0 sei, und war folglich jene An-<lb/>
nahme <hi rendition="#i">x y</hi> ≠ 0 eine unzulässige; es muss vielmehr <hi rendition="#i">x y</hi> = 0 sein, welches<lb/>
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<p>Die Ausdrucksformen unsres Satzes betreffend kann man in <hi rendition="#i">γ</hi>)<lb/>
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<p>Dem Polynom dieser Gleichung konnte man — bei Benutzung vor-<lb/>
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<p>Auch für eine beliebige (eventuell selbst unbegrenzte) Anzahl<lb/>
Symbole lässt unser Theorem sich wie folgt in Formeln setzen:<lb/>
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wo der Apostroph über dem Summenzeichen andeuten soll, dass dem Index <hi rendition="#i">λ</hi><lb/>
jeweils nur die von <hi rendition="#i">x verschiedenen</hi> Werte aus der von diesem letztern In-<lb/>
dex zu durchlaufenden Wertenreihe beigelegt werden sollen. Will man<lb/>
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<p>Mit Leichtigkeit auch würde im Anschluss an dieses Schema jener<lb/>
Schluss von <hi rendition="#i">n</hi> auf <hi rendition="#i">n</hi> + 1 nunmehr sich in der Zeichensprache ausgeführt<lb/>
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<p>Schliesslich kann man im allgemeinen Ausdruck <hi rendition="#i">γ</hi>), <hi rendition="#i">ε</hi>) oder <hi rendition="#i">ζ</hi>) unsres<lb/>
Theorems natürlich auch die Prämisse zur Linken durch deren vereinigte<lb/>
Gleichung ersetzen. Zu dem Ende sind die Subsumtionen <hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>, etc. zu-<lb/>
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Theorems, wobei rechts die volle Resultante der Elimination von <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sup">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sup">2</hi>, ‥<lb/>
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<p>Da das in Worte gekleidete Theorem jedermann auch unmittelbar<lb/>
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kommen und halte ich mich bezüglich seines Satzes an die Angaben des Herrn<lb/>
<hi rendition="#g">Venn</hi> <hi rendition="#sup">1</hi> p. 275.</note></p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Wenn eine Gattung in die</hi> (disjunkten) <hi rendition="#i">Arten x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>, … <hi rendition="#i">zerfällt</hi>,<lb/>
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<hi rendition="#i">desgleichen in die disjunkten Arten a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, … <hi rendition="#i">und wenn wir wissen:<lb/>
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<p>[Es ist nicht nötig auch die Arten <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>, … ausdrücklich als<lb/>
disjunkte vorauszusetzen — eine Bemerkung, durch welche <hi rendition="#g">Hauber’</hi>s<lb/>
Satze anscheinend eine kleine Erweiterung zuteil wird. Und zwar<lb/>
leuchtet dieses augenblicklich auf Grund des vorausgeschickten Hülfs-<lb/>
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<p>Aussagenrechnerisch stellt sich der Satz in Gestalt der folgenden<lb/>
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soll, welche nach zweierlei Einteilungsprinzipien in gleichviele Arten<lb/>
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rechts im Einklang mit unserm Hülfssatze kund gibt, dass auch die<lb/>
letztern Arten disjunkt sein werden.</p><lb/>
<p>Es genügt, den Satz, dem wir nachher noch eine etwas elegantere<lb/>
Fassung geben werden, zunächst für die dichotomische Einteilung zu<lb/>
<hi rendition="#g">beweisen</hi>, wo er lautet:<lb/>
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Einsetzung der Gültigkeitsklassen der Teilaussagen gibt hier wieder:<lb/>
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<p>Behufs Vereinfachung konnte man, nachdem das Hülfstheorem <hi rendition="#i">α</hi>) be-<lb/>
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Klammer einschliesst.</p><lb/>
<p>Zur Rechten, im Major dagegen können nach Th. 6̄<hi rendition="#sub">×</hi>), weil<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
wonach nun die vollzogene Unterdrückung der Faktorengruppe (<hi rendition="#i">x y</hi> = 0) ‥<lb/>
bei der Konklusion sich als belanglos zu erkennen gibt, weil sie als<lb/>
blosse Wiederholung der vorausgesetzten (<hi rendition="#i">a b</hi> = 0) ‥ wegen der Gleich-<lb/>
heit der correspondirenden Symbole beider Reihen erscheinen würde.</p><lb/>
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Wegfalles jenes Faktorensystems etwas einfacher als <hi rendition="#i">ϑ</hi>) darstellen.</p><lb/>
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<p>4. <hi rendition="#g">Studie</hi>. Wichtige Erwägungen von allgemeiner Natur wollen<lb/>
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<p>Zu beweisen, dass auch <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">C</hi> inkonsistent sind. In Formeln,<lb/>
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genommenes hier jedenfalls mit überstrichener Chiffre zu citiren war.</p><lb/>
<p>Solch gelegentliches Miteingreifen des Th. 1̅5̅<hi rendition="#sub">×</hi>) — und gerade nur<lb/>
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dürfte sich gar nicht vermeiden lassen. Es scheint unmöglich zu sein<lb/>
— und ich behaupte es, solange nicht das Gegenteil dargethan wird<lb/>
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<p>Alle unsere Überlegungen führen wir gleichsam <hi rendition="#i">unter der Herr-<lb/>
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unsres Schliessens, zu denen auch alle selbstverständlichen oder ana-<lb/>
lytischen Wahrheiten gezählt werden dürfen, das Fortbestehen der-<lb/>
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stillschweigend oder ausdrücklich bleibt, auch immer wieder in Er-<lb/>
innerung gebracht, überall als wahr angemerkt werden darf — womit<lb/>
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<p>Es kann jetzt als eine vorzügliche Übung dem Studirenden em-<lb/>
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so die Paragraphen 10 und 11 zu berücksichtigen.</p><lb/>
<p>Als ein ferneres Exempel sei so noch das Th. 20) hier bewiesen,<lb/>
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<p>Analog wäre in etwas kürzerer Darstellung:<lb/>
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ungeachtet auch noch hersetzen, gerade um daran zu zeigen, wie man<lb/>
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<p>Stellt — um auch auf den in der Klammer vorstehend angedeu-<lb/>
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<p>Das Umgekehrte versteht sich ebenfalls von selbst: jeder laut<lb/>
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<p>Dies sind Thatsachen, die man beim aussagenrechnerischen Ar-<lb/>
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<hi rendition="#g">Peirce</hi> schon besonders betonten. —</p><lb/>
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<p>Die vereinigte Gleichung dieser Data lautet:<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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<p><hi rendition="#g">Auflösung</hi>. Der Ansatz lautet: 1<hi rendition="#sup">0</hi> · 2<hi rendition="#sup">0</hi>) = i, das heisst:<lb/>
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Hier haben wir nur die beiden Subsumtionen noch in Gleichungen zu<lb/>
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ausgedrückt zu haben. Entweder werden dabei nach § 41 die Glei-<lb/>
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und dies gibt links ausmultiplizirt vier Glieder.</p><lb/>
<p>Das erste wird:<lb/>
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des Ansatzes, welcher keine partikularen Prämissen enthält.</p><lb/>
<p>Das zweite Glied wird:<lb/>
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wenn man allemal erst <hi rendition="#i">x</hi>, dann <hi rendition="#i">y</hi> der genannten Regel gemäss eli-<lb/>
minirt [vergl. schon das Th. § 41, <hi rendition="#i">ι</hi>); wir haben die auszuführenden<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. Aufgabe von <hi rendition="#g">Mitchell</hi>.</fw><lb/>
Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nur<lb/>
einigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben<lb/>
benötigt sein].</p><lb/>
<p>Das dritte Glied wird ebenso:<lb/>
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<p>Endlich wird das vierte Glied — nach § 41, <hi rendition="#i">η</hi>):<lb/>
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wo die „Klausel“ <hi rendition="#i">K</hi> die Forderung kürzehalber vorstellen soll, <hi rendition="#i">dass<lb/>
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lich</hi>) <hi rendition="#i">vorstellen dürfen</hi>. Obwol dieses Thema noch nicht systematisch<lb/>
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man hier bei einigem Nachdenken doch leicht direkt ein, dass diese<lb/>
Forderung unerlässlich und hinreichend ist, damit es ein <hi rendition="#i">y</hi> geben<lb/>
könne und müsse, welches (bei nicht verschwindenden <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi>) die<lb/>
Relationen <hi rendition="#i">a y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0 und <hi rendition="#i">b y</hi> ≠ 0 gleichzeitig erfüllt.</p><lb/>
<p>Darnach sind die Data des Problems <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> der Summe unsrer vier<lb/>
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wird — ein Zufall, der Herrn <hi rendition="#g">Mitchell’</hi>s Lösung zugute kommt.<lb/>
Mithin ist<lb/>
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die gesuchte Konklusion und zwar die volle Eliminationsresultante für<lb/>
<hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>. In Worten:</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Entweder</hi> kein <hi rendition="#i">d</hi> ist <hi rendition="#i">b</hi> und alle <hi rendition="#i">d</hi> sind <hi rendition="#i">c</hi> (d. h. alle <hi rendition="#i">d</hi> sind <hi rendition="#i">c</hi> aber<lb/>
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<p>Fernere Elimination von <hi rendition="#i">c</hi> würde blos noch den Wegfall des<lb/>
Faktors (<hi rendition="#i">d</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) in obiger Resultante bewirken.</p><lb/>
<p>Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht,<lb/>
hat für das erste, zweite und dritte Glied bezüglich die Ansätze zu machen:<lb/>
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wo beim Ausmultipliziren der beiden Polynome zur Linken das Glied <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
absorbirt wurde; resp.:<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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während für das vierte Glied der nämliche Ansatz bleibt wie oben. Dies<lb/>
einmal zur Vergleichung der beiden Verfahrungsweisen!</p><lb/>
<p>Das Resultat befindet sich in Übereinstimmung mit demjenigen <hi rendition="#g">Mit-<lb/>
chell’</hi>s. Obwol derselbe die Klausel <hi rendition="#i">K</hi> übersieht und auch, wie in § 41<lb/>
gezeigt, eine zur Gewinnung der vollen Resultante nicht ausreichende<lb/>
Methode anwendet, rächen sich diese beiden Umstände in dem vorliegenden<lb/>
Exempel aus leicht erkennbaren (zum Teil vorhin angedeuteten) Gründen<lb/>
nicht, und gilt dasselbe auch von seiner Lösung der nachfolgenden Auf-<lb/>
gabe, welche ich bezeichne als</p><lb/>
<p>7. Herrn O. H. <hi rendition="#g">Mitchell’</hi>s <hi rendition="#i">Nebelbilderproblem</hi> <hi rendition="#sup">1</hi> p. 93 ‥ 95.</p><lb/>
<p>Sechs ebene Figuren <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi>, <hi rendition="#i">e</hi>, <hi rendition="#i">f</hi> auf einer Tafel (Fläche, Ge-<lb/>
sichtsfeld) verändern während einer Stunde (i) beständig ihre Grösse,<lb/>
Gestalt und Lage unter den folgenden Einschränkungen.</p><lb/>
<p>I<hi rendition="#sup">0</hi>. Die Fläche, welche <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">d</hi> zusammen bedecken, ist stets ein-<lb/>
geschlossen in der Fläche, welche <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> zusammen überdecken, <hi rendition="#i">oder</hi><lb/>
auch: manchmal (d. i. während eines gewissen Teils der Stunde) fällt<lb/>
<hi rendition="#i">e</hi> mit dem gemeinsamen Flächenteile von <hi rendition="#i">d</hi> und <hi rendition="#i">f</hi> zusammen.</p><lb/>
<p>II<hi rendition="#sup">0</hi>. Der Teil von <hi rendition="#i">a</hi>, welcher ausserhalb <hi rendition="#i">e</hi> fällt ist stets enthalten<lb/>
in dem über <hi rendition="#i">b</hi> hinaus fallenden Teile der <hi rendition="#i">d</hi> und <hi rendition="#i">f</hi> gemeinsamen Fläche,<lb/>
<hi rendition="#i">oder</hi> auch: während der ganzen Stunde trifft es für einen Teil der<lb/>
Tafel zu, dass alle darin befindlichen Teile von <hi rendition="#i">b</hi> zugleich in <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">e</hi><lb/>
hineinfallen.</p><lb/>
<p>III<hi rendition="#sup">0</hi>. <hi rendition="#i">Entweder</hi> verschwinden <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">d</hi>, während <hi rendition="#i">e</hi> die ganze Tafel<lb/>
bedeckt, <hi rendition="#i">oder</hi> die Tafel<note place="foot" n="*)">Kleine Unklarheit im Texte: mit „it“ könnte auch <hi rendition="#i">e</hi> gemeint sein.</note> wird stets von <hi rendition="#i">b</hi> oder <hi rendition="#i">c</hi> überdeckt.</p><lb/>
<p>Was kann nun <hi rendition="#i">erstens</hi> über die Beziehungen zwischen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">e</hi><lb/>
und <hi rendition="#i">f</hi> unabhängig von <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">d</hi> geschlossen werden; <hi rendition="#i">zweitens</hi> welche<lb/>
Beziehungen folgen zwischen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">e</hi> ohne Rücksicht auf <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">d</hi>, <hi rendition="#i">f</hi>?</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Auflösung</hi>. Der Ansatz des Problemes drückt sich durch die<lb/>
Relation aus:<lb/>
<hi rendition="#et">I<hi rendition="#sup">0</hi>. II<hi rendition="#sup">0</hi>. III<hi rendition="#sup">0</hi> = i, in welcher bedeutet:<lb/>
I<hi rendition="#sup">0</hi> = (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">d</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + {(<hi rendition="#i">e</hi> = <hi rendition="#i">d f</hi>) ≠ 0},<lb/>
II<hi rendition="#sup">0</hi> = (<hi rendition="#i">a e</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">d f b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + (<hi rendition="#i">b c e</hi> ≠ 0),</hi><lb/>
III<hi rendition="#sup">0</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> = 0) (<hi rendition="#i">d</hi> = 0) (<hi rendition="#i">e</hi> = 1) + (<hi rendition="#i">b</hi> = 1) + (<hi rendition="#i">c</hi> = 1),<lb/>
oder, für die nachherigen Rechnungszwecke umgeformt:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. <hi rendition="#g">Mitchell’</hi>s Nebelbilderproblem.</fw><lb/>
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<p>Von den beiden Teilden von I<hi rendition="#sup">0</hi> herrührend haben wir eigentlich<lb/>
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stimmten Teil der Stunde sich beziehen wird.</p><lb/>
<p>Diese beiden Teile sondern sich beim Ausmultipliziren von selbst, so-<lb/>
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(worauf indess Herr <hi rendition="#g">Peirce</hi> <hi rendition="#sup">8</hi> bei der Logik der Beziehungen so grosses<lb/>
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zusetzen wäre für die in genannter Hinsicht universalen, als <hi rendition="#i">u</hi> oder <hi rendition="#i">v</hi> für<lb/>
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<p>Vom dritten Produkt hat man, solange nur <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">d</hi> eliminirt sein sollen,<lb/>
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<p>Wird die Summe der Resultanten gebildet, so geht das sechste Glied<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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und für die Elimination von <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">d</hi>, <hi rendition="#i">f</hi>, wo nur der zweite Term durch (<hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0)<lb/>
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<p>Behufs Ermittelung des andern Teils der Lösung lassen wir das<lb/>
„≠ 0“ bei I<hi rendition="#sup">2</hi> zunächst unbeachtet und berücksichtigen es erst wieder beim<lb/>
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<p>Unter Fortlassung des ersten und vierten Partialproduktes, welches un-<lb/>
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<p>Ebenso entsteht nach Elimination auch des <hi rendition="#i">f</hi>:<lb/>
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und mag man behufs verbaler Interpretation die beiden Resultate<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. Studien über Theoreme von Peirce.</fw><lb/>
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— indem wegen <hi rendition="#i">e</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">f</hi> auch <hi rendition="#i">e f</hi> = <hi rendition="#i">e</hi> sein wird, resp.<lb/>
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<p>Die Ergebnisse <hi rendition="#i">ν</hi>), <hi rendition="#i">ο</hi>), sodann <hi rendition="#i">ξ</hi>), <hi rendition="#i">π</hi>) lehren in Worten:</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Entweder</hi> während der ganzen Stunde ist <hi rendition="#i">a</hi> ganz in <hi rendition="#i">e</hi> enthalten,<lb/>
oder <hi rendition="#i">c</hi> bedeckt die ganze Tafel während <hi rendition="#i">a</hi> von <hi rendition="#i">e</hi> nebst <hi rendition="#i">f</hi> überdeckt<lb/>
wird, oder <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">e</hi> haben einen Teil gemein,</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Oder</hi> während eines Teils der Stunde („manchmal“) ist <hi rendition="#i">e</hi> ganz in<lb/>
<hi rendition="#i">f</hi> eingeschlossen, während (entweder) <hi rendition="#i">a</hi> in <hi rendition="#i">e</hi> eingeschlossen erscheint,<lb/>
oder <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">e</hi> in einander greifen.</p><lb/>
<p>Beziehungsweise:</p><lb/>
<p>Immer ist <hi rendition="#i">a</hi> in <hi rendition="#i">e</hi> enthalten oder <hi rendition="#i">c</hi> bedeckt die Tafel oder ragt in <hi rendition="#i">e</hi><lb/>
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<p>Da (<hi rendition="#i">A</hi> = i) <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">A</hi> ≠ 0), so wird man in <hi rendition="#i">ξ</hi>) den ersten und dritten<lb/>
Term gegen die beiden in <hi rendition="#i">π</hi>) weglassen können, und kann letzteres Resul-<lb/>
tat einfacher darstellen durch:</p><lb/>
<p>Entweder <hi rendition="#i">c</hi> bedeckt stets die ganze Tafel oder manchmal ist <hi rendition="#i">a</hi><lb/>
in <hi rendition="#i">e</hi> enthalten oder ragt <hi rendition="#i">c</hi> in <hi rendition="#i">e</hi> hinein.</p><lb/>
<p>8. Studie.</p><lb/>
<p>In <hi rendition="#sup">5</hi> p. 34 u. 35 gibt <hi rendition="#g">Peirce</hi> in der Formelsprache des Aussagen-<lb/>
kalkuls ein paar Theoreme des Gebietekalkuls, denen ich in nächster<lb/>
Nummer ein paar analoge zugesellen werde. Für alle viere, die von<lb/>
eigentümlicher Beschaffenheit sind, vermag ich aber keine Gelegenheit<lb/>
für ihre Anwendung oder etwaige Verwertung abzusehn, sodass sie<lb/>
hier nur als Kuriosa des identischen Kalkuls und Übungen im Aus-<lb/>
sagenkalkul dargestellt und bewiesen werden sollen.</p><lb/>
<p>Herrn <hi rendition="#g">Peirce’</hi>s Theoreme lauten:<lb/>
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</table> wo die Summe jeweils auszudehnen ist über alle möglichen Gebiete<lb/>
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<p>Noch besser, vielleicht, wird man die Theoreme so schreiben:<lb/>
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</table> wo die Summen auszudehnen sind, sich erstrecken sollen über alle<lb/>
denkbaren Gebietepaare <hi rendition="#i">p</hi>, <hi rendition="#i">q</hi>.</p><lb/>
<p>Dass dieses auf das vorige hinauskommt, wird klar, wenn man<lb/>
— z. B. links vom Mittelstriche — bedenkt, dass für jedes Wertepaar<lb/>
<hi rendition="#i">p</hi>, <hi rendition="#i">q</hi>, für welches etwa <hi rendition="#i">p q</hi> ≠ <hi rendition="#i">c</hi> ist, der Faktor (<hi rendition="#i">p q</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>) = 0 sein, mit-<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
hin das betreffende Glied verschwinden, sozusagen von selbst in der<lb/>
Summe fehlen wird.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">Beweis</hi> der Theoreme (nach <hi rendition="#g">Peirce</hi>).</p><lb/>
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Da diese Subsumtion nun für jedes<lb/>
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Summirung aus der für alle diese<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. Studien zu <hi rendition="#g">Peirce’</hi>s Methode.</fw><lb/>
<p>Dies ist aber blos die Resultante „aus dem Rohen“. Um sie zur<lb/>
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<p>Die Klausel <hi rendition="#i">K</hi> fordert, dass falls die Klassen <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> sich je<lb/>
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<p>Endlich ist der letzte Faktor besagend, dass wo <hi rendition="#i">a</hi> oder <hi rendition="#i">b</hi> vorliegt, <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
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<p>Schreibt man nun die vereinigte Aussage der Data innerlich nach<lb/>
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<p>Wir geben die volle Resultante der Elimination zunächst von <hi rendition="#i">a</hi>.<lb/>
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<p>Die Unverträglichkeit ist <hi rendition="#g">Jevons</hi> entgangen.</p><lb/>
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Gattungsnamen die Rede ist, der Logik des Umfangs entsprechend im<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. Nochmals <hi rendition="#g">McColl’</hi>s Methode.</fw><lb/>
<p>Wenn man es dagegen vorzieht — und dieses scheint <hi rendition="#g">McColl</hi> zu<lb/>
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<p>So originell diese Methode ist, so sticht der behufs ihrer Anwendung<lb/>
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Lösung der vorstehenden Aufgabe (siehe l. c.) von <hi rendition="#g">Monro</hi> geforderten,<lb/>
obwol dieser sich noch der schwerfälligen <hi rendition="#g">Boole’</hi>schen Schemata bedient<lb/>
(auch abgesehen davon, dass er für die bekannten Parameter <hi rendition="#i">c d e</hi> und<lb/>
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<p>Ich möchte hier übrigens das auf S. 559 des Bd. 1 von mir Ge-<lb/>
sagte in etwas modifiziren. Dort hatte ich diejenige Methode Herrn<lb/>
<hi rendition="#g">McColl’</hi>s im Auge, welche er allgemein schematisirt hat, wie S. 591<lb/>
geschildert — welche er aber nicht anwendet!</p><lb/>
<p>Wogegen das praktisch von ihm bethätigte vorstehend illustrirte<lb/>
Verfahren (Kontext der S. 592) allerdings verdient, als eine <hi rendition="#i">vierte</hi> von<lb/>
den übrigen wesentlich verschiedene und obzwar selten, so doch zu-<lb/>
weilen auch vorteilhaftere <hi rendition="#i">Methode</hi> anerkannt zu werden. —</p><lb/>
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<p>Unter welcher Voraussetzung dürfen wir auf Grund der drei Aus-<lb/>
sagensubsumtionen („implications“):<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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<p><hi rendition="#g">Auflösung</hi>. Es handelt sich darum, das (von <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">y</hi> freie) Sub-<lb/>
jekt zu dem gegebnen Prädikate <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> zu finden.</p><lb/>
<p>Um dieses systematisch nach der im Zusatz 4 zu Th. 50) von <hi rendition="#g">Boole</hi><lb/>
gegebnen Methode zu thun, adjungiren wir zu dem Prämissensysteme die<lb/>
Gleichung:<lb/>
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Gleichung und erhalten (nicht ohne einige Rechnung):<lb/>
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wo dann der zweite Teil dieser Resultante nach <hi rendition="#i">z</hi> aufgelöst geben wird:<lb/>
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indem der Koeffizient von <hi rendition="#i">z</hi> durch den ersten zu <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi> reduzir-<lb/>
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die Antwort auf die gestellte Frage, d. h.: wenn <hi rendition="#i">b</hi> gilt während <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
nicht gelten, so muss <hi rendition="#i">x</hi> ohne <hi rendition="#i">y</hi> oder <hi rendition="#i">y</hi> ohne <hi rendition="#i">x</hi> gelten.</p><lb/>
<p>In <hi rendition="#g">McColl’</hi>s Manier hätte man, da das gesuchte Subjekt zu <hi rendition="#i">z</hi> durch<lb/>
Kontraposition aus einem Prädikate von <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, = <hi rendition="#i">x y</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, zu schliessen sein<lb/>
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Dies stimmt erst mit dem einfachern oben ermittelten Ergebniss überein,<lb/>
wenn man die oben vermerkte Resultante der Elimination von <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> mit<lb/>
berücksichtigt. Um diese auch mit <hi rendition="#g">McColl</hi> zu gewinnen, sind ausser vor-<lb/>
stehenden auch noch die Ansätze nicht zu umgehen:<lb/>
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durch deren additive Überschiebung mit jenen entsteht:<lb/>
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Durch all’ dies wird aber das Verfahren wieder umständlicher als das vor-<lb/>
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<p>Wann wird aus den (aussagenrechnerisch zu deutenden) Prämissen:<lb/>
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<p>Manches Verfahren hat also vor den übrigen keine <hi rendition="#i">unbedingten</hi><lb/>
Vorzüge, vielmehr, von Fall zu Fall wechselnd, bald Vorzüge, bald<lb/>
Nachteile und es verdient alsdann, gleich diesen, beachtet zu werden.<lb/>
Von <hi rendition="#i">jedem</hi> Verfahren, allerdings, dürfte sich dergleichen doch nicht<lb/>
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<p>17. <hi rendition="#g">Aufgabe</hi> von W. B. <hi rendition="#g">Grove</hi>, „Math. Questions“, Vol. 34,<lb/>
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<p>Wenn mein Sohn entweder Jurisprudenz oder Theologie studiren<lb/>
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nach Oxford oder nach Cambridge gehen. Geht er nach Oxford ohne<lb/>
Jus oder nach Cambridge ohne Theologie zu studiren, so fällt ihm<lb/>
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er entweder Jus oder Theologie studire. Wird er alsdann das Legat<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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Vol. 42, p. 66 u. 67, 1885. Lösung von <hi rendition="#g">Macfarlane</hi>, ihr, und Andern.</p><lb/>
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<p><hi rendition="#g">Auflösung</hi>. Bringen wir gemäss Th. 39) die Gleichung rechts<lb/>
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<p>Dieses (zuverlässig richtige) Ergebniss stimmt <hi rendition="#i">nicht</hi> mit dem von den<lb/>
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Arithmetik in den identischen Kalkul nicht ohne weiteres übertragen werden<lb/>
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<p>Das unsrige kann auch geschrieben werden in der Gestalt:<lb/>
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durchaus zusammen mit dem, was <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">d</hi> oder keins von beiden ist.</p><lb/>
<p>Diese Aussage lässt sich indess noch weiter vereinfachen. Nach Th. 3̅3̅<hi rendition="#sub">+</hi>)<lb/>
Zusatz können wir nämlich unsre Resultante auch schreiben:<lb/>
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Wir erhalten, wenn wir auch den zugefügten Aussagenfaktor (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) wieder<lb/>
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<p>Nun lässt sich (als eine Bereicherung unsres § 19) das folgende<lb/>
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<p>Dasselbe lässt sich auch leicht auf beliebig viele Argumente aus-<lb/>
dehnen zu dem noch allgemeinern Satze:</p><lb/>
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sind</hi>, und dieselben nach irgend welchen, aber beide nach den näm-<lb/>
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lichen Argumenten „entwickelt“ werden, <hi rendition="#i">so müssen die gleichnamigen<lb/>
Glieder ihrer beiderseitigen Entwickelungen bezüglich je für sich schon<lb/>
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fizienten geschlossen werden darf!) — ein Satz dessen Umkehrung<lb/>
auch, im Hinblick auf Th. 17<hi rendition="#sub">+</hi>), als selbstverständlich erscheint.</p><lb/>
<p>Am leichtesten beweist sich dieser Satz wol dadurch, dass man<lb/>
die Gleichung zwischen den beiden Funktionen durchmultiplizirt mit<lb/>
irgend einem Konstituenten ihrer Entwickelung, wo dann die mit<lb/>
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<p>Durch Kontraposition folgt aus obigem Theoreme:<lb/>
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<p>Hiernach zerfällt der zweite Teil unsrer Resultante in:<lb/>
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<p>Wir sprechen im Folgenden von <hi rendition="#i">irgend einem</hi> aber <hi rendition="#i">immer von<lb/>
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(die Person) <hi rendition="#i">A</hi> beansprucht <hi rendition="#i">es</hi> (claims it), <hi rendition="#i">B</hi>' die Aussage: <hi rendition="#i">B</hi> bean-<lb/>
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Aussage: <hi rendition="#i">es</hi> ist eine Novelle.</p><lb/>
<p>Alsdann gibt Einkleidung der Data augenscheinlich die Gleichungen:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. Wichtige Studie.</fw><lb/>
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rückwärts zu gelten haben.</p><lb/>
<p>Aus diesen folgen nun rechnerisch ganz dieselben Antworten auf<lb/>
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interpretiren diese sich auch eben dahin — resp.: Wenn <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B es</hi><lb/>
(ein Buch) zugleich beanspruchen, so ist <hi rendition="#i">es</hi> sicher politisch und ge-<lb/>
bunden, sowie deutsch oder Novelle, und umgekehrt, wenn <hi rendition="#i">es</hi> solcher<lb/>
Art ist, wird es von <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> beansprucht. desgleichen wenn es<lb/>
deutsch, politisch und gebunden ist, dann und nur dann, dann aus-<lb/>
schliesslich wird es von allen drei Personen beansprucht.</p><lb/>
<p>Suchen wir nun aber die Grenzen der Anwendbarkeit solchen<lb/>
Verfahrens zu erkenne.</p><lb/>
<p>Auf den ersten Blick scheint dasselbe auf den ganzen Klassen-<lb/>
kalkul sich ausdehnen zu lassen, und in der That ist dies auch für<lb/>
seine erste Etappe der Fall, solange und insoweit der Kalkul sich blos<lb/>
mit universalen Urteilen abgibt, nämlich sich in lauter Subsumtionen<lb/>
oder Gleichungen bewegt.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Anstatt eine Subsumtion:</hi></p><lb/>
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Klassen bestehende zu deuten</hi>, statt sie mit „alle <hi rendition="#i">a</hi> sind <hi rendition="#i">b</hi>“ zu übersetzen,<lb/>
<hi rendition="#i">kann man sie allemal auch als eine Aussagensubsumtion auslegen:</hi></p><lb/>
<p>Man spreche nur <hi rendition="#i">von irgend einem aber durchweg demselben</hi> Objekte<lb/>
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faltigkeit 1, und lasse <hi rendition="#i">a</hi> die Aussage bedeuten: „<hi rendition="#i">es</hi> gehört zur Klasse <hi rendition="#i">a</hi>“<lb/>
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die obige Klassensubsumtion, nämlich wie das Urteil: alle <hi rendition="#i">a</hi> sind <hi rendition="#i">b</hi>.<lb/>
Dasselbe gilt auch von der als Aussagenäquivalenz aufgefassten Glei-<lb/>
chung: <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0, regelrecht gedeutet als: es ist nie wahr, dass <hi rendition="#i">es</hi> (ein<lb/>
Individuum) zur Klasse <hi rendition="#i">a</hi> und zugleich nicht zur Klasse <hi rendition="#i">b</hi> gehöre.</p><lb/>
<p>Versuchen wir aber das gleiche Umdeutungsverfahren auch auf<lb/>
die verneinte Aussagensubsumtion oder die Ungleichung anzuwenden:<lb/>
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die uns im Klassenkalkul ein partikulares Urteil darstellt, besagend:<lb/>
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<fw type="header" place="top">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
leicht ist, sich auch <hi rendition="#i">b</hi> noch durch <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ersetzt zu denken — so lässt es<lb/>
uns im Stiche (vergl. S. 274).</p><lb/>
<p>Nach bekannten Sätzen, vornehmlich <hi rendition="#i">ζ</hi>) des § 32, muss nämlich sein:<lb/>
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(„Alles ist <hi rendition="#i">a</hi>, nichts ist <hi rendition="#i">b</hi>“ innerhalb der Mn.).</p><lb/>
<p>M. a. W. Für irgend ein gedachtes Individuum ist es stets wahr,<lb/>
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der That muss es sein, wenn es dem Schema <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0 gemäss nicht<lb/>
unrichtig (somit richtig) ist, dass <hi rendition="#i">es</hi> zur Klasse <hi rendition="#i">a</hi>, aber nicht zu der<lb/>
<hi rendition="#i">b</hi> gehöre.</p><lb/>
<p>Es dokumentirt sich also die Unfähigkeit des reinen Aussagen-<lb/>
kalkuls, auch partikulare Urteile einzukleiden — unbeschadet dessen,<lb/>
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Logik mitumfassen oder auch nur in Angriff nehmen zu können.</p><lb/>
<p>Versuchte man etwa, um jenen auch dazu tauglich zu machen, Summen-<lb/>
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der Mannigfaltigkeit 1 zu erstrecken hätten, so würde man ebendamit, weil<lb/>
solche Individuen <hi rendition="#i">ι</hi> irgendwelche Objekte und keine Aussagen mehr sind,<lb/>
aus dem Rahmen des Aussagenkalkuls heraus und in den des Klassenkal-<lb/>
kuls über-treten.</p><lb/>
<p>Der Aussagenkalkul selbst muss dazu stets unfähig bleiben, da<lb/>
er eben als ein nur auf Aussagen konstanten Sinnes anwendbarer kein<lb/>
Mittelding zwischen <hi rendition="#i">stets</hi> und <hi rendition="#i">nie</hi> (wahr) kennt.</p><lb/>
<p>Mit Unrecht also glaubt <hi rendition="#g">McColl</hi> in dem Umstand, dass seine Sym-<lb/>
bole stets „statements“ bedeuten — im Gegensatz zu <hi rendition="#g">Boole</hi>, wo sie<lb/>
„Dinge“ vorstellten — einen Vorzug seiner Theorie vor der <hi rendition="#g">Boole’</hi>schen<lb/>
erblicken zu dürfen; es liegt in diesem Umstande vielmehr eine grosse Be-<lb/>
schränkung, und ist von ihm, wie <hi rendition="#g">Venn</hi> <hi rendition="#sup">1</hi> p. 372 ausführt, obendrein über-<lb/>
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rische Deutung seiner Propositionen als eine mit zulässige gegeben hat.</p><lb/>
<p>In der That bemerken wir auch, dass alle von <hi rendition="#g">McColl</hi> gerechneten<lb/>
Beispiele und gestellten Aufgaben nur der ersten Stufe der Logik angehören.</p><lb/>
<p>Und weiter ist es, als mit dem Gesagten übereinstimmend, von Inter-<lb/>
esse noch folgendes zu beachten.</p><lb/>
<p><hi rendition="#g">McColl’</hi>s in § 27 angegebene Regel zur Lösung des Eliminations-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 46. Wichtige Studie.</fw><lb/>
problemes ist auch auf Systeme von <hi rendition="#g">Boole’</hi>schen Prämissen ausdehnbar,<lb/>
resp. noch anwendbar:</p><lb/>
<p>Nach <hi rendition="#g">Mitchell’</hi>s in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt-<lb/>
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Faktoren von der Gestalt sein — vergl. § 41, <hi rendition="#i">α</hi>):<lb/>
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<p>Um <hi rendition="#g">McColl’</hi>s Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage<lb/>
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Th. 5̄<hi rendition="#sub">+</hi>) als: i <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> Σ (<hi rendition="#i">a x</hi> + <hi rendition="#i">b x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1) ansetzbar ist, dürfen wir also unter<lb/>
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daselbst geltenden Sätze oder Theoreme überhaupt, so ist die Zahl der<lb/>
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führung (Introduktion) neuer Terme kann doch eine Subsumtion schon<lb/>
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<p>Hiezu beachte man, dass die Rückwärtsansetzung gewisser einfacheren<lb/>
von diesen Subsumtionen auf die Äquivalenzen führt:<lb/>
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<p>Hier mögen auch die von <hi rendition="#g">Rob. Grassmann</hi> <hi rendition="#sup">1</hi> gegebenen Theoreme<lb/>
noch Erwähnung finden (S. 171 im Kontext schon implicite vorgekommen):<lb/>
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</table> welche leicht aus Def. (3) und Th. 30) nebst Th. 5) beweisbar.</p><lb/>
<p>Und ebenso haben wir — vergl. auch § 18, <hi rendition="#i">ϱ</hi>) — für eine Glei-<lb/>
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Indices, sie mit <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">1</hi>, <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">2</hi>, <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">3</hi>, … benennend.</p><lb/>
<p>Um nicht alles doppelt aussprechen zu müssen — einmal für<lb/>
Punkte, und dann nochmals, mutatis mutandis, für Individuen — halte<lb/>
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<fw type="header" place="top">Zweiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
ich mich hier vorwiegend wieder an das geometrische Substrat unsrer<lb/>
„bevorzugten“ Mannigfaltigkeit.</p><lb/>
<p>Die fragliche Definition lässt sich in sehr verschiedenen Ausdrucks-<lb/>
formen geben, deren eine von <hi rendition="#g">Peirce</hi> herrührt. Ich möchte eine<lb/>
andere an die Spitze stellen, und werden wir die eine auch auf die<lb/>
andre zurückzuführen haben.</p><lb/>
<p>Auf das charakteristische Merkmal des Individuums weist schon<lb/>
der Name hin. Zunächst will er „<hi rendition="#i">etwas</hi>“ bezeichnen, nicht „nichts“.<lb/>
Es wird also<lb/>
<hi rendition="#c"><hi rendition="#i">i</hi> ≠ 0</hi><lb/>
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<p>Sodann fordert der Name die <hi rendition="#i">Unteilbarkeit</hi> des Individuums: der<lb/>
Punkt kann nicht gespalten werden; er kann nicht in zwei getrennte<lb/>
(disjunkte) Gebiete zugleich hineinragen (wie dies andere Gebiete sehr<lb/>
wohl können).</p><lb/>
<p>Ragt ein Gebiet <hi rendition="#i">a</hi> mit einem Teile in ein Gebiet <hi rendition="#i">x</hi> hinein, so<lb/>
kommt dies in unsrer Formelsprache dadurch zum Ausdruck, dass<lb/>
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<hi rendition="#i">y</hi> hineinragt, wird <hi rendition="#i">a y</hi> ≠ 0 zu gelten haben. Schliessen die Gebiete<lb/>
<hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">y</hi> einander aus, so kann doch beides noch zugleich der Fall<lb/>
sein. Soll aber <hi rendition="#i">a</hi> ein Individuum, einen Punkt <hi rendition="#i">i</hi> vorstellen, so kann<lb/>
es nicht zugleich der Fall sein, d. h. wir haben:<lb/>
<hi rendition="#i">α</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">x y</hi> = 0) <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> {(<hi rendition="#i">i x</hi> ≠ 0) (<hi rendition="#i">i y</hi> ≠ 0) = 0}</hi><lb/>
und zwar dieses für <hi rendition="#i">jedes</hi> Wertepaar <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> aus der Mannigfaltigkeit<lb/>
unsrer Gebiete.</p><lb/>
<p>Hiernach gelangen wir zu der folgenden Definition des „Indivi-<lb/>
duums“ oder „Punktes“ <hi rendition="#i">i</hi>:<lb/>
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<p>Es lässt sich indessen zeigen, dass es nicht nötig ist, die Defini-<lb/>
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<p>Statt des beliebigen Paares disjunkter Gebiete <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> genügt es,<lb/>
ein Paar <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> zu nehmen, von denen blos das eine willkürlich anzu-<lb/>
nehmen ist, das andre hernach als dessen Negation bestimmt erscheint.<lb/>
Die beiden Gebiete <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> erfüllen die in der Definition zu machende<lb/>
Voraussetzung, dass ihr Produkt verschwinde, immer, erfüllen sie schon<lb/>
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zu postuliren, indem nach Th. 30<hi rendition="#sub">×</hi>) ja <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> = 0 sein muss.</p><lb/>
<p>Wir werden so schon einfacher als <hi rendition="#i">Definition eines Individuums</hi>,<lb/>
<hi rendition="#i">Punktes i</hi> hinstellen können:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Zurückführung von Punktdefinitionen aufeinander.</fw><lb/>
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<p>In Worten könnte man etwa sagen: Ein Gebiet <hi rendition="#i">i</hi> ist immer dann<lb/>
und nur dann ein „Punkt“ zu nennen, wenn es ohne doch zu ver-<lb/>
schwinden oder ein leeres zu sein, nie zugleich mit einem Gebiete und<lb/>
dessen Negation Teile gemein haben kann.</p><lb/>
<p>Das „Nullgebiet“ hat diese letztere Eigenschaft auch: was auch <hi rendition="#i">x</hi> für<lb/>
ein Gebiet vorstellen möge, wird es mit <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> nie gleichzeitig teil-<lb/>
gemein sein, indem es als ein „nichts“ enthaltendes ohnehin mit keinem<lb/>
Gebiete „etwas“ gemein haben kann. Hieraus erhellt, dass der Aussagen-<lb/>
faktor (<hi rendition="#i">i</hi> ≠ 0) in der Def. (<hi rendition="#i">β</hi>) nicht fortgelassen werden darf ansonst sie<lb/>
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ersten Faktors würde (<hi rendition="#i">β</hi>) ausdrücken: die Definition des Begriffes <hi rendition="#i">„entweder<lb/>
ein Individuum oder gar Nichts“</hi>.</p><lb/>
<p>Zunächst sieht man leicht, dass diese Definition (<hi rendition="#i">β</hi>) aus der (<hi rendition="#i">α</hi>)<lb/>
notwendig mit folgt, oder dass:<lb/>
<hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">α</hi>) <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">β</hi>).</hi></p><lb/>
<p>Man braucht sich in der That in (<hi rendition="#i">α</hi>) nur zu jedem <hi rendition="#i">x</hi> das zugehörige<lb/>
<hi rendition="#i">y</hi> gleich <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> vorzustellen, so geht die Prämisse, Bedingung unter dem Pro-<lb/>
duktzeichen über in (<hi rendition="#i">x x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) = i, und da nach Th. 5̄<hi rendition="#sub">+</hi>) die Einordnung<lb/>
von i unter eine Aussage) Gleichheit ist, nach § 32, <hi rendition="#i">ε</hi>) aber (i = <hi rendition="#i">A</hi>) = <hi rendition="#i">A</hi><lb/>
gesetzt werden kann, so erhalten wir — unter <hi rendition="#i">A</hi> den Ausdruck in der<lb/>
geschweiften Klammer {} von (<hi rendition="#i">α</hi>) somit nun auch von (<hi rendition="#i">β</hi>) verstehend —<lb/>
die durch (<hi rendition="#i">β</hi>) dargestellte Vereinfachung der linken Seite von (<hi rendition="#i">α</hi>).</p><lb/>
<p>Die linke Seite von (<hi rendition="#i">β</hi>) hebt aber nur gewisse Faktoren aus derjenigen<lb/>
von (<hi rendition="#i">α</hi>) hervor und lässt die Faktoren beiseite, bei welchen <hi rendition="#i">y</hi> von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ver-<lb/>
schieden genommen wird. Nach Th. 6̄<hi rendition="#sub">×</hi>) ist das Produkt in seinem Faktor<lb/>
enthalten, die linke Seite von (<hi rendition="#i">α</hi>) somit <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> der von (<hi rendition="#i">β</hi>), und da die erstere<lb/>
gleich i ist, so muss nach Th. 5̄<hi rendition="#sub">+</hi>) auch die letztere es sein, q. e. d.</p><lb/>
<p>Damit die Äquivalenz der Definitionen (<hi rendition="#i">α</hi>) und (<hi rendition="#i">β</hi>) erwiesen sei,<lb/>
ist aber jetzt noch zu zeigen, dass auch umgekehrt:<lb/>
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(<hi rendition="#i">α</hi>) stets erfüllt sein muss.</p><lb/>
<p>Dieser Nachweis kann so geliefert werden. Gilt (<hi rendition="#i">β</hi>), so muss nach<lb/>
Th. 2̅4̅<hi rendition="#sub">×</hi>) auch jeder Faktor des Produktes linkerhand = i sein, gelten.<lb/>
Wir haben also:<lb/>
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<hi rendition="#i">x</hi> somit <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> für <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> setzen; sonach gilt für beliebige <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>:<lb/>
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<p>Der linken Seite eingeordnet, und somit — cf. Th. 5̄<hi rendition="#sub">×</hi>) — ebenfalls<lb/>
gleich 0, ist aber das Produkt (<hi rendition="#i">i x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) (<hi rendition="#i">i y</hi> ≠ 0), indem nach § 40, <hi rendition="#i">α</hi>')<lb/>
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<hi rendition="#i">x y</hi> = 0 an, so folgt:<lb/>
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und entsteht:<lb/>
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unter der genannten Annahme. Nimmt man die Subsumtion, die dieses<lb/>
ausdrückt:<lb/>
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welche also gilt, d. h. = i ist, gleichzeitig für alle Wertepaare <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> in<lb/>
Anspruch, oder — mathematisch zu reden — nimmt man das Produkt <hi rendition="#i">Π</hi><lb/>
nach <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">y</hi> von derselben und multiplizirt das = i gesetzte noch über-<lb/>
schiebend mit (<hi rendition="#i">i</hi> ≠ 0) = i, so hat man aber die Gleichung (<hi rendition="#i">α</hi>) gewonnen,<lb/>
sie als Folgerung aus (<hi rendition="#i">β</hi>) abgeleitet, q. e. d.</p><lb/>
<p>Damit ist gezeigt, dass (<hi rendition="#i">β</hi>) die Forderung der Unteilbarkeit des<lb/>
Individuums in der That hinlänglich zum Ausdruck bringt.</p><lb/>
<p>Die Gleichung <hi rendition="#i">β</hi>), welche „allgemeiner Faktor“ des Produktes <hi rendition="#i">Π</hi><lb/>
in (<hi rendition="#i">β</hi>) ist, kann man nun aber noch verschiedentlichst umgestalten,<lb/>
und analog auch die (noch allgemeinere) Subsumtion <hi rendition="#i">α</hi>).</p><lb/>
<p>Solche Umwandlungen beruhen grossenteils auf spezifischen Sätzen<lb/>
über das Individuum, die aus der Def. (<hi rendition="#i">β</hi>) fliessen, und erscheint es<lb/>
darum angezeigt, zunächst eine Gruppe solcher Sätze aufzustellen.<lb/>
Diese will ich — anstatt in den Symbolen <hi rendition="#i">x</hi> oder <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">y</hi> — nun<lb/>
in den Klassensymbolen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> anschreiben.</p><lb/>
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<p>Da letztrer Satz sich als eine Inkonsistenz darstellt, so kann er<lb/>
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</table> womit wir auch zwei neue Formen (<hi rendition="#i">β</hi>') und (<hi rendition="#i">β</hi>'') für die Def. (<hi rendition="#i">β</hi>)<lb/>
durch Einsetzung erhalten würden.</p><lb/>
<p>Auch der Satz <hi rendition="#i">α</hi>) lässt als eine Inkonsistenz sich anschreiben:<lb/>
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wie man am schnellsten erkennt, indem man das letzte in ihm vorkommende<lb/>
Gleichheitszeichen kraft Th. 5̄<hi rendition="#sub">×</hi>) in <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> verwandelt und alsdann von dem<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Definition und Sätze vom Punkte.</fw><lb/>
Schema § 45, <hi rendition="#i">ϑ</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) Gebrauch macht, die Einordnung unter 0 wieder in<lb/>
Gleichheit verwandelnd. [Man kann jedoch auch zuerst den Major von <hi rendition="#i">α</hi>)<lb/>
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Schema Gebrauch machen und die so gewonnene Subsumtion in die Inkonsi-<lb/>
stenz zurücktransformiren.] Durch Kontraposition der rechten Seite von <hi rendition="#i">α</hi>)<lb/>
oder auch durch Umformung der Inkonsistenz <hi rendition="#i">α</hi>') mit Rücksicht auf Th. 36)<lb/>
ergibt sich unter anderm:<lb/>
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<p>Durch Kontraposition erhalten wir ferner aus <hi rendition="#i">β</hi>):<lb/>
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<p>Bei deren Einsetzung in (<hi rendition="#i">β</hi>) kann man die Abkürzung eintreten<lb/>
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als eine bemerkenswerte Form der Individuumsdefinition.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">γ</hi>) lehrt: Ist <hi rendition="#i">i</hi> Individuum, Punkt, so muss für irgend ein Gebiet <hi rendition="#i">a</hi><lb/>
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<p>Analog liesse sich die Inkonsistenz <hi rendition="#i">α</hi>') verschiedentlich als Subsumtion<lb/>
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<p>Auch gibt dieselbe durch Kontraposition den Satz:<lb/>
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balen Fassung des Satzes <hi rendition="#i">γ</hi>) das „<hi rendition="#i">oder</hi>“ hingestellt werden darf als<lb/>
das in § 8, <hi rendition="#i">η</hi>) erläuterte „oder <hi rendition="#i">aber</hi>“, indem hier beide Fälle einander<lb/>
ausschliessen, nicht gleichzeitig eintreten können.</p><lb/>
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<p>Da auch <hi rendition="#i">ε</hi>) eine Inkonsistenz ist, lässt sich der Satz wieder in<lb/>
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<p>Kraft Definition (1) der Gleichheit zieht aber die Subsumtion <hi rendition="#i">β</hi>')<lb/>
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<p>Es sind nämlich die beiden zwischen die Aussagen von <hi rendition="#i">η</hi>) ein-<lb/>
geschalteten Aussagen in der ersten Zeile von <hi rendition="#i">ϑ</hi>) lediglich Umschrei-<lb/>
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fertigen, welche einen bemerkenswerten Satz vorstellt:<lb/>
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Dieselbe läuft aber, wenn man die Subsumtion rechts und die Sub-<lb/>
sumtionenverneinung links auf den Typus der Gleichung resp. Un-<lb/>
gleichung reduzirt, d. h. sie in rechts auf 0 gebrachte Propositionen<lb/>
dieser Gattung umschreibt — cf. Th. 38<hi rendition="#sub">×</hi>) — direkt auf die zweite<lb/>
Gleichung <hi rendition="#i">η</hi>) hinaus und erscheint als mit dieser schon bewiesen.</p><lb/>
<p>Der Satz <hi rendition="#i">ι</hi>) ist der erste von den beiden, auf welche schon in<lb/>
§ 15 vorgreifend hingewiesen wurde und von welchem wir ausführlich<lb/>
gezeigt haben, dass er für eine ganz beliebige Klasse <hi rendition="#i">i</hi> nicht zutreffen<lb/>
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<p><hi rendition="#i">Sobald das Subjekt eines verneinenden Urteils ein Individuum ist</hi>,<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.</fw><lb/>
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<p>Es ist darzuthun, dass auf Grund von (<hi rendition="#i">ο</hi>) die Inkonsistenz <hi rendition="#i">β</hi>) be-<lb/>
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<p>Der allgemeine Faktor in der Def. (<hi rendition="#i">ο</hi>) lässt sich übrigens auch<lb/>
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Gleichung und Ungleichung reduzirt die Def. (<hi rendition="#i">β</hi>) <hi rendition="#i">einfacher</hi> ist als die (<hi rendition="#i">ξ</hi>).</p><lb/>
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<hi rendition="#i">ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives</hi> (<hi rendition="#i">resp. alter-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Duales Gegenstück zum Individuum.</fw><lb/>
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<hi rendition="#i">Π</hi> stehenden Summe gemäss dem Kommutationsgesetze 12<hi rendition="#sub">+</hi>) der Addi-<lb/>
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<p>Es war m. a. W. nach genanntem Prinzip gestattet, in (<hi rendition="#i">λ</hi>') auch <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
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— auch dann, wenn die Funktion <hi rendition="#i">F</hi> nicht, wie in dem obigen Beispiele,<lb/>
symmetrisch hinsichtlich ihrer beiden Argumente ist, indem, wenn <hi rendition="#i">x</hi> alle<lb/>
denkbaren Gebietwerte durchläuft, auch <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> dies thut, und umgekehrt.</p><lb/>
<p>Solches ist nicht etwa ein eigenes Prinzip, sondern läuft auf das<lb/>
Kommutationsgesetz 1̅2̅<hi rendition="#sub">×</hi>) der Aussagenmultiplikation, sonach im Grunde<lb/>
auf das Prinzip Ī hinaus, in Anbetracht dass für irgend ein bestimmtes <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
sowol <hi rendition="#i">F</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), als auch <hi rendition="#i">F</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi>) Faktor in jedem der beiden obigen Pro-<lb/>
dukte sein wird, jedoch in der umgekehrten Ordnung zwischen die übrigen<lb/>
Faktoren eingeschaltet, wofern wir beiderseits genau dieselbe Wertenreihe<lb/>
von der betreffenden Variabeln durchlaufen lassen.</p><lb/>
<p>Ergebniss der Betrachtung ist also: <hi rendition="#i">Gebietsdual entspricht der De-<lb/>
finition und dem Begriffe des Individuums die Definition und der Begriff<lb/>
der Negation eines Individuums.</hi></p><lb/>
<p>Unzweifelhaft hat dies schon Herr <hi rendition="#g">Peirce</hi> richtig gefühlt, wenn er<lb/>
es auch nicht ausdrücklich ausspricht, wie in <hi rendition="#sup">5</hi> p. 42 sq. aus seiner Gegen-<lb/>
überstellung von „individual“ und „simple“ zu erkennen ist.</p><lb/>
<p>Die Negation eines Individuums nennt Herr <hi rendition="#g">Peirce</hi> „a simple“<lb/>
— doch leuchtet ein, dass wir einer fatalen Nebenbedeutung halber<lb/>
das Wort „ein Simpel“ nicht in die deutsche Sprache herübernehmen<lb/>
können.</p><lb/>
<p>Eher möchten wir die Benennung insoweit adoptiren, dass wir<lb/>
den entfernteren Anklang weniger scheuend, dafür ein „<hi rendition="#i">Simplum</hi>“ sagen<lb/>
(sollten wir uns dadurch auch der Neubildung eines lateinischen Haupt-<lb/>
wortes schuldig machen).</p><lb/>
<p>Für unsre bevorzugte Mannigfaltigkeit bedeutet das Individuum<lb/>
einen Punkt der Tafelfläche, das (zugehörige) Simplum <hi rendition="#i">die ganze Tafel-<lb/>
fläche</hi>, <hi rendition="#i">einen einzigen</hi> (diesen einen) <hi rendition="#i">Punkt derselben ausgenommen</hi>.</p><lb/>
<p>Es wird sich zeigen, dass wir auf die Simpla nicht weiter Rück-<lb/>
sicht zu nehmen brauchen, indem alle Forderungen, welche sich künf-<lb/>
tig auf Individuen beziehen sollten — wie z. B. die bei der „Klausel“<lb/>
zu erörternden — ihre dualen Gegenstücke von selbst finden. Nämlich<lb/>
wenn eine Anforderung bezüglich Verteilung von Individuen auf ge-<lb/>
wisse Klassen erfüllt sein wird, so muss auch deren duales Gegenstück<lb/>
durch die zugehörigen Simpla ohnehin erfüllt sein, und vice versā —<lb/>
vorausgesetzt nur, dass man <hi rendition="#i">über die bisherige Gepflogenheit hinausgehend</hi><lb/>
bei der Herstellung solchen Gegenstücks <hi rendition="#i">auch alle Klassen in ihre<lb/>
Negationen verwandle</hi>. Man erhält hiebei „ein“ duales Gegenstück im<lb/>
weiteren Sinne, sozusagen nur „der Art nach“ von der jene Anforderung<lb/>
statuirenden Aussage — nennen wir es: die ihr „kontrapositionell“,<lb/>
oder „<hi rendition="#i">kontrapositiv</hi>“ entsprechende Aussage. Und diese muss mit jener<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Duales Gegenstück zum Individuum.</fw><lb/>
in der That immer gleichzeitig erfüllt sein, weil beide Aussagen ein-<lb/>
ander im Grunde äquivalent sind und kraft der Theoreme 36) eben<lb/>
durch Kontraposition in einander übergehen.</p><lb/>
<p>Zur Erläuterung sei bemerkt: (gebietsdual) einander kontrapositiv ent-<lb/>
sprechende Aussagen können als „der Art nach“ einander schlechthin ge-<lb/>
bietsduale hingestellt werden, sobald man die in sie eingehenden Buch-<lb/>
stabensymbole als völlig allgemeine Klassensymbole deutet, und zwar bei<lb/>
jeder von den beiden Aussagen für sich, ohne Rücksichtnahme auf die<lb/>
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einstimmung der Namen festgelegt erscheinen zwischen den Elementen der<lb/>
beiden Aussagen. So ist z. B. (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) exakt das duale Gegenstück<lb/>
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Art nach, ist es ebenfalls <hi rendition="#i">unter dem Vorbehalte,</hi> dass man gleichwie <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>,<lb/>
so auch <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> als schlechthin allgemeine, völlig unbestimmte oder will-<lb/>
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Negation von <hi rendition="#i">a</hi> uns darzustellen hatte, <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> die von <hi rendition="#i">b</hi>, etc.</p><lb/>
<p>Diese Aussage <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> nun ist als das kontrapositive Gegenstück<lb/>
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<p>Stellt nun z. B. als <hi rendition="#i">Bedingung</hi> für die Zulässigkeit einer gewissen<lb/>
Folgerung sich (die) heraus, dass eine Klasse <hi rendition="#i">a</hi> keine singuläre sein, kein<lb/>
Individuum vorstellen dürfe, dass also <formula/> (<hi rendition="#i">a</hi> ≠ <hi rendition="#i">i</hi>) gelte, so ist von selbst<lb/>
auch als Bedingung ebendafür hinstellbar, was der Art nach das duale<lb/>
Gegenstück der vorigen ausmacht, dass <formula/> (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) gelte, d. h. dass die<lb/>
Negation von <hi rendition="#i">a</hi> kein Simplum vorstelle. Denn diese Bedingung fällt als<lb/>
kontrapositives Gegenstück mit jener zusammen und braucht die eine nicht<lb/>
mehr ausgesprochen zu werden sofern die andre es wurde.</p><lb/>
<p>Oder — um noch eines der häufigst vorkommenden Beispiele aus der<lb/>
technischen Praxis unsres Kalkuls anzuführen — involvirt eine Konklusion<lb/>
etwa die Forderung dass zwei Klassen <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">nicht</hi> in ein und dasselbe<lb/>
Individuum zusammenschrumpfen dürfen, gehört mithin zu unsern <hi rendition="#i">Folge-<lb/>
rungen</hi> diese, dass <formula/> {(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">i</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">i</hi>) = 0} gelten müsse, so wird hiezu<lb/>
auch deren der Art nach duales, nämlich kontrapositives Gegenstück:<lb/>
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als Folgerung gelten müssen — die Produkte natürlich allemal nur aus-<lb/>
gedehnt über alle diejenigen Klassen <hi rendition="#i">i</hi>, welche der Definition des Indivi-<lb/>
duums genügen. Etc.</p><lb/>
<p>Macht also auch der <hi rendition="#i">durch den ganzen identischen Kalkul sich hin-<lb/>
durchziehende</hi> „<hi rendition="#i">Gebietsdualismus</hi>“ keineswegs halt vor der Definition<lb/>
und Theorie des Individuums, so zeigen sich doch in der letzteren die<lb/>
beiden einander dual zugeordneten Zweige stets in <hi rendition="#i">einen</hi> verwachsen<lb/>
oder wenigstens der Art nach verschmolzen. Und so ist es denn als<lb/>
eine erfreuliche Thatsache zu verzeichnen, dass wir uns mit den<lb/>
Simplen überhaupt nicht herumzuschlagen brauchen, weshalb denn<lb/>
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<fw type="header" place="top">Zweiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
auch solch aparte Benennung für die Individuumsnegation als kein<lb/>
sehr dringendes Bedürfniss erscheint. —</p><lb/>
<p>Im Bisherigen wurde — wie ich hoffe der Hauptsache nach —<lb/>
die Theorie der Eigenschaften des Individuums erledigt insoweit es<lb/>
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dieser noch manche Sätze zufügen, wie z. B.:<lb/>
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etc. wollten wir noch andere Beziehungszeichen, als die bisher ver-<lb/>
wendeten, mit in den Kreis der Betrachtungen ziehen.</p><lb/>
<p>Systematisch hätte sich dieser nunmehr anzureihen die Theorie<lb/>
derjenigen Sätze welche handeln von <hi rendition="#i">mehreren</hi> Individuen zugleich.</p><lb/>
<p>Solche Sätze, wie:<lb/>
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lassen sich auf dem nunmehr gewonnenen Standpunkte jeweils mit<lb/>
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Axiom erforderlich zu machen — auf die Grundlagen des bisherigen<lb/>
Kalkuls zurückführen, aus diesen selbst <hi rendition="#i">beweisen</hi>.</p><lb/>
<p>Sie pflegen jedoch auch ohne solche Zurückführung einen unge-<lb/>
heuren Grad von unmittelbar einleuchtender <hi rendition="#i">Evidenz</hi> zu besitzen.</p><lb/>
<p>Was den Beweis der vorstehenden betrifft, so gibt auf den Typus der<lb/>
Gleichung und Ungleichung gemäss § 36 reduzirt:<lb/>
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Faktor in (<hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">1</hi> <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">2</hi> ≠ 0), der zweite in (<hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">1</hi> <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">2</hi> = 0) umgeschrieben werden, wo<lb/>
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zusammensetzend. Man mag indess auch nach der ersten Formel <hi rendition="#i">σ</hi>):<lb/>
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<p>Nachdem so auch die dritte Formel <hi rendition="#i">φ</hi>) bewiesen, haben wir nach<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Postulate zur Punktdefinition.</fw><lb/>
<p>Endlich braucht man behufs Beweises der letzten Formel <hi rendition="#i">φ</hi>) nur von<lb/>
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Bedeutung zukommt? Ich halte die vorstehende für eine der aller-<lb/>
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schliesslich<note place="foot" n="*)">NB. Was heisst jedoch in dem letzteren Falle, auf den mit „nötigenfalls“<lb/>
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<p>Wir dürften uns daher wol genötigt sehen, dem obigen Postu-<lb/>
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unsre beiden Postulate in das eine zusammenfassen:</p><lb/>
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Klasse lässt sich darstellen als eine identische Summe von lauter (unter<lb/>
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<p>Jedes <hi rendition="#i">räumliche Gebiet</hi> insbesondere kann angesehen werden als<lb/>
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gleichen jedes <hi rendition="#i">zeitliche</hi> Gebiet aus <hi rendition="#i">Augenblicken</hi> [und jede („stetige“)<lb/>
Mannigfaltigkeit (auch) überhaupt aus ihren Elementen].</p><lb/>
<p>Und zwar erscheint der „mathematische Punkt“ hierselbst als ein<lb/>
<hi rendition="#i">wohldefinirter</hi> Begriff: Als bekannt sollte ja gelten, was unter einem<lb/>
<hi rendition="#i">räumlichen Gebiete</hi>, <hi rendition="#i">Raumteil</hi> zu verstehen ist. Ich sage hiefür mit Ab-<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Postulate zur Punktdefinition.</fw><lb/>
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Punkt zu nennen, dann und nur dann, wenn er, mit <hi rendition="#i">i</hi> bezeichnet, der<lb/>
Definition (<hi rendition="#i">λ</hi>) genügt, in welcher dem Symbole <hi rendition="#i">x</hi> alle erdenklichen<lb/>
räumlichen Gebiete oder Raumteile innerhalb des ganzen Raumes 1<lb/>
als Bedeutung untergelegt werden müssen.</p><lb/>
<p>Wir mögen hienach schreiben:<lb/>
<hi rendition="#i">ψ</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">2</hi> + <hi rendition="#i">i</hi><hi rendition="#sup">3</hi> + …</hi></p><lb/>
<p>Die Forderung, für die Logik der Begriffsumfänge dies anzuer-<lb/>
kennen, scheint in der That in der ganzen Natur unsres Denkens<lb/>
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<p>Unter einer <hi rendition="#i">Klasse</hi> können wir uns nur denken: das, was vor-<lb/>
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schlossen oder wenigstens nicht gefordert ist, bei welchem besagte<lb/>
Vorschrift wegfällt, fehlt).</p><lb/>
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oder „neue“ verstehen.</note> Unterklassen zerfallen<lb/>
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Individuen der Klasse repräsentirend, deren Namen eben als Eigen-<lb/>
namen ganz bestimmte Objekte des Denkens bezeichnen. Denn ur-<lb/>
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zu dem Begriff der Klasse erhoben.</p><lb/>
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einer „stetigen“ Mannigfaltigkeit. Ist diese z. B. räumlicher Natur, so<lb/>
erscheint die Vorstellung des Raumteils, <hi rendition="#i">Körpers</hi> (hernach analog die<lb/>
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matischen Punktes herabgestiegen werden!</p><lb/>
<p>Obwol ich damit aus dem Rahmen der mir hier gesetzten Aufgabe<lb/>
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<fw type="header" place="top">Zweiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
ein wenig heraustrete, will ich den schwierigen Versuch wagen, die Art,<lb/>
wie meines Erachtens solches auszuführen ist, genauer darzulegen, und<lb/>
zwar sowol in <hi rendition="#i">streng-wissenschaftlicher</hi> Hinsicht als auch in <hi rendition="#i">didaktischer</hi> Hin-<lb/>
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nicht in Widerspruch mit der strengen Wissenschaft zu setzen.</p><lb/>
<p>In jener erstgenannten Hinsicht liegt die Sache ziemlich einfach. Beim<lb/>
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Disziplinen, so auch der Geometrie <hi rendition="#i">voran</hi>geschickt zu denken, und zwar<lb/>
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„Punkt“ haben wir dann wie oben erwähnt ein räumliches Gebiet, einen<lb/>
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<p>Dass einerseits solche Definition <hi rendition="#i">zulässig</hi> oder <hi rendition="#i">denkmöglich</hi> ist, dass sie<lb/>
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dürfen, über das wir verfügen. Die Deutungsfähigkeit des durch (<hi rendition="#i">λ</hi>) defi-<lb/>
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halb deren beliebige Klassen <hi rendition="#i">x</hi> resp. <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> sich bilden lassen, thut die <hi rendition="#i">Existenz</hi><lb/>
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<p>Da (resp. solange) aber andrerseits die Existenz des durch (<hi rendition="#i">λ</hi>) zu<lb/>
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<p>Beim geometrischen Elementarunterricht kann indess jener streng<lb/>
wissenschaftliche Weg begreiflich nicht beschritten werden.</p><lb/>
<p>Nach meinem (subjektiven) Erachten dürfte hier am besten in folgender<lb/>
Weise vorzugehen sein, wobei man auf Grund gewisser axiomatisch au-<lb/>
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erklärung von Punkt, Ort, Bewegung, Körper, Fläche, Linie, <hi rendition="#i">und Grenze</hi>,<lb/>
gelangen wird.</p><lb/>
<p>Wie üblich denken wir den <hi rendition="#i">Raum</hi> uns definirt als eine Form der<lb/>
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Wirklichen, und zwar als den Komplex derjenigen Merkmale dieser (raum-<lb/>
erfüllenden) Substanz, welcher übrig geblieben, nachdem man von allen den<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Didaktische Schwierigkeit der Punkteinführung i. d. Elementargeometrie.</fw><lb/>
sogenannten „physikalischen“ Merkmalen dieser letzteren, als Farbe, Gewicht,<lb/>
Kräften, … abgesehen oder abstrahirt hat.</p><lb/>
<p>Man gehe nun aus von der Thatsache der „<hi rendition="#i">Teilbarkeit</hi> des Raumes“.<lb/>
Anzuerkennen ist: dass der Raum ein Mannigfaltiges ist, an (oder <hi rendition="#i">in</hi>)<lb/>
welchem sich Teile unterscheiden lassen.</p><lb/>
<p>[Gemeinhin wird ja ein Raumteil durch seine Begrenzung erst „be-<lb/>
stimmt“; dass die Vorstellung einer Grenze aber nicht unerlässlich ist zur<lb/>
Konzeption eines Raumteiles überhaupt, scheint mir das schon einmal ge-<lb/>
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vorerst auch nicht von Flächen oder Linien reden dürfen, für den wird<lb/>
der Raumteil zunächst immer ein geometrischer „Körper“ sein.]</p><lb/>
<p>Zwei Raumteile müssen sich durch (mindestens) ein Merkmal von ein-<lb/>
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Raumteil) wären, zusammenfielen, sich „deckten“.</p><lb/>
<p>Dasjenige Merkmal (oder der Komplex derjenigen Merkmale) durch<lb/>
welches sich ein Raumteil von allen andern unterscheidet, heisst seine<lb/>
<hi rendition="#i">Lage</hi> (sein <hi rendition="#i">Ort</hi>) im Raume. [Auch von zwei konzentrischen Kugeln von<lb/>
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Lage, den von ihnen eingenommenen Platz, noch unterscheiden.] Die Exi-<lb/>
stenz eines solchen Merkmalkomplexes scheint postulirt werden zu müssen.<lb/>
[Das Postulat läuft hinaus auf die Anerkennung des Nichtverschwindens<lb/>
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der gedachte Raumteil einzeln von je einem andern und zwar so von jedem<lb/>
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<p>(Postulat:) Es gibt Raumteile, die sich <hi rendition="#i">nur</hi> durch ihre Lage unter-<lb/>
scheiden; diese heissen <hi rendition="#i">„kongruent“</hi>.</p><lb/>
<p>Geht man (mit der Aufmerksamkeit) von einem Raumteil zu einem<lb/>
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gewechselt, sich in die Lage des zweiten begeben, oder „bewegt“. [Ge-<lb/>
nauer bewegt sich in der Erscheinungswelt die den Raumteil erfüllende<lb/>
und durch diese Erfüllung denselben charakterisirende Materie <hi rendition="#i">in</hi> dem —<lb/>
samt seinen Teilen — als ruhend zu bezeichnenden Raume.] Kongruente<lb/>
Raumteile sind also solche, die durch „Bewegung“ zur Deckung gebracht<lb/>
werden können, und ist „Bewegung“ im Raume möglich. —</p><lb/>
<p>Auch an irgend einem Raumteile lassen immer noch weitere Teile<lb/>
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Raums ist eine unbegrenzte, der Raum ist ohne Ende teilbar — eine That-<lb/>
sache, deren Anerkennung wir einstweilen als das Postulat von der „Kon-<lb/>
tinuität“ des Raumes bezeichnen. Der (echte) Teil mag kleiner als das<lb/>
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<p>Für die Sinne erreicht man durch fortgesetzte Teilung, Hervorhebung<lb/>
von immer kleinerem Teile eines Raumteiles, sehr bald eine sog. Grenze:<lb/>
die Grenze der Wahrnehmbarkeit des hervorgehobnen Raumteils. In der<lb/>
Idee kann aber dieser Prozess fortschreitender Teilung immer noch weiter<lb/>
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<fw type="header" place="top">Zweiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
fortgesetzt werden. Gleichwol wird man auch hier <hi rendition="#i">aus Ermüdung</hi> irgendwo<lb/>
stehen bleiben, und das Ergebniss ist der vorgestellte Punkt.</p><lb/>
<p>„Mathematischen Punkt“ nennen wir dagegen einen solchen Raumteil,<lb/>
bei welchem wir den erwähnten Teilungsprozess solange fortgesetzt an-<lb/>
nehmen bis sich an dem zuletzt hervorgehobnen Teile keine weiteren Teile<lb/>
mehr unterscheiden lassen würden. Einen solchen kann man sich wohl<lb/>
„denken“ aber nicht mehr vorstellen und er bleibt ein <hi rendition="#i">Ideal</hi>, das wir mit<lb/>
unsrer Vorstellung nur mehr beliebig nahe zu erreichen vermögen.</p><lb/>
<p>Nennen wir „ausgedehnt“ ein jedes Mannigfaltige, an welchem sich<lb/>
noch (verschiedene) Teile unterscheiden lassen, so wird also anzuerkennen<lb/>
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kann aber dieses negative Merkmal in der That nur verwendet werden<lb/>
indem man es verbindet mit der positiven Anforderung, dass der Punkt<lb/>
einen Raumteil vorzustellen habe. Erklärte man in der thatsächlich noch fast<lb/>
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Ausdehnung besitzt, so müsste in der That auch das Nichts, ein Augenblick,<lb/>
ein (cum grano salis) Pfiff, Schreck (!), und dergleichen mehr, als Raum-<lb/>
punkt anerkannt werden. Jedenfalls sollte der Raumpunkt doch etwas<lb/>
Räumliches sein, etwas <hi rendition="#i">an</hi> oder <hi rendition="#i">in</hi> dem Raume, und solange es nicht ge-<lb/>
lungen, den Punkt in wissenschaftlich befriedigender Weise als ein blosses<lb/>
<hi rendition="#i">Merkmal</hi> des Raums zu definiren — „Merkmal“ hier als im Gegensatz zu<lb/>
„Teil“ verstanden (die Teile eines Dinges sind ja auch Merkmale desselben)<lb/>
— wird man in der That den Punkt als einen „Teil“ des Raumes zu<lb/>
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<p>Ein jeder Punkt kann frei im Raume bewegt und in die Lage jedes<lb/>
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sie ein räumliches Gebiet, einen Raumteil gemein haben (und die Möglich-<lb/>
keit scheint postulirt werden zu müssen), so werden sie zusammenfallen,<lb/>
sich decken müssen, denn das ihnen gemeinsame räumliche Gebiet muss<lb/>
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wir zu dem Widerspruch mit dem Begriffe des Punktes gelangen würden,<lb/>
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Teil) unterschieden zu haben. M. a. W.: Alle Raumpunkte sind einander<lb/>
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Punkt markirt <hi rendition="#i">nur</hi> einen „Ort“ im Raume, und besitzt ausser diesem einen<lb/>
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sammengesetztes Merkmal, sodass sich als mit ihm gegeben gleichwol noch<lb/>
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<p>Es wurde schon darauf hingedeutet, dass wir einen Raumteil „schlecht-<lb/>
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fortgesetzten Raumteilungen zu bezeichnen ist, einen geometrischen <hi rendition="#i">Körper</hi><lb/>
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<p>Analysiren wir nun aber unsre Anschauung von einem ganz bestimmten<lb/>
geometrischen Körper, so nehmen wir wahr, dass sich an ihm solche Punkte<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Behebungsversuch.</fw><lb/>
vorfinden, von welchen wir mit der Anschauung<note place="foot" n="*)">Diese Verklausulirung ist wesentlich, indem sie den Vorbehalt einschliesst,<lb/>
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Raumpunkte durch Zahlensysteme — gelingen mag, auch die zur Begrenzung<lb/>
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vermögen, ob sie zu gedachtem (Raumteil oder) Körper, oder ob sie zum<lb/>
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<p>Die Gesamtheit, das System, den Inbegriff ebendieser Punkte nennen<lb/>
wir die <hi rendition="#i">„Grenze“</hi> des Körpers. Dieselbe scheidet die zum Körper gehörigen<lb/>
Punkte von den nicht zu ihm gehörigen, und ist, weil solche Scheidung<lb/>
gegenseitig, ihrem Begriffe gemäss auch zugleich als die Grenze des Aussen-<lb/>
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<p>Wir nennen sie eine <hi rendition="#i">Fläche</hi>. Es sind an ihr zwei „Seiten“ zu unter-<lb/>
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raume angehört (in demselben „liegt“). Wir sagen: der Raum sei aus-<lb/>
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vague Redensart) der Fläche eine Ausdehnung (Dimension) weniger als<lb/>
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<p>Auch die Fläche erweist sich wieder als ein Mannigfaltiges, an welchem<lb/>
sich weitre Teile unterscheiden lassen; auch sie ist noch „ausgedehnt“.<lb/>
Vergegenwärtigen wir uns einen bestimmten Teil der Fläche (schlechtweg),<lb/>
so werden wir dessen inne, dass an ihm sich Punkte vorfinden, bezüglich<lb/>
deren unsre Anschauung nicht zu unterscheiden vermag, ob sie zu dem<lb/>
Flächenteile oder ob sie zur Aussenfläche gehören. Ihre Gesamtheit bildet<lb/>
die „Grenze“ der Fläche, heisst eine <hi rendition="#i">Linie</hi> (Kurve); und wird der letztern<lb/>
eine Ausdehnung weniger, als der (zu ihren beiden Seiten ausgedehnten)<lb/>
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<p>Wieder offenbart sich uns die Linie als ein Mannigfaltiges, das Teile<lb/>
besitzt, noch ausgedehnt ist, und wenn ein bestimmter Teil der Linie in’s<lb/>
Auge gefasst wird, so muss auch dieser eine „Grenze“ haben, die ihn von<lb/>
der Aussenlinie scheidet. Dieser Grenze ist eine Ausdehnung weniger, als<lb/>
der Linie, zuzuschreiben.</p><lb/>
<p>In der Thatsache nun dass letztere Grenze allemal als ein System<lb/>
(im einfachsten Falle: Paar) von Punkten sich herausstellt, wo dann am<lb/>
Punkte keine Teile mehr unterscheidbar sind, gibt sich erstmals die „drei-<lb/>
fache Ausdehnung“ des Raumes kund.</p><lb/>
<p>Es wäre nun die Reihe der so gewonnenen geometrischen Gebilde,<lb/>
als: Körper, Fläche, Linie und Punkt, genetisch nochmals in der umge-<lb/>
kehrten Ordnung durchzugehen, vom Punkt aus nämlich durch (die erst<lb/>
als eine physikalisch mögliche einzuführende) „stetige“ Bewegung zu<lb/>
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<p>Wird <hi rendition="#i">„Bahn“</hi> eines geometrischen Gebildes das System, die Gesamt-<lb/>
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nächst zu konstatiren, dass die Linie auch erzeugt werden kann als die<lb/>
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Bahn eines sich bewegenden Punktes; die Fläche als Bahn einer Linie,<lb/>
wenn bei der Bewegung der letzteren jedoch auch gestaltliche Änderungen,<lb/>
Deformationen zugelassen werden, bei welchen sie nur ihren Charakter als<lb/>
Linie zu wahren hat, etc. Und wie umgekehrt die Bahn einer Linie ent-<lb/>
weder selbst wieder nur eine Linie (z. B. bei dem sich in sich herum-<lb/>
schwingenden Kreise) oder aber eine Fläche ist, ebenso die Bahn einer<lb/>
Fläche selbst wieder nur eine Fläche (wie bei der auf der Kugelfläche<lb/>
gleitenden Haube derselben) oder aber ein Körper, so würde endlich darauf<lb/>
hinzuweisen sein, wie in der Thatsache, dass die Bahn eines Körpers stets<lb/>
wieder nur ein Körper ist, wiederum die Dreidimensionalität des Raumes<lb/>
zutage tritt (ein Faktum, dem man später auch noch einen schärferen Aus-<lb/>
druck wird zu geben vermögen). —</p><lb/>
<p>Ich schliesse hiermit die begonnene Skizze, bei der ich lediglich den<lb/>
Zweck verfolgte die vier Arten der geometrischen Gebilde auf eine mit<lb/>
der (über allem Zweifel erhabenen) wissenschaftlichen Punktdefinition har-<lb/>
monirende Weise in die Elementargeometrie einzuführen.</p><lb/>
<p>Ob es mir vorstehend gelungen, wenigstens anzudeuten, wie dies in<lb/>
einer <hi rendition="#i">haltbaren</hi> Weise geschehen könnte, wage ich keineswegs zu ent-<lb/>
scheiden, vielmehr würde ich es begrüssen, wenn durch Kritik und Ver-<lb/>
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diesen Überlegungen an den Tag gebracht und behoben werden sollten.</p><lb/>
<p>Möglich auch, dass alle derartigen Versuche ein blosser Notbehelf<lb/>
(auf Kosten der Wissenschaftlichkeit zugunsten der Didaktik) bleiben, und<lb/>
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<hi rendition="#i">Zahlen</hi> — gemäss <hi rendition="#g">Dedekind</hi> <hi rendition="#sup">1</hi> — in den Stand gelangen, die Natur<lb/>
unsrer Raumanschauung zu untersuchen, dieselbe völlig zu verstehen, an-<lb/>
gemessen zu beschreiben und aus den mit ihr so enge verwachsenen Axiomen<lb/>
streng logisch zu konstruiren. —</p><lb/>
<p>Es muss als wünschenswert erscheinen, dass wir über ein ange-<lb/>
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ein Punkt sei, resp. dass die Klasse <hi rendition="#i">a</hi> eine singuläre, nämlich <hi rendition="#i">a</hi> ein<lb/>
Individuum bedeute. Wählen wir als solches etwa das Symbol:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 47. Symbolisirung des Punktbegriffes.</fw><lb/>
kein Punkt sei — eine Aussage in Bezug auf deren Werte 0 und i<lb/>
es sich gerade umgekehrt verhält, wie im vorigen Falle.</p><lb/>
<p>Als Produktationsvariable in (<hi rendition="#i">ω</hi>) ist allemal (eventuell an Stelle<lb/>
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<p>Dies vorausgesetzt wollen wir unsre Zeichensprache noch dahin<lb/>
auszubilden suchen, dass wir imstande sein werden, ein identisches<lb/>
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<p>Zu dem Ende empfiehlt es sich, ja ist es unerlässlich, eine Fest-<lb/>
setzung zu treffen, die sich auch für spätere Untersuchungen wichtig<lb/>
erweisen wird, über das „<hi rendition="#i">Produkt</hi>“ <hi rendition="#i">aus einer Klasse</hi> (resp. einem Ge-<lb/>
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<p>Die letztere <hi rendition="#i">A</hi> als eine Aussage von festem Sinne (dergleichen für<lb/>
uns ja immer nur in Betracht kommen) hat entweder den Wert 0̇ oder<lb/>
den Wert i, jenachdem sie falsch oder wahr ist — wenn wir für den<lb/>
Augenblick auch die Nullaussage mittelst übergesetzten Tupfens von<lb/>
dem Nullgebiete, der Nullklasse 0 unterscheiden.</p><lb/>
<p>Wir machen nun aus, dass uns<lb/>
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bedeuten solle. Hiernach wird denn auch der Sinn des Produktes<lb/>
<hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a A</hi> oder <hi rendition="#i">A a</hi></hi><lb/>
auf alle Fälle feststehen. Das Produkt einer Klasse in eine Aussage<lb/>
ist erstere selber, wenn die letztere wahr ist, dagegen die Nullklasse,<lb/>
sobald sie falsch ist (stets ist es also wieder eine Klasse, und nicht<lb/>
eine Aussage).</p><lb/>
<p>Wichtigster Anwendungsfall ist dieser, wo die Aussage <hi rendition="#i">A</hi> gedachte<lb/>
Klasse <hi rendition="#i">a</hi> selbst betrifft. Um dies hervortreten zu lassen, wollen wir<lb/>
jene mit <hi rendition="#i">A<hi rendition="#sup">a</hi></hi> bezeichnen.</p><lb/>
<p>Indem wir alsdann einem etwa als Glied einer Summe auftretenden<lb/>
Klassenterme <hi rendition="#i">a</hi> solchen Aussagenfaktor <hi rendition="#i">A<hi rendition="#sup">a</hi></hi> beifügen, werden wir hin-<lb/>
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auf sie jene Voraussetzung nicht zutrifft!</p><lb/>
<p>Von ferne streift auch einmal Herr <hi rendition="#g">Peirce</hi> <hi rendition="#sup">9 c</hi> p. 188 durch Ein-<lb/>
führung sonderbarer numerischer Koeffizienten an unsre Abmachung (<hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi>).</p><lb/>
<p>Der erste Teil dieser Konvention scheint übrigens gar nichts Neues<lb/>
zu sein, vielmehr mit dem Th. 22<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#i">a</hi> · 0 = 0 ohnehin zusammenzufallen,<lb/>
sintemal wir ja den Punkt über der Aussagennull stets fortzulassen pflegten.<lb/>
Ein wenig Sorgfalt lässt jedoch erkennen, dass solches zu glauben eine<lb/>
Täuschung wäre, und dass Produkte aus Klassen und Aussagen bis jetzt<lb/>
nie vorgekommen sind.</p><lb/>
<p>Um zunächst zur Erläuterung und Übung ein Beispiel zu bringen,<lb/>
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Mannigfaltigkeit erstreckt gedacht.</p><lb/>
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Mannigfaltigkeit 1, und nur für solche — obzwar man das <hi rendition="#i">i</hi> (wie<lb/>
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<p>Sobald <hi rendition="#i">i</hi> kein Punkt ist, wird nämlich der Faktor <hi rendition="#i">J<hi rendition="#sup">i</hi></hi>, sobald es<lb/>
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<fw type="header" place="top">× 47. Einkleidung der Punktpostulate in die Symbolik.</fw><lb/>
<p>Wir haben damit das eine der uns vorgesetzten Ziele erreicht,<lb/>
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Falle der Faktor ohne allen Einfluss auf den Wert des Produktes,<lb/>
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Variable <hi rendition="#i">a</hi> doch alle erdenklichen Gebiete der Mn. durchläuft.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">Zweiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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<p>Hievon wollen wir endlich eine Anwendung machen, um unsre<lb/>
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eine Formel, die vor <hi rendition="#i">ψ</hi>) den Vorzug besitzt, analytische Geltung zu<lb/>
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<p>Obwohl ich der Meinung bin, dass schon die Logik der Individuen<lb/>
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wir hier abbrechen, uns begnügend nur das Elementarste dargestellt<lb/>
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<p>In Bezug auf dieses vermag ich nicht zu sagen, ob und wie weit ich<lb/>
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sammengetroffen, da mir noch nicht die Musse zuteil geworden, mich in die<lb/>
scharfsinnigen Arbeiten dieses Autor’s hinlänglich zu vertiefen.</p><lb/>
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Begriffes der identischen Null (welche rechts vorkommt) oder des<lb/>
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<p>Auch die Zahl 2 könnte als Anzahl (der Individuen einer Klasse <hi rendition="#i">a</hi>)<lb/>
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durchzugehen, so wollen wir uns auf ein kleines Feld innerhalb dieser<lb/>
ungeheuren Mannigfaltigkeit beschränken und als solches ein möglichst<lb/>
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<p>Aus diesen Gründen müssen wir uns eine neue Zusammenstellung<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 48. Erweiterte Syllogistik.</fw><lb/>
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<hi rendition="#i">symmetrische</hi> Beziehungen sind. Und analog auch deren Negationen.</p><lb/>
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<p>Eine nach <hi rendition="#i">A und B unsymmetrische Beziehung kann indess nach<lb/>
A und B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">symmetrisch sein</hi>.</p><lb/>
<p>Ferner mag erinnert werden, dass man, um alle Propositionen<lb/>
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schaulichkeit als die „<hi rendition="#i">fundamentalen</hi>“ Beziehungen bezeichnen mag.</p><lb/>
<p>Die 8 ersten von ihnen: 1’ ‥ 4<hi rendition="#sub">1</hi>’ sind freilich nicht als eigentliche Be-<lb/>
ziehungen (Relationen <hi rendition="#i">zwischen A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>) zu bezeichnen, indem sie augenschein-<lb/>
lich je nur über <hi rendition="#i">eines</hi> dieser beiden Symbole für sich etwas aussagen oder<lb/>
eine Information geben. Nach einem Vorgang aus der Lehre von den<lb/>
höheren algebraischen Kurven und Gleichungen müssten sie, als Beziehungen<lb/>
aufgefasst, <hi rendition="#i">„zerfallende“</hi> genannt, unter diese eingerechnet werden. „Zer-<lb/>
fallend“ haben wir S. 158 eine Beziehung zwischen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> genannt,<lb/>
wenn sie (additiv oder) multiplikativ (oder irgendwie) zerlegbar ist (nach<lb/>
den Gesetzen des Aussagenkalkuls) in lauter solche Teilaussagen, deren<lb/>
jede nur von einem dieser beiden Symbole handelt ohne Erwähnung des<lb/>
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Die oben vorliegenden Hülfsbeziehungen zerfallen nun, wenn man will, in<lb/>
eine Aussage, die nur das eine der beiden Symbole — z. B. <hi rendition="#i">A</hi> — betrifft,<lb/>
von diesem aber wirklich etwas aussagt, und eine Aussage, das andre Symbol<lb/>
— dann <hi rendition="#i">B</hi> — betreffend, die über dieses aber vollkommen nichtssagend,<lb/>
eine leere Aussage ist — wie es z. B. die Angabe, dass 0 · <hi rendition="#i">B</hi> = 0 ist, sein<lb/>
würde. Solche Angabe kann man sich zu der andern jederzeit als Faktor<lb/>
hinzugefügt denken; am besten wird man sie unterdrücken. — Übrigens<lb/>
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liche Beziehungen angesetzt werden, indem man z. B. nach oben gegebener<lb/>
Andeutung „entwickelnd“ schreibt:<lb/>
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(„degenerate“) Kurven oder reduziblen algebraischen Gleichungen hat bei<lb/>
einer andern Gelegenheit auch Herr <hi rendition="#g">Peirce</hi> <hi rendition="#sup">8</hi> p. 180 bemerkt.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 48. Erweiterte Syllogistik.</fw><lb/>
<p>Unsre 60 Propositionen (unter denen ihre Negationen eingerechnet<lb/>
sind) erweisen sich als von 14erlei Art, wenn wir zu <hi rendition="#i">einer</hi> „<hi rendition="#i">Art</hi>“ immer<lb/>
diejenigen Propositionen zählen, welche durch blosse Vertauschungen<lb/>
unter den Buchstaben <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> aufeinander zurückführbar wären.<lb/>
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durch die Systeme der Propositionen:<lb/>
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und analog — den Negationstrich beigesetzt — die 7 negativen.</p><lb/>
<p>Als typische Repräsentanten für diese Arten fundamentaler Be<lb/>
ziehungen können die folgenden Symbole dienen:<lb/>
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aller einschlägigen Beziehungen. Den sechs letzteren entsprechen die<lb/>
Beziehungszeichen:<lb/>
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wo für das Subsumtionszeichen — bei Bevorzugung von <hi rendition="#i">a</hi> anstatt <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
als Repräsentanten auch <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice>   zu nehmen gestattet. —</p><lb/>
<p>Als „<hi rendition="#i">einfache</hi>“ Beziehungen im Sinne des § 40, nämlich als aus<lb/>
den 8 <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>schen 11’ bis 14<hi rendition="#sub">1</hi>’ in Gestalt von lediglich multi-<lb/>
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von den 75 überhaupt möglichen vorstehend nur die 34 folgenden<lb/>
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<p>Nunmehr ist es keine Kunst, sich unsre 60 fundamentalen Pro-<lb/>
positionen wie in den Buchstaben <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi>, so auch in denen <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi> hin-<lb/>
zuschreiben.</p><lb/>
<p>Kombinirte man jede der 60 Propositionen in <hi rendition="#i">A</hi>, <hi rendition="#i">B</hi> mit der ihr<lb/>
gleichnummerigen und jeder folgenden in <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi> multiplikativ zu einer<lb/>
Simultanaussage — indem man Sorge trägt, je zwei simultane Glei-<lb/>
chungen in eine einzige solche als <hi rendition="#g">Boole’</hi>schen Bestandteil des Prä-<lb/>
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dies Produkt <hi rendition="#i">a b</hi> jeweils nach dem Eliminanden <hi rendition="#i">B</hi> entwickelnd — so<lb/>
ergäben sich die <formula/> = 1830 Prämissen(systeme), welche bei der<lb/>
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<fw type="header" place="top">Dreiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
zuletzt angedeuteten Erweiterung der Syllogistik auf ihre vom „Mittel-<lb/>
gliede“ <hi rendition="#i">B</hi> unabhängige Konklusion zu untersuchen wären (durch Ver-<lb/>
tauschung von <hi rendition="#i">B</hi> und <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> jedoch noch um nahe die Hälfte vermindert<lb/>
werden könnten).</p><lb/>
<p>Ein reiner Syllogismus läge vor, so oft die Konklusion sich wieder<lb/>
als eine Fundamentalbeziehung zwischen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">C</hi> darstellt.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Kein</hi> Schluss wäre zulässig, sooft die Konklusion auf (1 = 1) (1 ≠ 0)<lb/>
hinausliefe. Und widersprechend, inkompatibel würden die Prämissen<lb/>
zu nennen sein, falls (0 = 1) oder (0 ≠ 0) als Faktor in der „ganzen“<lb/>
Konklusion aufträte (wogegen „andernfalles“ blos einzelne Glieder der<lb/>
letztern zu unterdrücken sein würden).</p><lb/>
<p>Die Konklusion ergibt sich allemal zunächst als <hi rendition="#i">Resultante aus<lb/>
dem Rohen</hi> mit der grössten Leichtigkeit und rein mechanisch durch<lb/>
Elimination von <hi rendition="#i">B</hi> nach der Regel <hi rendition="#i">φ</hi>) des § 41 — S. 212.</p><lb/>
<p>Diese Resultante aus dem Rohen ist zugleich schon die volle<lb/>
Resultante und bedarf keiner „Klausel“ mehr zu ihrer Ergänzung, in<lb/>
allen den Fällen, wo in der Prämisse selbst, resp. in den Gliedern ihrer<lb/>
vereinigten Aussage, nirgends mehr als <hi rendition="#i">eine</hi> Ungleichung auf einmal<lb/>
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<p>Eine Klausel <hi rendition="#i">kann</hi> nur erforderlich werden (als Zusatzfaktor zum<lb/>
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Prämissenaussage zwei oder mehrere <hi rendition="#i">Ungleichungen</hi> in das Produkt<lb/>
eingehen. Jedoch wie die Untersuchungen des nächsten Paragraphen<lb/>
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<p>Unerlässlich wird in der Regel eine gewisse Klausel erst da, wo<lb/>
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Ungleichungen, in denen <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> explicite vorkommt.</p><lb/>
<p>Wie aus dem Anblick von 15’ bis 18’ erhellt, können bis zu<lb/>
sechs Ungleichungen in unsern Prämissensystemen zusammentreten,<lb/>
und sind in Hinsicht der Klausel diejenigen Prämissensysteme am un-<lb/>
günstigsten gestellt (sofern deren Ermittelung eben nicht leicht er-<lb/>
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<p>Obwol die Theorie noch nicht so weit entwickelt ist, um für<lb/>
eine so grosse Menge von teilweise heterogenen Ungleichungsfaktoren<lb/>
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dige aufstellen zu können, gelingt indess ihre Ermittelung doch bei<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 48. Erweiterte Syllogistik.</fw><lb/>
Verstandes zufolge des günstigen besonderen Umstandes, dass in unsern<lb/>
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<p>Man sieht: welche Fülle von Aufgaben zur Bethätigung des An-<lb/>
fängers, die einzeln schon nicht ohne Reiz sein werden und in ihrer<lb/>
Gesamtheit für die Erkenntnisslehre von Belang sein müssen!</p><lb/>
<p>Auch dieses Feld von nahe tausend Untersuchungen, welches sich<lb/>
somit aus der erwähnten Überviertel-Milliarde möglicher hevorhebt,<lb/>
ist uns hier noch allzu ausgedehnt.</p><lb/>
<p>Behufs fernerer Einschränkung desselben wollen wir einerseits die<lb/>
8 Pseudorelationen oder Hülfsbeziehungen als minderen Interesses bei-<lb/>
seite lassen, und andrerseits (sofern sie nicht vom Typus <hi rendition="#i">a</hi>, mithin<lb/>
zugleich auch Grundbeziehungen sind) die Negationen der Elementar-<lb/>
beziehungen. <hi rendition="#i">Die Verneinungen der Elementarbeziehungen sind</hi> selber<lb/>
<hi rendition="#i">keine Elementarbeziehungen</hi>, sie bieten also auch nicht das Interesse<lb/>
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<p>(Verneinte Grundbeziehungen dagegen, wie Ungleichung und Un-<lb/>
subsumtion wird man besser den Grundbeziehungen zuzählen.)</p><lb/>
<p>Auf diese Weise wird von unsrer Tafel der Anfang 1’ bis 4<hi rendition="#sub">1</hi>’ und<lb/>
das Ende 19<hi rendition="#sub">1</hi>’ bis 30<hi rendition="#sub">1</hi>’ weggeschnitten; es fallen 28 Propositionen<lb/>
ausser Betracht und beschränkt sich unser Untersuchungsfeld auf die<lb/>
32 dazwischenliegenden Propositionen 5’ bis 30’, das ist auf wenig<lb/>
mehr als die Hälfte von den ursprünglichen 60.</p><lb/>
<p>Von den verbleibenden beiden Hauptabteilungen der Grundbe-<lb/>
ziehungen (mit der Unterabteilung der <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>schen) und der<lb/>
(unverneinten) Elementarbeziehungen hat es auch wieder mehr Inter-<lb/>
esse, nur diejenigen jeweils als Prämissen zu kombiniren, die zur<lb/>
selben Abteilung gehören — damit allfällig zutage trete, welches An-<lb/>
gesicht die Syllogistik zeigen würde für ein Denken, das sich konse-<lb/>
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Und somit sind unsre Aufgaben uns auf das klarste vorgezeichnet.</p><lb/>
<p>Als die leichteste wollen wir zuerst die<lb/>
<hi rendition="#et"><hi rendition="#i">Syllogistik der <hi rendition="#g">De Morgan’</hi>schen Relationen</hi></hi><lb/>
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<hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">C</hi> angesetzt zu denken, was wir der Druckersparniss wegen nicht<lb/>
ausdrücklich markiren. Die Konklusion folgt hinter dem freien Sub-<lb/>
sumtionszeichen.</p><lb/>
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<fw type="header" place="top">Dreiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
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<p>in <hi rendition="#i">C</hi>, <hi rendition="#i">A</hi> angesetzt: <hi rendition="#g">Ferio</hi>, <hi rendition="#g">Festino</hi>, <hi rendition="#g">Ferison</hi>, <hi rendition="#g">Fresison</hi>.</p><lb/>
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<p>Das ganze Tableau ist nicht symmetrisch in Bezug auf <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">C</hi>,<lb/>
auch nicht in Bezug auf die Konklusionen von einerlei Typus; es<lb/>
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Tableau obiger 36 Schlüsse aber erlangen, wenn man ihm noch die-<lb/>
jenigen hinzufügte, welche sich durch Vertauschung von <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">C</hi> in<lb/>
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Schemata ergeben. Das so ergänzte Tableau von 8 × 8 = 64 Schluss-<lb/>
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§ 43 kenntlich gemacht — und ausserdem enthalten sie <hi rendition="#i">noch mehr</hi>.</p><lb/>
<p>Sie enthalten zunächst auch solche vollgültige Syllogismen, in<lb/>
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<p>Dergleichen Urteile, wie <hi rendition="#i">A</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> = 1 oder, was dasselbe sagt:<lb/>
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rechnen. Bei diesen ist die Konklusion von einer der folgenden Formen:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 48. Erweiterte Syllogistik.</fw><lb/>
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<p>Überraschen wird es, dass nur bei so wenig Prämissenkombina-<lb/>
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Dass für die andern Fälle Schlüsse ziehbar und wie sie beschaffen<lb/>
sind, hat die verbale Logik übersehen, was ihr wenigstens so weit zur<lb/>
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Prämissen, die beides: partikular und verneinend zugleich sind! Und<lb/>
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Regel, dass aus solchen Prämissen <hi rendition="#i">nichts</hi> folge, selbst dann nicht<lb/>
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es bei einer „Klausel“ doch niemals zutreffen!</p><lb/>
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werden, doch ja nicht geringschätzen! Eine Aussage, wie <hi rendition="#i">C</hi> ≠ 0 (d. h. es<lb/>
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<hi rendition="#i">D</hi> und <hi rendition="#i">E</hi> gegeben denken, wenn wir einmal <hi rendition="#i">C</hi> = <hi rendition="#i">D E</hi> annehmen, so wird<lb/>
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aber fast die gesamte formale Logik, und was in dieser Disziplin für Pro-<lb/>
dukte <hi rendition="#i">D E</hi> vom höchsten Belang erscheint, das muss auch für die ursprüng-<lb/>
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Es hiesse in der That die ganze formale Logik und <hi rendition="#i">alle</hi> ihre Schlüsse<lb/>
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Schlüsse, die sich ziehen lassen, in jedem denkbaren Falle vollständig zu<lb/>
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Schlüsse — dessen Mutmassung doch a priori jedes verlässlichen Anhaltes<lb/>
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<p>„Abgeschwächte Formen“ des Schlusses können nur in den zehn<lb/>
letzten Fällen des Tableau’s gebildet werden. Sie würden entstehen,<lb/>
wenn man von den zwei oder drei Aussagenfaktoren der Konklusion<lb/>
einen oder zweie unterdrückte — so beispielsweise beim Fortlassen<lb/>
der Klausel <hi rendition="#i">ϰ</hi>. Es kann füglich unsre „Resultante aus dem Rohen“<lb/>
da, wo sie nicht auch die volle ist, schon eine abgeschwächte Form<lb/>
der vollen Konklusion genannt werden; desgleichen ist Herrn <hi rendition="#g">Mit-<lb/>
chell’</hi>s Resultante als eine sehr stark abgeschwächte Konklusion zu<lb/>
bezeichnen. —</p><lb/>
<p>Unverträgliche Prämissen kommen in vorstehender Syllogistik der<lb/>
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in ähnlicher Weise unter sich zu kombiniren, was für die ersten vier<lb/>
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haben. Im Ganzen sind <formula/> = 210 Kombinationen durchzugehen.</p><lb/>
<p>Um deren Konklusionen mit möglichster Druckersparniss anzugeben,<lb/>
empfiehlt es sich, nach diesen zu ordnen. Es treten solche von 24<lb/>
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vertauschung, wie z. B. Verwandlung eines Klassensymbols in seine<lb/>
Negation, sich auf einander zurückführen lassen. Für jede Sorte<lb/>
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<p>Behufs konzisester Darstellung der Konklusionen führen wir für<lb/>
die bei ihnen auftretenden <hi rendition="#i">Klauseln</hi> folgende Abkürzungen ein. Es<lb/>
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<p>Darnach gewinnt nun die<lb/>
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das folgende Ansehen.</p><lb/>
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missen in gar keinem Falle. Niemals also wird als Konklusion die<lb/>
Nullaussage, 0, hinzustellen sein.</p><lb/>
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<p>Dieser Schluss ist selbst wieder (als zwischen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">C</hi> bestehend)<lb/>
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<p>Bei den 145 übrigen Kombinationen haben wir folgende Schlüsse.</p><lb/>
<p>Die (wenig sagende) Konklusion<lb/>
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<p>Nennen wir den mehrfach auftretenden Bestandteil einer Kon-<lb/>
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für den Augenblick zur Abkürzung: <hi rendition="#i">P</hi>, so fliesst die Konklusion:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 48. Erweiterte Syllogistik.</fw><lb/>
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Ungleichungsfaktoren des Prämissensystems den Koeffizienten <hi rendition="#i">A</hi> von <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
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<p>Was aber die Frage nach der Vollständigkeit der angegebnen Klausel,<lb/>
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Koeffizienten von <hi rendition="#i">B</hi> in der Prämisse erscheinen. Dies ist der Fall, wenn<lb/>
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<p>[Es war dem Verfasser bei der Korrektur nicht vergönnt, alle beab-<lb/>
sichtigten Kontrolrechnungen durchzuführen; daher ist noch vielseitige<lb/>
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<p>Aus der Vergleichung erhellt, dass die Syllogistik für die <hi rendition="#g">Ger-<lb/>
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Syllogistik der verbalen Urteilsformen unter sich begreift.</p><lb/>
<p>Einen Vorzug grösserer Exaktheit aber besitzt keine Syllogistik<lb/>
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Darstellung nach den Regeln unsrer Disziplin gefunden.</p><lb/>
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diese Syllogistiken auch solche Formen von Schlüssen mit in Berück-<lb/>
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Urteilsformen fällt, aus welchem die Prämissen zu entnehmen waren.<lb/>
(Diese stellen sich als eine verhältnissmässig grosse Reihe von Schluss-<lb/>
formen dar, und ihrer Vernachlässigung machte sich die verbale Syllo-<lb/>
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<p>Jener Umstand aber lässt wol den Wert einer Syllogistik über-<lb/>
haupt zurücktreten gegenüber dem Werte der <hi rendition="#i">Methode</hi>, durch welche<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 49. Studien über die Klausel.</fw><lb/>
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<p>In § 41 haben wir gelernt aus dem allgemeinsten Prämissen-<lb/>
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in Bezug auf solche zugrunde gelegt werden kann, ein Gebietsymbol<lb/>
<hi rendition="#i">x</hi> zu eliminiren. Wir dachten uns die Prämissen des Systems zu einer<lb/>
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<p>Um aus diesen Prämissen das Gebiet <hi rendition="#i">x</hi> zu eliminiren, brauchten<lb/>
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wird sich diese Benennung in Bälde rechtfertigen.</p><lb/>
<p>Die erwiesene Beziehung zwischen den Aussagen 1<hi rendition="#sup">0</hi>) und 2<hi rendition="#sup">0</hi>) war<lb/>
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<p>Zu erledigen blieb daher noch die Frage nach der <hi rendition="#i">vollen</hi> Resul-<lb/>
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<p>Nennen wir diese uns noch unbekannte volle Resultante für den<lb/>
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<p>Aus den zwei ersten der drei Subsumtionen über die wir jetzt<lb/>
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<p>Ich behaupte jetzt, dass die Bedingung oder Klausel <hi rendition="#i">k</hi>' zum not-<lb/>
wendigen und ausreichenden Inhalt haben wird: die <hi rendition="#i">Forderung</hi>, <hi rendition="#i">dass<lb/>
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tionen der beiden äusseren Glieder — cf. Th. 3̅3̅<hi rendition="#sub">+</hi>) Zusatz — wodurch<lb/>
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sich nach Unterdrückung identisch verschwindender Terme die Summe<lb/>
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misse 1<hi rendition="#sup">0</hi>) — sowie dann auch die Konklusion 2<hi rendition="#sup">0</hi>) — uns übersicht-<lb/>
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fizienten durchgängig mit den beiden Buchstaben <hi rendition="#i">p</hi> und <hi rendition="#i">q</hi> bezeichnen,<lb/>
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<p>Notwendige oder unerlässliche — aber zuweilen noch nicht hin-<lb/>
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wird, so erhalten wir die beiden Darstellungen von <hi rendition="#i">S</hi>:<lb/>
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<p>Ungeachtet des etwas komplizirteren Ausdrucks dieser Forderung<lb/>
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<hi rendition="#g">Boole’</hi>sche Gleichungsfaktor weggefallen ist, und während früher <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
durch diesen letzteren in seiner Veränderlichkeit beschränkt erschien,<lb/>
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<p>In den zwei Reihen von paarweise untereinander gestellten <hi rendition="#i">n</hi> und<lb/>
<hi rendition="#i">n</hi> Gebieten oder Klassen:<lb/>
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<p>[Im Ganzen können also von jenen 2 × <hi rendition="#i">n</hi> Symbolen höchstens <hi rendition="#i">n</hi><lb/>
verschwinden, in jeder Kolonne kann von den zwei Symbolen höchstens<lb/>
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<p>Darnach lässt es sich durch folgende Überlegung rechtfertigen,<lb/>
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<p>Sobald nur die <hi rendition="#i">nicht verschwindenden</hi> von jenen 2 × <hi rendition="#i">n</hi> Gebieten<lb/>
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<hi rendition="#i">genug Individuen</hi> enthalten — namentlich also auch, falls sie deren<lb/>
eine unbegrenzte Menge [und wie sich zeigen wird, sicher schon, falls<lb/>
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gibt es unfehlbar ein Gebiet <hi rendition="#i">u</hi>, welches die Forderung <hi rendition="#i">S</hi> erfüllt.<lb/>
Unsrer Resultante <hi rendition="#i">P</hi> ist alsdann keine weitere Forderung mehr hinzu-<lb/>
zufügen und darf sie als die ganze oder Resultante schlechtweg hin-<lb/>
gestellt werden. Die (uns noch unbekannte) Klausel des allgemeinen<lb/>
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<p>Wo immer z. B. die in unsrer Resultante <hi rendition="#i">P</hi> auftretenden Terme,<lb/>
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lichen Mengen auftreten, kann solche in Betracht kommen.</p><lb/>
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man nur über die im allgemeinen Schema <hi rendition="#i">P</hi> nicht unvertretnen Klassen<lb/>
anderweitig informirt, von vornherein in beregter Hinsicht orientirt ist,<lb/>
wird man also unsre Resultante <hi rendition="#i">P</hi> ohne weiteres <hi rendition="#i">für voll nehmen</hi> können,<lb/>
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Klassen in Betracht kommen könnten, <hi rendition="#i">die nur aus wenig Individuen<lb/>
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<p>Um obiges einzusehen, braucht man nur ein gewisses Gebiet <hi rendition="#i">u</hi><lb/>
synthetisch zu konstruiren, es dergestalt zusammenzusetzen, dass für<lb/>
keinen der <hi rendition="#i">n</hi> Werte des <hi rendition="#i">ϰ</hi> die beiden Glieder <hi rendition="#i">p<hi rendition="#sup">ϰ</hi> a u</hi> und <hi rendition="#i">q<hi rendition="#sup">ϰ</hi> b u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> gleich-<lb/>
zeitig verschwinden. Gelingt dies, so wird nämlich ein jeder Faktor<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 49. Studien über die Klausel.</fw><lb/>
Klassen der ersten Zeile von 14<hi rendition="#sup">0</hi>) zugleich aber sie ausdrücklich <hi rendition="#i">aus-<lb/>
schliessen</hi> lässt gewisse Individuen aus den werthabenden Klassen der<lb/>
zweiten Zeile von 14<hi rendition="#sup">0</hi>). Im übrigen mag dann die Zusammensetzung<lb/>
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gleichgültig nachweisbar, welche andern Individuen oder gar Gebiete<lb/>
dem <hi rendition="#i">u</hi> noch ausserdem zugeschlagen oder abgesprochen werden mögen.<lb/>
Dortbei wird <hi rendition="#i">lediglich</hi> zu beachten sein, dass die von <hi rendition="#i">u aus</hi>zu-<lb/>
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weg verschieden bleiben von jenen. Und sofern uns nur genügend<lb/>
Individuen (in jedem Bedarfsfalle mindestens eines) zur Einverleibung<lb/>
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<p>Man gehe etwa die Symbole 14<hi rendition="#sup">0</hi>) kolonnenweise von links nach<lb/>
rechts fortschreitend durch und schlage aus jeder nicht verschwinden-<lb/>
den Klasse der ersten Zeile <hi rendition="#i">ein</hi> Individuum zu <hi rendition="#i">u</hi>, sowie aus jeder nicht<lb/>
verschwindenden (das heisst ja: mindestens ein Individuum enthaltenden)<lb/>
Klasse der zweiten Zeile <hi rendition="#i">ein</hi> Individuum zu <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, indem man Sorge trägt,<lb/>
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dieser wiederverwendet wird. Unzulässig bleibt es ja, dass einunddas-<lb/>
selbe Individuum <hi rendition="#i">i</hi> den beiden einander exkludirenden Klassen <hi rendition="#i">u</hi> und<lb/>
<hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> zugleich zugeschlagen werde. Man wird also in solchem Falle bei<lb/>
jener Klasse blos zu einem neuen Individuum zu greifen haben (ge-<lb/>
nauer: zu einem in der andern Zeile noch nicht als verwendet vor-<lb/>
gekommenen) und man vermag dies, falls ein solches vorrätig; dass<lb/>
letzteres aber der Fall sei, wurde ausdrücklich vorausgesetzt.</p><lb/>
<p>Gleichgültig ist es dagegen, ob in einer Zeile ein Individuum wieder-<lb/>
holt verwendet wird, oder nicht. Man mag, wenn mehrere Klassen der<lb/>
ersten Zeile ein Individuum gemein haben sollten aus ihnen allemal blos<lb/>
dieses nämliche wieder zu <hi rendition="#i">u</hi> schlagen und ebenso wird die Beisteuer, der<lb/>
Beitrag, an Individuen, welchen jede nicht verschwindende Klasse der<lb/>
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für alle, gemeinsam, der nämliche sein dürfen.</p><lb/>
<p>Ganz sicher wird nämlich auf diese Weise hingebracht — und<lb/>
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15<hi rendition="#sup">0</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sup">1</hi> <hi rendition="#i">a u</hi>, <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">a u</hi>, … <hi rendition="#i">p<hi rendition="#sup">n</hi> a u<lb/>
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<hi rendition="#i">niemals</hi> zwei untereinander stehende zugleich verschwinden, indem das<lb/>
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<fw type="header" place="top">Dreiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
mindestens jenes aus dem ersten Faktor in den zweiten eingefügte<lb/>
Individuum als ein beiden Faktoren gemeinsames Element enthalten<lb/>
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<p>Erst wenn bei jenem Versuche, eine die Forderung <hi rendition="#i">S</hi> erfüllende<lb/>
Klasse <hi rendition="#i">u</hi> zu konstruiren, im Herausgreifen von Individuen aus den<lb/>
Klassen 14<hi rendition="#sup">0</hi>) resp. 15<hi rendition="#sup">0</hi>) bei einer solchen <hi rendition="#i">Individuenmangel</hi> einträte,<lb/>
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gabe der Klausel ist es eben, diese Fälle der Nichtexistenz eines <hi rendition="#i">S</hi><lb/>
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ein Gebiet, eine Klasse <hi rendition="#i">u</hi> geben wird, welche erfüllt die Forderung <hi rendition="#i">S</hi>,<lb/>
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<p>Führen wir auch noch für die nachfolgend in Klammer gesetzten<lb/>
Aussagen zur Abkürzung die beigesetzten Namen ein:<lb/>
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<p>Ist jenes der Fall, d. h. (sooft für ein bestimmtes <hi rendition="#i">ϰ</hi>) gilt <hi rendition="#i">C<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi>, ist<lb/>
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<p>Eine wirklich an <hi rendition="#i">u</hi> zu stellende Anforderung wird also ein Faktor<lb/>
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<hi rendition="#i">C<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> nicht gilt, das heisst <hi rendition="#i">C</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> gilt<note place="foot" n="*)">Unter <hi rendition="#i">C</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> verstehen wir die Negation (<hi rendition="#i">C<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi>)<hi rendition="#sub">1</hi> von <hi rendition="#i">C<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi>.</note> oder<lb/>
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ist. Erst für solchen Fall wird die Forderung <hi rendition="#i">D<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> = i einzu-<lb/>
springen haben oder <hi rendition="#i">d<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> ≠ 0 durch geeignete Bestimmung von <hi rendition="#i">u</hi> zu<lb/>
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<p>Wir haben hienach die verschiedenen Fälle durchzugehen, die in<lb/>
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bolen als Argumenten um sodann bei jedem der 2<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">n</hi></hi> Glieder dieser Ent-<lb/>
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aussage als einer geltend angenommenen Voraussetzung die Bedingung<lb/>
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Konsequenz derselben muss auch <hi rendition="#i">K<hi rendition="#sup">λ</hi></hi> gelten, und umgekehrt, wenn <hi rendition="#i">K<hi rendition="#sup">λ</hi></hi><lb/>
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<hi rendition="#i">S</hi> jedenfalls durch ein <hi rendition="#i">u</hi> erfüllbar sein; auch musste, wenn <hi rendition="#i">S</hi> gilt, <hi rendition="#i">K</hi><lb/>
gelten, d. h. <hi rendition="#i">K</hi> ist die gesuchte Klausel.</p><lb/>
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<p>Es kommt demnach nur mehr auf die Ermittelung jener „Partial-<lb/>
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<p>Diese werden wirklich = i in wenigstens 1 + <hi rendition="#i">n</hi> von den 2<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">n</hi></hi> Fällen.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Gilt</hi> nämlich <hi rendition="#i">S</hi><hi rendition="#sup">1</hi>, als das Anfangsglied besagter Entwickelung, oder:<lb/>
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<p>Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder <hi rendition="#i">r</hi>-Reihe sind<lb/>
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<p>Im ungünstigsten Falle kann diese „Minderzahl“ allerdings zu-<lb/>
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<p>Das Problem der Klausel gipfelt hienach in der schwierigen<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 49. Studien über die Klausel.</fw><lb/>
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ein Punktindividuum zur Negation u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">dieser Klasse zu schlagen</hi>.<note place="foot" n="*)">Dies habe ich schon in <hi rendition="#sup">6</hi> der unter meinem Namen im Literaturverzeich-<lb/>
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<p>Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän-<lb/>
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<p>Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden<lb/>
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<p>Da jene Summe 0 wäre, wenn kein <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> mehr übrig, nämlich <hi rendition="#i">alle<lb/>
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Reihe in der Summe ihrer singulären Klassen enthalten, so muss <hi rendition="#i">Σ r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi><lb/>
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Summe wertgemein ist, ein Individuum gemein hat, ist dann sicher<lb/>
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<p>Da jedoch nach der Annahme die übrigen <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> nicht alle eingeordnet<lb/>
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(liegt eventuell ganz ausserhalb derselben). Dann braucht man nur<lb/>
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<p>Diejenigen Klassen <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi>, für welche die Forderung <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi>u</hi> ≠ 0 dann<lb/>
noch zu erfüllen bleibt, liegen durchweg ganz ausserhalb jener Summe<lb/>
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das letztere je noch zu <hi rendition="#i">u</hi> zu schlagen um alle Forderungen durchweg<lb/>
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<p>Beispielsweise würde so die <hi rendition="#i">„Konjunktur“</hi> oder spezielle Zusammen-<lb/>
setzungsweise der (‚Individuenverteilung auf die) Klassen der <hi rendition="#i">r</hi>-Reihe:<lb/>
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<p>Das hier bethätigte Verfahren des einmaligen Unterstreichens von<lb/>
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schlagenden Individuum empfiehlt sich sehr, wenn man eine vorgelegte Kon-<lb/>
junktur schnellstens auf ihre Zulässigkeit prüfen will. Die Fälle wo ein<lb/>
zwingender Grund vorliegt, sich für das eine oder andere zu entscheiden<lb/>
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(nämlich ein bestimmtes <hi rendition="#i">i</hi> entweder zu <hi rendition="#i">u</hi> oder zu <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> zu schlagen), hat man<lb/>
vorweg aufzusuchen, die Ansätze nötigenfalls auch ausser der Reihe über-<lb/>
fliegend (skimming), um dann nur noch bei den übrigen Individuen, bei<lb/>
denen solch zwingender Grund nirgends zutage tritt, alle Möglichkeiten<lb/>
ausprobiren zu müssen. Unzulässig wird die Konjunktur sein, wenn ein<lb/>
Individuum übrig bleibt oder man schon vorher auf ein solches stösst, bei<lb/>
welchem einerseits die Nötigung es nur einmal zu unterstreichen zusammen-<lb/>
trifft mit der kategorischen Forderung, es zweimal zu unterstreichen —<lb/>
wofern dabei nur alle Möglichkeiten, wo vielleicht die Entscheidung in<lb/>
unser Belieben gestellt schien, auch durchprobirt worden. Andernfalles,<lb/>
nämlich wenn man ohne solchen Konflikt mit Unterstreichen aller Individuen<lb/>
zu Ende zu kommen vermag, wird die Konjunktur als zulässig erwiesen<lb/>
und zugleich eine Bestimmungsweise von <hi rendition="#i">u</hi>, die alle Forderungen erfüllt,<lb/>
gefunden sein.</p><lb/>
<p>Als ein wesentlicher Bestandteil der Klausel wurde oben der Satz<lb/>
gefunden:</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Besteht die eine der beiden Parameter-Reihen</hi> (Gebieten oder Klassen<lb/>
<hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi>, <hi rendition="#i">s<hi rendition="#sup">λ</hi></hi>) <hi rendition="#i">aus nur einem solchen Aggreganten, so darf nicht bei der andern<lb/>
Reihe die Summe ihrer nicht singulären Klassen enthalten sein in der<lb/>
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<p>Was nun die Klausel in den Fällen <hi rendition="#i">h</hi> und <hi rendition="#i">k</hi> <choice><orig>￼</orig><reg>⊆</reg></choice> 2 betrifft, so<lb/>
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wendige sich auch allgemein begründen.</p><lb/>
<p>Niemals wiederum dürfen alle Aggreganten der einen Reihe Indi-<lb/>
viduen, singuläre Klassen sein. Und es darf auch kein Aggregant der<lb/>
einen Reihe mit einem solchen der andern Reihe zu einem und dem-<lb/>
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Klasse der einen darf identisch sein mit einer Klasse der andern Reihe.</p><lb/>
<p><hi rendition="#i">Nie darf auch ein Aggregant der einen Reihe blos Summe aus lauter<lb/>
singulären Aggreganten der andern Reihe sein</hi> — wie unschwer zu<lb/>
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<p>Die letzte Forderung involvirt auch die beiden vorhergehenden,<lb/>
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<p>Dass dieselbe aber noch nicht hinreicht, zeigen die Fälle <hi rendition="#i">h</hi> = 2,<lb/>
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eingehen, welche bei <hi rendition="#i">h</hi> = 2, <hi rendition="#i">k</hi> = 2 als unzulässig nachgewiesen wurden.</p><lb/>
<p>Die Vollständigkeit dieser Liste von Ausnahmen vermag ich in-<lb/>
dess noch nicht zu verbürgen und lasse das Problem hier stehen —<lb/>
nachdem es jetzt wenigstens bis zum Charakter eines rein kombina-<lb/>
torischen Problems entwickelt worden — in der Hoffnung, dass es<lb/>
durch fernere Forschungen seiner Lösung vollends entgegengeführt<lb/>
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<p>Dass es übrigens zur Unzulässigkeit einer Konjunktur nicht ein-<lb/>
mal erforderlich ist, dass einzelne Aggreganten zu Individuen zusammen-<lb/>
schrumpfen, mag noch das Beispiel zeigen:<lb/>
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<fw type="header" place="top">§ 49. Noch ungelöste Probleme des Kalkuls.</fw><lb/>
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<p>Jedenfalls zeigt die Algebra der Logik auch hierin den Charakter<lb/>
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<p>Vorstehender § 49 war schon tel, quel geschrieben, als mir das<lb/>
Manuskript einer Arbeit des Herrn <hi rendition="#g">Voigt</hi> zur Mitbegutachtung (Korreferat)<lb/>
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wesentlicher Discontinuitätspunkte nebst einer Einleitung<lb/>
in die allgemeine Functionentheorie</hi>. Mit in den Text ge-<lb/>
druckten Figuren. [VIII u. 476 S.] gr. 8. 1884. geh. n. ℳ. 10. 80.</item><lb/>
<item><hi rendition="#b">Riemann’s, Bernhard,</hi> <hi rendition="#g">gesammelte mathematische Werke</hi> und<lb/>
wissenschaftlicher Nachlass. Herausgegeben unter Mitwirkung von R.<lb/>
<hi rendition="#g">Dedekind</hi> von H. <hi rendition="#g">Weber</hi>. [VIII u. 526 S.] gr. 8. 1876. geh. n. ℳ. 16. —</item><lb/>
<item><hi rendition="#b">Roch,</hi> Dr. <hi rendition="#b">G.,</hi> <hi rendition="#g">de theoremate quodam</hi> circa functiones Abelianas.<lb/>
[12 S.] 4. 1864. geh. <hi rendition="#et">ℳ. —. 60.</hi></item><lb/>
<item><hi rendition="#b">Schottky,</hi> Dr. <hi rendition="#b">F.,</hi> Privatdocent an der Universität Breslau, <hi rendition="#g">Abriss<lb/>
einer Theorie der Abel’schen Functionen von drei<lb/>
Variabeln</hi>. [162 S.] gr. 8. 1880. geh. n. ℳ. 4. —</item><lb/>
<item><hi rendition="#b">Schröder,</hi> Dr. <hi rendition="#b">E.,</hi> Professor an der technischen Hochschule in Karls-<lb/>
ruhe, <hi rendition="#g">der Operationskreis des Logikkalkuls</hi>. [VI u. 37 S.]<lb/>
gr. 8. 1877. geh. <hi rendition="#et">ℳ. 1. 50.</hi></item><lb/>
<item>———— <hi rendition="#g">Vorlesungen über die Algebra der Logik</hi> (<hi rendition="#g">exakte<lb/>
Logik</hi>). 2 Bände. Erster Band. Mit viel Figuren im Texte.<lb/>
[XII u. 717 S.] gr. 8. 1890. geh. <hi rendition="#et">n. ℳ. 16. —</hi></item><lb/>
<item>———— ———— Zweiter Band. Erste Abteilung. Mit viel Figuren<lb/>
im Texte. gr. 8. 1891. geh. <hi rendition="#et">n. ℳ. 12. —</hi></item></list></div></div></div><lb/>
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